ज्यामिति में त्रिभुज क्या है – परिभाषा, आकार और गुण

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कई 2D आकृतियाँ होती हैं जिनका आप ज्यामिति में अध्ययन करते हैं, जैसे कि वर्ग, आयत, वृत्त, समचतुर्भुज, आदि। त्रिभुज भी एक 2D आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं। हम अपने दैनिक जीवन में कई त्रिकोणीय वस्तुओं का सामना करते हैं, जैसे सैंडविच, यातायात संकेत, कपड़े हैंगर, बिलियर्ड्स में एक रैक, पाल वाली नौकाएं, छतें आदि।

आइए समझते हैं कि ज्यामिति में त्रिभुज क्या है और इसके आकार के बारे में जानें।

ज्यामिति में त्रिभुज क्या है?

त्रिभुज एक साधारण बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन आंतरिक कोण होते हैं। यह ज्यामिति में मूल आकृतियों में से एक है। एक त्रिभुज को प्रतीक $\triangle$ द्वारा दर्शाया जाता है। भुजाओं और कोणों के आधार पर विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों को वर्गीकृत किया गया है। कुछ प्रमुख अवधारणाएँ, जैसे पाइथागोरस प्रमेय और त्रिकोणमिति, त्रिभुजों के गुणों पर आधारित हैं।

त्रिभुज के भाग

एक त्रिभुज में विभिन्न भाग होते हैं। तीन भाग कोण, भुजाएँ (या किनारे), और शीर्ष  हैं। प्रत्येक त्रिभुज में 3 कोण, 3 भुजाएँ और 3 शीर्ष होते हैं।

भुजा: त्रिभुज की एक भुजा एक सीधी रेखा खंड है जैसे कि दो भुजाएँ प्रत्येक शीर्ष पर मिलती हैं। उपरोक्त आकृति में, तीन भुजाएँ हैं $\text{AB}$, $\text{BC}$, और $\text{CA}$। 

कोण: त्रिभुज की दो भुजाओं से एक कोण बनता है, जो एक उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलते हैं, जिसे शीर्ष कहते हैं। उपरोक्त आकृति में, तीन कोण $\angle \text{ABC}$, $\angle \text{BCA}$, और $\angle \text{CAB}$ हैं।

शीर्ष: भुजाओं के एक युग्म के मिलन बिंदु को उसका शीर्ष कहा जाता है। उपरोक्त आकृति में, तीन शीर्ष $\text{A}$, $\text{B}$, और $\text{C}$ हैं।

नोट: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{ABC} + \angle \text{BCA} + \angle \text{CAB} = 180^{\circ}$।

त्रिभुज के आंतरिक और बाह्य कोण क्या हैं?

त्रिभुज में आंतरिक और बाह्य कोण होते हैं। आंतरिक कोण को त्रिभुज के दो आसन्न पक्षों के बीच बने कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। बाह्य कोण को त्रिभुज की एक भुजा और बाहर की ओर फैली हुई आसन्न भुजा के बीच बने कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।

आंतरिक कोण: त्रिभुज का आंतरिक कोण वह कोण होता है जो त्रिभुजाकार क्षेत्र के अंदर बनता है। जब भी हम किसी त्रिभुज के किसी कोण का उल्लेख करते हैं, तो हमारा आशय उसके आंतरिक कोण से होता है। आंतरिक कोण को उस शीर्ष के नाम से या तीन अक्षर से दर्शाया जाता है जहां मध्य अक्षर वह शीर्ष होता है जहां कोण स्थित होता है और अन्य दो अन्य दो शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ है।

उपरोक्त आकृति में एक त्रिभुज में $\angle \text{A} + \angle \text{B} + \angle \text{C} = 180^{\circ}$।

बाह्यकोण: जब किसी त्रिभुज की किसी भुजा को बढ़ाया जाता है, तो इस भुजा और इसकी संलग्न भुजा से जो कोण बनता है, वह त्रिभुज का बाह्यकोण कहलाता है। त्रिभुज में तीन बाह्यकोण होते हैं। प्रत्येक बाह्यकोण अपने संबंधित आंतरिक कोण के साथ एक रैखिक युग्म बनाता है।

त्रिभुज के तीन बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ है।

उपरोक्त चित्र में एक त्रिभुज में $\text{Ext } \angle \text{A} + \text{Ext } \angle \text{B} + \text{Ext } \angle \text{C} = 360^{ \circ}$।

नोट: किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

त्रिभुज के गुण

त्रिभुज के निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं जो आपको इसे अन्य ज्यामितीय आकृतियों से अलग करने में मदद करते हैं।

• एक त्रिभुज में तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन आंतरिक कोण होते हैं।
• त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इस गुण को त्रिभुजों का कोण योग गुण कहते हैं।
• त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।
• त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के बीच का अंतर तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है।
• सबसे बड़े कोण की सम्मुख भुजा सबसे लंबी होती है और इसके विपरीत।
• सबसे छोटे कोण की सम्मुख भुजा सबसे छोटी होती है और इसके विपरीत।
• किसी त्रिभुज का बाह्य कोण हमेशा त्रिभुज के सम्मुख दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। इस गुण को त्रिभुज का बाह्य कोण गुण कहते हैं।
• एक समकोण त्रिभुज के सन्दर्भ में, कर्ण (सबसे लंबी भुजा) का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, अर्थात, $\left( \text{Hypotenuse}^{2} = \text {Base}^{2}+ \text{Height}^2 \right)$। इसे आमतौर पर पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्न की व्याख्या करें
   • त्रिभुज 
   • आंतरिक कोण
   • बाह्य कोण
   • शीर्ष 
2. सही या गलत बताएं
   • त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $100^{\circ}$ होता है।
   • त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
   • त्रिभुज के आंतरिक कोण और उसके संबंधित बाह्य कोण का योग $180^{\circ}$ है।
   • त्रिभुज के आंतरिक कोण और उसके संबंधित बाह्य कोण का योग $360^{\circ}$ है।
   • त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की लंबाई के बराबर होता है। 

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

एक त्रिभुज एक साधारण बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन आंतरिक कोण होते हैं। किसी भी त्रिभुज में तीन कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है और किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। इसी प्रकार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के बीच का अंतर तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है।

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