अनुपात (अर्थ, सरलीकरण और उदाहरण)

This post is also available in: English

अनुपात एक गणितीय शब्द है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक मात्राओं की तुलना करने के लिए किया जाता है जिन्हें समान इकाइयों में मापा जाता है। हम अपने दैनिक जीवन में अनुपातों का उपयोग जाने अनजाने में करते ही रहते हैं। उदाहरण के लिए, किराने की खरीदारी, खाना पकाने और एक जगह से दूसरी जगह जाने में, हम लगातार अनुपात का उपयोग करते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि एक बैग में $12$ कॉपियाँ और $4$ पुस्तकें हैं, जिसका अर्थ है कि कॉपियों का पुस्तकों से अनुपात $3$ से $1$ है। हम यह भी कह सकते हैं कि पुस्तकों और कॉपियों का अनुपात $1$ से $3$ है।

आइए समझते हैं कि अनुपात क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है।

अनुपात क्या है?

अनुपात को एक ही इकाइयों की दो मात्राओं की तुलना के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक दूसरे के संबंध में उनके आकार (या मान) को इंगित करता है। यह संबंध हमें बताता है कि कितनी बार एक मात्रा दूसरी मात्रा के बराबर है। सरल शब्दों में, अनुपात वह संख्या है जिसका उपयोग एक मात्रा को दूसरे के अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

ऊपर दिए गए उदाहरण को देखते हुए, जहां एक बैग में कॉपियों और किताबों का अनुपात $3$ से $1$ है, यह दर्शाता है कि कॉपियों की संख्या किताबों की संख्या से तीन गुना है। 4(पुस्तकों की संख्या) $\times$ 3 = 12 (कॉपियों की संख्या)। 

इसी तरह, एक बैग में पुस्तकों और कॉपियों का अनुपात $1$ से $3$ है, जिसका अर्थ है कि एक बैग में पुस्तकों की संख्या नोटबुक्स की संख्या का एक तिहाई है। 12(कॉपियों की संख्या) $\times \frac{1}{3}$ = 4 (पुस्तकों की संख्या)।

अनुपात कैसे लिखते हैं?

अनुपातों को तीन अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। जिन तरीकों से अनुपातों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है वे हैं

• भिन्न का उपयोग करके 
• ‘की तुलना में’ शब्द का प्रयोग करके 
• अनुपात चिह्न का उपयोग करके

उपरोक्त उदाहरण में, कॉपियों और पुस्तकों के बीच के अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

• भिन्न का उपयोग करके: $\frac{3}{1}$
• ‘की तुलना में’ शब्द का उपयोग करके: $3$ की तुलना में $1$
• अनुपात प्रतीक का उपयोग करके: $3 : 1$

नोट: ‘:’ चिन्ह को अनुपात चिन्ह कहा जाता है।

अनुपात में दो संख्याओं को क्रमशः पूर्वपद और परपद कहा जाता है।

• पूर्वपद: अनुपात में पहली संख्या को पूर्वपद कहा जाता है, अर्थात, $\frac{a}{b}$, या, $a$ से $b$, या $a : b$ में $a$ को पूर्वपद कहा जाता है।
• परपद: अनुपात में दूसरी संख्या को परपद कहा जाता है, अर्थात, $\frac{a}{b}$, या, $a$ से $b$, या $a : b$ में $b$ को परपद कहा जाता है। 

अनुपात के प्रकार

आवश्यक जानकारी के आधार पर, अनुपातों को मोटे तौर पर दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है:

• अंश-से-अंश का अनुपात
• अंश-से-पूर्ण का अनुपात

अंश-से-अंश का अनुपात: अंश-से-अंश का अनुपात दर्शाता है कि दो अलग-अलग वस्तुएँ या समूह कैसे संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, एक बैग में कॉपियों और पुस्तकों का अनुपात $3 :1$ है।

अंश-से-पूर्ण का अनुपात: अंश-से-पूर्ण का अनुपात एक विशिष्ट समूह और पूर्ण के बीच के संबंध को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, एक बैग में कॉपियों का कुल वस्तुओं की संख्या से अनुपात $3 :4$ है।

