समलंब के गुण

Table of Contents

This post is also available in: English

समलंब एक चतुर्भुज है जिसमें समानांतर विपरीत भुजाओं का एक जोड़ा होता है। आइए समलंब की परिभाषा और समलम्ब के गुणों को उदाहरण सहित समझते हैं।

समलंब परिभाषा

समलंब एक 2D आकार और एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत भुजाओं के दो युग्म में से केवल एक जोड़ी समानांतर होती है। विपरीत समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है और असमानांतर भुजाओं को समलंब के पाद कहा जाता है।

उपरोक्त चित्र एक समलंब दिखाता है।

उपरोक्त चित्र में, $\text{WXYZ}$ एक समलंब है, जहाँ $\text{ZY}$ और $\text{WX}$ आधार हैं जबकि $\text{ZW}$ और $\text{YX} $ समलंब के पाद हैं।

समलंब के प्रकार

मोटे तौर पर समलम्बों को तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। ये

समद्विबाहु समलंब
विषमबाहु समलंब
समकोण समलंब

समद्विबाहु समलंब: वह समलंब जहाँ दो पाद समान लंबाई के होते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक समद्विबाहु समलंब है, जहाँ $\text{BC} = \text{AD}$।

विषमबाहु समलंब: वह समलंब जिसकी न तो भुजाएँ और न ही कोण बराबर हों, विषमबाहु समलंब कहलाता है।

समकोण समलंब: जिस समलंब में एक युग्म समकोण होता हैं, उसे समकोण समलंब कहते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\text{PQRS}$ एक समकोण समलंब है, जहाँ $\text{PS} || \text{QR}$, और $\text{PQ} \perp \text{PS}$, $\text{PQ} \perp \text{QR}$।

समलंब के मूल गुण निम्नलिखित हैं जो आपको उन्हें पहचानने में मदद करते हैं।

समलंब में, विपरीत भुजाओं का ठीक एक युग्म समानांतर होता है
एक समलंब के आधार एक दूसरे के समानांतर होते हैं।
समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण सदैव एक दूसरे को काटते हैं।
आसन्न आंतरिक कोणों के दो जोड़े का योग $180^{\circ}$ है।
एक समलंब में सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
समद्विबाहु समलंब में, दोनों विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।
समद्विबाहु समलम्ब को छोड़कर समलम्ब में असमानांतर भुजाएँ असमान होती हैं
असमानांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा हमेशा आधारों या समानांतर भुजाओं के समांतर होती है जो समानांतर भुजाओं के योग के आधे के बराबर होती है
भुजाओं के मध्य-बिंदु विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के संरेखी होते हैं

एक समद्विबाहु समलंब के विकर्ण समान होते हैं

समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं, अर्थात, एक समद्विबाहु समलंब $\text{PQRS}$ में, जहाँ $\text{PQ} = \text{RS}$, $\text{PR} = \text{QS} $।

आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए।

इसे सिद्ध करने के लिए, पहला कदम थोड़ी रचना करना है।

दो लंबवत, $\text{PA}$ और $\text{QB}$ की ओर $\text{SR}$ बनाते हैं।

अब, $\triangle \text{PSA}$ और $\triangle \text{QRB}$ में, हमारे पास है

$\text{PS} = \text{PS}$ (दिया गया है)

$\angle \text{PAS} = \angle \text{QBR} = 90^{\circ}$ (रचना के द्वारा)

$\text{PA} = \text{QB}$ (दो समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी)

इसलिए, $\triangle \text{PSA} \cong \triangle \text{QRB}$ (RHS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा)

अतः, $\angle \text{PSA} = \angle \text{QRB}$ (CPCT)

$⇒\angle \text{PSR} = \angle \text{QRS}$

अब, $\triangle \text{PSR}$ और $\triangle \text{QRS}$ में, हमारे पास है

$\text{PS} = \text{QR}$ (दिया गया है)

$\angle \text{PSR} = \angle \text{QRS}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)

$\text{SR} = \text{RS}$ (समान भुजा)

इसलिए, $\triangle \text{PSR} \cong \triangle \text{QRS}$ (SAS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा)

अतः, $\text{PR} = \text{QS}$ (CPCT)

असमानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा समानांतर भुजाओं के समानांतर होती है

