विषमकोण के गुण

जनवरी 13, 2023

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विषमकोण एक बंद 2D समतल आकृति है। इसे समबाहु चतुर्भुज भी कहते हैं क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। आइए उदाहरण के साथ समझते हैं कि विषमकोण क्या है और विषमकोण के क्या गुण हैं।

विषमकोण क्या है?

विषमकोण समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष स्थिति है। एक विषमकोण में, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं और विपरीत कोण बराबर होते हैं और इस प्रकार समानांतर चतुर्भुज की शर्तों को पूरा करते हैं। इसके अलावा, एक विषमकोण की सभी भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं, और विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। एक विषमकोण की आकृति हीरे के आकार की है।

उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक विषमकोण है, जहाँ भुजाएँ $\text{AB}$, $\text{BC}$, $\text{CD}$ और $\text{DA}$ हैं बराबर हैं और $\text{AC}$ और $\text{D}$ इसके विकर्ण हैं।

क्या समचतुर्भुज एक विषमकोण है?

समचतुर्भुज को विषमकोण का एक विशेष मामला माना जा सकता है क्योंकि इसकी चार समान भुजाएँ होती हैं और एक समचतुर्भुज के सभी कोण समकोण होते हैं। परन्तु एक विषमकोण के कोणों का समकोण होना आवश्यक नहीं है। और, इसलिए समकोण वाले विषमकोण को एक समचतुर्भुज माना जा सकता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सभी समचतुर्भुज विषमकोण हैं, परन्तु सभी विषमकोण समचतुर्भुज नहीं होते।

उपरोक्त चित्र में,

$\text{ABCD}$ एक विषमकोण है, जहाँ $\text{AB} = \text{BC} = \text{CD} = \text{DA}$, और $\angle \text{A}$, $ \angle \text{B}$, $\angle \text{C}$, और $\angle \text{D}$ $90^{\circ}$ नहीं हैं। (कोण आवश्यक रूप से $90^{\circ}$ नहीं हैं)।
$\text{PQRS}$ एक समचतुर्भुज है, जहाँ $\text{PQ} = \text{QR} = \text{RS} = \text{SP}$, और $\angle \text{P} = \angle \text{Q}= \angle \text{R} = \angle \text{S} = 90^{\circ}$। (कोण आवश्यक रूप से $90^{\circ}$) के होते हैं।

विषमकोण को विशेष समानांतर चतुर्भुजों में से एक माना जाता है क्योंकि इसमें समानांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं। विषमकोण के दो विकर्ण उसकी सममिति की दो रेखाओं के रूप में होते हैं। विषमकोण के चारित्रिक गुण निम्नलिखित हैं।

विषमकोण के चार आंतरिक कोण होते हैं।
एक विषमकोण के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है।
विपरीत कोण सर्वांगसम या बराबर होते हैं।
आसन्न कोण पूरक होते हैं।
विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं।
विषमकोण में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
विषमकोण के विकर्ण आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

विषमकोण के विकर्ण आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करते हैं

आइए एक विषमकोण $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जहाँ $\text{AC}$ इसका एक विकर्ण है।

विकर्ण $\text{AC}$ $\angle \text{A}$ और $\angle \text{C}$ को समद्विभाजित करता है।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ADC}$ में

$\text{AC} = \text{AC}$ (समान भुजाएँ)

$\text{AB} = \text{CD}$ (विषमकोण की भुजाएँ)

$\text{BC} = \text{AD}$ (विषमकोण की भुजाएँ)

इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ADC}$ (SSS सर्वांगसमता कसौटी)

अतः, $\angle {BAC} = \angle {DAC}$ and $\angle {BCA} = \angle {DCA}$ (CPCT)

इसलिए $\text{AC}$ bisects $\text {A}$ and $\angle {C}$।

इसी प्रकार, $\text{BD}$ को जोड़कर, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि $\text{BD}$ $\text {B}$ और $\angle {D}$ को समद्विभाजित करता है।

विषमकोण की भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाने से बनी आकृति एक आयत होती है

$\text{P}$, $\text{Q}$, $\text{R}$ और $\text{S}$ वाले विषमकोण $\text{ABCD}$ को $\text {AB}$, $\text{BC}$, $\text{CD}$ और $\text{DA}$ के मध्य बिंदु के रूप में मानें।

आकृति $\text{PQRS}$ एक आयत है।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

एक विषमकोण के गुण से, $\text{AC} || \text{PQ}$

$\triangle \text{ACB}$ और $\triangle \text{PQB}$ में

$\angle \text{BAC} = \angle \text{BPQ}$ and $\angle \text{BCA} = \angle \text{BQP}$ (संगत कोण बराबर होते हैं)

$\angle \text{ABC} = \angle \text{PBQ}$ (समान कोण)

इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ PBQ}$

$=> \frac{ \text{AC}}{\text{PQ}} = \frac{\text{BC}}{\text{BQ}}$

$=>\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{AC}$

अब $\triangle \text{BCD}$ और $\triangle \text{RCQ}$ पर विचार करें

$\text{RQ} = \frac{1}{2} \text{BD}$

इसी प्रकार $\triangle \text{ADC}$ और $\triangle \text{SDR}$ में

$\text{SR} = \frac{1}{2} \text{AC}$

$\text{SP} = \frac{1}{2} \text{BD}$

चूँकि विपरीत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए $\text{PQ} = \text{SR}$ और $\text{RQ} = \text{SP}$

हम जानते हैं कि

$\angle \text{APS} + \angle \text{SPQ} + \angle \text{BPQ} = 180^{\circ}$

$\angle \text{ABD} + \angle \text{SPQ} + \angle \text{BAC} = 180^{\circ}$

$\frac{1}{2} \angle \text{ABC} + \angle \text{SPQ} + \frac{1}{2} \angle \text{BAD} = 180^{\circ}$

$\angle \text{SPQ} + \frac{1}{2} \left( \angle \text{ABC} + \angle \text{BAD} \right) = 180^{\circ}$

विषमकोण के गुण का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\angle \text{SPQ} + \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 180^{\circ}$

$=> \angle \text{SPQ} = 90^{\circ}$

$=> \angle \text{PQR} = \angle \text{QRS} = \angle \text{RSP} = 90^{\circ}$

विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं

अतः $\text{PQRS}$ एक आयत है।

विषमकोण के बारे में तथ्य

विषमकोण के बारे में कुछ और तथ्य निम्नलिखित हैं।

आपको एक बेलनाकार सतह मिलती है जिसके एक सिरे पर एक उत्तल शंकु और दूसरे सिरे पर एक अवतल शंकु होता है जब विषमकोण को घूर्णन अक्ष के रूप में किसी भी ओर घुमाया जाता है।
जब विषमकोण को घूर्णन अक्ष के रूप में विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के चारों ओर घुमाया जाता है, तो आपको दोनों सिरों पर अवतल शंकु वाली एक बेलनाकार सतह प्राप्त होती है।
जब विषमकोण घूर्णन की धुरी के रूप में लंबे विकर्ण के बारे में घूम रहा होता है, तो आप उनके आधार से जुड़े दो शंकुओं के साथ ठोस हो जाते हैं। इस स्थिति में, ठोस का अधिकतम व्यास विषमकोण के छोटे विकर्ण के बराबर होता है।
जब विषमकोण घूर्णन की धुरी के रूप में छोटे विकर्ण के बारे में घूम रहा होता है, तो आप उनके आधार से जुड़े दो शंकुओं के साथ ठोस हो जाते हैं। इस स्थिति में, ठोस का अधिकतम व्यास विषमकोण के लंबे विकर्ण के बराबर होता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

विषमकोण क्या है?
किस स्थिति में समानांतर चतुर्भुज एक विषमकोण बन जाता है?
किस स्थिति में विषमकोण एक समचतुर्भुज बन जाता है?
सही या गलत बताएं
- विषमकोण के विकर्ण बराबर होते हैं।
- विषमकोण के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
- विषमकोण के विकर्ण $90^{\circ}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
- विषमकोण के विकर्ण आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
- विषमकोण की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति एक वर्ग होती है।
- विषमकोण की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति एक समचतुर्भुज होती है।
- विषमकोण की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति एक आयत होती है।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या एक विषमकोण की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं?

हाँ, एक विषमकोण की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।

गणित में विषमकोण क्या है?

विषमकोण एक विशेष प्रकार का समानांतर चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं और विपरीत कोण बराबर होते हैं। विषमकोण के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं, अर्थात विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

क्या एक विषमकोण समानांतर चतुर्भुज हो सकता है?

सभी विषमकोण समानांतर चतुर्भुज होता है। परन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है, अर्थात सभी समानांतर चतुर्भुज विषमकोण नहीं होते हैं। एक समानांतर चतुर्भुज एक विषमकोण बन जाता है जब एक समानांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं।

क्या विषमकोण एक समचतुर्भुज होता है?

चूँकि एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं और विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, यह एक विषमकोण का एक विशेष मामला है जिसके आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं। इसलिए, सभी समचतुर्भुज विषमकोण होते हैं परन्तु सभी विषमकोण समचतुर्भुज नहीं हैं।

निष्कर्ष

विषमकोण एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं और विपरीत कोण बराबर होते हैं। विषमकोण के विकर्ण प्रत्येक को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। याद रखने वाली एक महत्वपूर्ण बात यह है कि सभी समचतुर्भुज विषमकोण हैं लेकिन सभी विषमकोण समचतुर्भुज नहीं हैं।

विषमकोण क्या है – परिभाषा, प्रकार, गुण और उदाहरण

विषमकोण क्या है?

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