नोट: एक बैग में वस्तुओं की कुल संख्या $12$(कॉपियों की संख्या) $+ 4$(पुस्तकों की संख्या) $=16$ है।

अनुपात की गणना

एक अनुपात यह व्यक्त करता है कि दूसरी मात्रा की तुलना में एक मात्रा की कितनी आवश्यकता है। अनुपात में दो पदों को सरल बनाया जा सकता है और उनके निम्नतम रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब अनुपातों को उनके निम्नतम पदों में व्यक्त किया जाता है तो उन्हें समझना आसान होता है और इसे उसी तरह सरल बनाया जा सकता है जैसे हम भिन्नों को सरल करते हैं।

आइए अनुपात के रूप में संख्याओं को सरल और व्यक्त करने के तरीके को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखें।

उदाहरण

Ex 1: $18$ की तुलना में $10$ को अनुपात के रूप में व्यक्त करें।

$18$ की तुलना में $10$  = $18 : 10 = \frac {18}{10} = \frac {9 \times 2}{5 \times 2} = \frac {9}{5} = 9 : 5$.

Ex 2: एक निश्चित डेकेयर सुविधा में $15$ शिशु और $20$ बच्चे हैं। शिशुओं और बच्चों का अनुपात क्या है?

डेकेयर सुविधा में शिशुओं की संख्या = $15$

डेकेयर सुविधा में बच्चों की संख्या = $20$

शिशुओं का बच्चों से अनुपात  = $15 : 20 = \frac{15}{20} = \frac{5 \times 3}{5 \times 4} = \frac{3}{4} = 3 : 4$।

Ex 3: एक कक्षा में $15$ लड़कियाँ और $10$ लड़के हैं। ज्ञात करें 

• लड़कों की संख्या का लड़कियों की संख्या से अनुपात
• लड़कियों की संख्या का छात्रों की कुल संख्या से अनुपात
• छात्रों की कुल संख्या से लड़कों की संख्या का अनुपात

कक्षा में लड़कियों की संख्या = $15$

कक्षा में लड़कों की संख्या = $10$

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या = $15 + 10 = 25$

लड़कों की संख्या का लड़कियों की संख्या से अनुपात =  $10 : 15 = \frac{10}{15} = \frac{5 \times 2}{5 \times 3} = \frac{2}{3} = 2 : 3$।

लड़कियों की संख्या का छात्रों की कुल संख्या से अनुपात = $15 : 25 = \frac{15}{25} = \frac{5 \times 3}{5 \times 5} = \frac{3}{5} = 3 : 5$।

छात्रों की कुल संख्या से लड़कों की संख्या का अनुपात = $10 : 25 = \frac{10}{25} = \frac{5 \times 2}{5 \times 5} = \frac{2}{5} = 2 : 5$।

Ex 4: $75 cm$ से $1.5 m$ का अनुपात ज्ञात कीजिए।

दी गई संख्याएं समान इकाइयों में नहीं हैं।

इसलिए, उन्हें समान इकाइयों में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

$1.5 मीटर = 1.5 \times 100 cm = 150 cm \left(1 m = 100 cm \right)$

आवश्यक अनुपात है $75 cm : 150 cm = 75 : 150 = \frac{75}{150} = \frac {75 \times 1}{75 \times 2} = \frac{1}{2} = 1:2$.