यह सिद्ध करने के लिए कि एक समलंब चतुर्भुज की असमानांतर भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा समानांतर भुजाओं के समानांतर होती है, आइए एक समलंब $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जहाँ $\text{AC}$ और $\text{BD}$ समलंब के विकर्ण हैं। इसके अलावा $\text{M}$ और $\text{N}$ विकर्ण $\text{AC}$ और $\text{BD}$ के मध्य बिंदु हैं।

अब, हमें $\text{MN} || \text{AB} || \text{CD}$ सिद्ध करने की आवश्यकता है।

आइए एक साधारण रचना करते हैं। $\text{CN}$ को जोड़ें और $\text{AB}$ को $\text{E}$ पर पूरा करने के लिए इसका विस्तार करें।

अब, $\triangle \text{CDN}$ और $\text{EBN}$ पर विचार करें,

चूँकि $\text{N}$, $\text{BD}$ का मध्यबिंदु है

$\text{DN} = \text{BN}$

चूंकि एकांतर आंतरिक कोण बराबर हैं, इसलिए,

$\angle \text{DCN} = \angle \text{NEB}$

और $\angle \text{CDN} = \angle \text{NBE}$

इसलिए, $\triangle \text{CDN} \cong \text{EBN}$ (ASA Congruence Criterion)

अतः, $\text{DC} = \text{EB}$ and $\text{CN} = \text{NE}$

अब, $\triangle \text{CAE}$ पर विचार करें

$\text{M}$ और $\text{N}$ $\text{AC}$ और $\text{CE}$ के मध्य बिंदु हैं

$\text{MN} || \text{AE}$

इसलिए, मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, $\text{MN} || \text{AB} || \text{CD}$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

समलंब क्या होता है?
समलंब और समानांतर चतुर्भुज के बीच क्या अंतर है?
एक समलंब $\text{ABCD}$ में, जैसे कि $\text{BC} || \text{AD}$, का मान क्या है
$\angle \text{ABC} + \angle \text{DAB}$
$\angle \text{BCD} + \angle \text{CDA}$
सही या गलत बताएं
- एक समद्विबाहु समलंब में समानांतर भुजाएँ समान होती हैं
- एक समद्विबाहु समलंब में असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं
- एक समद्विबाहु समलंब में, एक समलंब के असमानांतर पक्षों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा समानांतर भुजाओं के समानांतर होती है
- प्रत्येक समलंब में, एक समलंब के असमानांतर पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा समानांतर भुजाओं के समानांतर होती है

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

समलंब आकार क्या है?

एक द्वि-आयामी चतुर्भुज जिसमें असन्निकट समानांतर भुजाओं का एक युग्म और असमानांतर भुजाओं का एक युग्म होता है, को समलंब आकार कहा जाता है। यह एक त्रिभुज जैसा दिखता है जो ऊपर से कटा हुआ है।

क्या समलंब हमेशा एक समानांतर चतुर्भुज होता है?

नहीं, समलंब समानांतर चतुर्भुज नहीं है। एक समलंब में, विपरीत भुजाओं का केवल एक युग्म समानांतर होता है, जबकि एक समानांतर चतुर्भुज के मामले में, विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर और बराबर होते हैं।

क्या एक समलंब एक विषमकोण होता है?

नहीं, समलंब समचतुर्भुज नहीं है। एक समचतुर्भुज में, सभी चार भुजाएँ समान होती हैं और विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर होते हैं, जबकि एक समलंब में, विपरीत भुजाओं का एक युग्म समानांतर और बराबर होता है।

पतंग समलंब क्यों नहीं है?

पतंगों में, कोई भी भुजा समानांतर नहीं होती है, जबकि समलंब में विपरीत भुजाओं का एक युग्म समानांतर और बराबर होता है।

निष्कर्ष

समलंब एक 2D आकार और एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत भुजाओं के दो युग्मों में से केवल एक युग्म समानांतर होती है। आप वस्तुओं के आकार के समलंब जैसे लैंप शेड्स, पॉपकॉर्न टब, हैंडबैग, बाथटब, शेड आदि के वास्तविक दुनिया के कई उदाहरण पा सकते हैं।

समलंब क्या है – परिभाषा, प्रकार, गुण और उदाहरण

समलंब परिभाषा

समलंब के प्रकार