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आयत के गुण – कोण, भुजाएँ और विकर्ण

आयत के गुण

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आयत चार भुजाओं, चार कोणों और चार शीर्षों वाली एक बंद 2D आकृति है। यह चतुर्भुज और समानांतर चतुर्भुज का एक प्रकार है जिसके सभी कोणों का माप 90^{\circ} होता है। 

आइए समझते हैं कि एक आयत क्या है और उदाहरण के साथ आयत के गुण क्या हैं।

आयत के गुण

आयत के सबसे महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

  • आयत एक चतुर्भुज है।
  • आयत की विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर और समानांतर होती हैं।
  • प्रत्येक शीर्ष पर एक आयत का आंतरिक कोण $90^{\circ}$ का होता है।
  • सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
  • विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
  • विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।
  • भुजाओं a और b के साथ विकर्ण की लंबाई है, विकर्ण = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$
  • चूंकि एक आयत की भुजाएँ समानांतर होती हैं, इसलिए इसे समानांतर चतुर्भुज भी कहा जाता है।
  • सभी आयत समानांतर चतुर्भुज होते हैं लेकिन सभी समानांतर चतुर्भुज आयत नहीं होते हैं।

आयत के विकर्णों की लंबाई बराबर होती है

विकर्ण $\text{AC}$, और $\text{BD}$ के साथ एक आयत $\text{ABCD}$ पर विचार करें।

आयत के गुण

अब, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DCB}$ पर विचार करें।

$\angle \text{ABC} = \angle \text{DCB} = 90^{\circ}$ (आयत के कोण)

$\text{BC} = \text{BC}$ (समान भुजाएँ)

$\text{AB} = \text{DC}$ (समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं)

इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{DCB}$ (SAS सर्वांगसमता मानदंड)

अत: $\text{AC} = \text{BD}$ (CPCT)

इसलिए आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

आयत के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

आयत $\text{ABCD}$ पर विचार करें जिसके विकर्ण $\text{AC}$ और $\text{BD}$ $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आयत के गुण

$\triangle \text{OAD}$ और $\triangle \text{OCB}$ में,

$\angle \text{ODA} = \angle \text{OBC}$ (एकान्तर आंतरिक कोण $\text{AD} || \text{BC}$ और $\text{BD}$ एक तिर्यक रेखा है)

$\text{AD} = \text{BC}$ (आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं)

$\angle \text{OAD} = \angle \text{OCB}$ (आंतरिक कोण $\text{AD} || \text{BC}$ और $\text{AC}$ तिर्यक रेखा के रूप में)

इसलिए, $\triangle \text{OAD} \cong \triangle \text{OCB}$ (ASA सर्वांगसमता मानदंड)

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों की बराबरी करने पर, हम पाते हैं:

अतः, $\text{AO} = \text{CO}$ और $\text{BO} = \text{DO}$ (CPCT)

इसलिए, एक आयत के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

आयत क्या है?

आयत एक बंद 2D आकृति है, जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। आयत के चार कोणों में से प्रत्येक एक समकोण है, अर्थात, माप $90^{\circ}$ है। आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। चूंकि एक आयत एक 2D आकार है, यह दो आयामों, लंबाई और चौड़ाई इसकी विशेषता है। लंबाई आयत की लंबी भुजा और चौड़ाई छोटी भुजा होती है।

आयत के गुण

उपरोक्त चित्र में $\text{ABCD}$ एक आयत है। लंबी भुजाओं $\text{AB}$ और $\text{CD}$ को लंबाई कहा जाता है और छोटी भुजाओं $\text{BC}$ और $\text{AD}$ को चौड़ाई कहा जाता है। आयत के चार कोण $\text{ABCD}$ हैं $\angle \text{A}$, $\angle \text{B}$, $\angle \text{C}$, और $\angle \text {D}$ प्रत्येक $90^{\circ}$ के बराबर होते है।