Ex 5: रमेश ने एक बैंक में ₹$2050$ जमा किए और जनवरी के महीने में उसने महीने की आखिरी तारीख को अपने खाते से ₹410$ निकाल लिए। का अनुपात ज्ञात कीजिए

(a) जमा किए गए कुल धन की तुलना में निकाली गयी राशि

(b) बैंक में शेष राशि की तुलना में पैसा निकाली गयी राशि

जमा की गई राशि = ₹$2050$

निकाली गई राशि = ₹$410$

शेष राशि = $2050 – 410 =$₹$1640$

निकाले गए धन का कुल जमा किए गए धन से अनुपात = $410 : 2050 = \frac{410}{2050} = \frac{41 \times 10}{41 \times 5 \times 10} = \frac{1}{5} = 1:5$।

बैंक से निकाली गई राशि का शेष राशि से अनुपात = $410 :1640 = \frac{410}{1640} = \frac{41 \times 10}{41 \times 4 \times 10} = \frac{1}{4} = 1:4$।

Ex 6: दी गई तस्वीर से निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए

(a) त्रिभुजों की संख्या की तुलना में वर्गों की संख्या।

(b) वृत्तों की संख्या की तुलना में आयतों की संख्या से।

(c) नीले रंग की आकृतियों की संख्या की तुलना में कुल आकृतियों की संख्या।

वर्गों की संख्या = $2$

त्रिभुजों की संख्या = $3$

वृतों की संख्या = $3$

आयतों की संख्या = $3$

आकृतियों की कुल संख्या = $2 + 3 + 3 + 3 = 11$

वर्गों की संख्या का त्रिभुजों की संख्या से अनुपात = $2 : 3$।

वृत्तों की संख्या का आयतों की संख्या से अनुपात =  $3 : 3 = \frac{3}{3} = 1 = 1 : 1$।

नीले रंग की आकृतियों की संख्या = $3$

नीले रंग की आकृतियों की संख्या की तुलना में आकृतियों की कुल संख्या का अनुपात =$3 : 11$।

याद रखने योग्य बातें

अनुपातों से सम्बंधित प्रश्नों को हल करते समय ध्यान रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु निम्नलिखित हैं:

• यदि किसी अनुपात $a: b$ में दोनों संख्याएँ $a$ और $b$ बराबर हैं, तो $a: b = 1$
• यदि किसी अनुपात $a: b$ में $a \gt b$, तो $a : b \gt 1$
• यदि किसी अनुपात $a: b$ में $a \lt b$, तो $a : b \lt 1$
• यह सुनिश्चित किया जाना चाहिए कि दो मात्राओं की इकाइयाँ उनकी तुलना करने से पहले समान हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित संख्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए

• $12$ की तुलना में $16$
• $4.2$ की तुलना में $16.6$
• $\frac{2}{5}$ की तुलना में $\frac{4}{15}$

2. एक बॉक्स में $8$ पेंसिल और $12$ पैन हैं। निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए
   • पेन्सिल से पैन 
   • पैन से पेंसिल
   • वस्तुओं की कुल संख्या की तुलना में पैन 
   • वस्तुओं की कुल संख्या की तुलना में पेंसिल

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

अनुपात एक ही इकाइयों की दो राशियों की तुलना है जो एक दूसरे के संबंध में उनके आकार को इंगित करता है। दो राशियों का अनुपात केवल तभी ज्ञात किया जा सकता है जब वे एक ही इकाई में हों।

अनुशंसित पठन

• लाभ और हानि (अर्थ, सूत्र और उदाहरण)
• ऐकिक विधि क्या है? (अर्थ, सूत्र और उदाहरण)
• गुणनखंड और गुणज (विधियों और उदाहरणों के साथ)
• संख्या रेखा पर भिन्न – प्रतिनिधित्व और उदाहरण
• भिन्नों को कम करना – भिन्न का निम्नतम रूप
• भिन्नों की तुलना करना (विधियों और उदाहरणों के साथ)
• सामान एवं असमान भिन्न 
• विषम भिन्न (परिभाषा, रूपांतरण और उदाहरण)
• तुल्य भिन्नों को कैसे ज्ञात करें? (उदाहरण के साथ)
• भिन्नों के 6 प्रकार (परिभाषा, उदाहरण और उपयोग के साथ)
• भिन्न क्या है? – परिभाषा, उदाहरण और प्रकार
• मिश्रित भिन्न – परिभाषा और संचालन (उदाहरण के साथ)
• भिन्नों का गुणन और विभाजन
• भिन्नों का योग और व्यवकलन (चित्रों के साथ)