आयत के उदाहरण

एक आयत सबसे आम आकार है जिसे हम अपने दैनिक जीवन में अपने चारों ओर देखते हैं। आयताकार आकृतियों के कुछ सामान्य उदाहरण टेबल टॉप, ब्लैकबोर्ड, नोटबुक, दरवाजा, खिड़की, लिफाफा, दराज आदि हैं।

आयत के गुण

आयत के अन्य नाम

आयत समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष केस है। यह आयत का अन्य नाम भी हैं।

  • आयत को समकोणिक चतुर्भुज भी कहा जाता है क्योंकि आयत के सभी कोण बराबर होते हैं।
  • इसे समकोण समानांतर चतुर्भुज भी कहते हैं क्योंकि आयत की समांतर भुजाएँ होती हैं।

आयत का विकर्ण

आयत के विपरीत शीर्षों को मिलाने वाले रेखाखंडों को विकर्ण कहा जाता है।

आयत के गुण

उपरोक्त चित्र में, आयत के दो विकर्ण $\text{ABCD}$ हैं $\text{AC}$ और $\text{BD}$ हैं। एक आयत के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं, यानी आयत $\text{ABCD}$, $\text{AC} = \text{BD}$।

यदि हमें आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आयत के विकर्ण की गणना कर सकते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{ADB}$ $\text{A}$ पर समकोण है। आयत का विकर्ण $\left( \text{BD} \right)$ इसका कर्ण बनाता है।

इसलिए, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, हम $\text{Diagonal}^2 = \text{Length}^2 + \text{Width}^2$ प्राप्त करते हैं

अतः, $\text{Diagonal} = \sqrt{\text{Length}^2 + \text{Width}^2}$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. आयत क्या है?
  2. किस स्थिति में समानांतर चतुर्भुज को आयत कहा जाता है?
  3. किस स्थिति में एक आयत को समचतुर्भुज कहा जाता है?
  4. सही या गलत बताएं
    • आयत की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं
    • आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं
    • आयत की आसन्न भुजाएँ समानांतर होती हैं
    • आयत की आसन्न भुजाएँ लंबवत होती हैं
    • आयत की विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं
    • आयत की विपरीत भुजाएँ लंबवत होती हैं
    • आयत के विकर्ण बराबर होते हैं
    • आयत के विकर्ण असमान होते हैं
    • आयत के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं
    • आयत के विकर्ण एक दूसरे के समानांतर होते हैं

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

गणित में आयत क्या होता है?

आयत की रचना

एक आयत एक बंद 2D आकृति है, जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। एक आयत के चार कोणों में प्रत्येक एक समकोण है, अर्थात, माप $90^{\circ}$ है। एक आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं। चूंकि एक आयत एक 2D आकार है, यह दो आयामों, लंबाई और चौड़ाई इसकी विशेषता है। लंबाई आयत की लंबी भुजा और चौड़ाई छोटी भुजा होती है।

आयत के 4 गुण क्या हैं?

आयत के चार महत्वपूर्ण गुण हैं
a) आयत की विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर और समानांतर होती हैं।
b) प्रत्येक शीर्ष पर एक आयत का आंतरिक कोण $90^{\circ}$ है।
c) विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
d) विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।

क्या आयत एक समचतुर्भुज है?

समचतुर्भुज आयत की एक विशेष स्थिति है। दूसरे शब्दों में, आयत कभी-कभी एक समचतुर्भुज होता है, जब उसकी आसन्न भुजाएँ भी बराबर होती हैं।

आयत समबहुभुज क्यों नहीं है?

समबहुभुज वह बहुभुज होता है जिसमें सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और सभी कोण समान माप के होते हैं। एक आयत में, केवल विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, इसलिए, एक आयत समबहुभुज नहीं होता है।

निष्कर्ष

आयत एक बंद 2D आकृति है, जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। एक आयत के चार कोणों में प्रत्येक एक समकोण होता है, अर्थात, माप $90^{\circ}$ का। आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। चूंकि आयत एक 2D आकार है, यह दो आयामों की विशेषता है, एक लंबाई, और दूसरी चौड़ाई।

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