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ज्यामिति और क्षेत्रमिति में आप कई प्रकार के 2D आकृतियों का अध्ययन करते हैं। चतुर्भुज एक ऐसी 2D समतल आकृति है, जिसमें चार किनारे (या भुजाएँ), चार कोण और चार शीर्ष होते हैं।
आइए समझते हैं कि गणित में चतुर्भुज की परिभाषा क्या है और इसके विभिन्न भाग और गुण क्या हैं।
गणित में चतुर्भुज की परिभाषा क्या है?
चतुर्भुज एक बंद आकार और एक प्रकार का बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ, चार शीर्ष और चार कोण होते हैं। यह चार असंरेखी बिंदुओं को मिलाकर बनता है।
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक चतुर्भुज है
- चार भुजाएँ $\text{AB}$, $\text{BC}$, $\text{CD}$, और $\text{DA}$
- चार कोण $\angle \text{DAB}$, $\angle \text{ABC}$, $\angle \text{BCD}$, और $\angle \text{CDA}$(या सिर्फ $\angle \text {A}$, $\angle \text{B}$, $\angle \text{C}$, और $\angle \text{D}$)
- चार शीर्ष $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, और $\text{D}$
चतुर्भुज $\text{ABCD}$ को $\text{BCDA}$, $\text{CDAB}$, या, $\text{DABC}$ के रूप में भी नामित किया जा सकता है। परन्तु इसे $\text{ACBD}$ या $\text{DBAC}$ के रूप में नामित नहीं किया जा सकता है।
चतुर्भुज के उदाहरण
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक चतुर्भुज के चार किनारे (या भुजाएँ), चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। विभिन्न प्रकार के चतुर्भुज हैं। चतुर्भुज के उदाहरण हैं
| चतुर्भुज | आकार |
| समचतुर्भुज |  |
| आयत |  |
| समानांतर चतुर्भुज |  |
| समलंब |  |
| विषमकोण |  |
| पतंग |  |
चतुर्भुज के आसन्न और विपरीत शीर्ष
वे शीर्ष जो एक दूसरे से सटे हुए हैं और एक रेखा खंड से जुड़े हुए हैं जिन्हें एक किनारा (या एक भुजा) कहा जाता है, एक चतुर्भुज के आसन्न शीर्ष कहलाते हैं। वे शीर्ष जो किसी चतुर्भुज की भुजाओं से जुड़े हुए या जुड़े हुए नहीं होते हैं, विपरीत शीर्ष कहलाते हैं।
उपरोक्त चित्र में एक चतुर्भुज में
| आसन्न शीर्ष | विपरीत शीर्ष |
| $\text{A}$ और $\text{B}$ $\text{B}$ और $\text{C}$ $\text{C}$ और $\text{D}$ $\text{D }$ और $\text{A}$ | $\text{A}$ और $\text{C}$ $\text{B}$ और $\text{D}$ |
चतुर्भुज की आसन्न और विपरीत भुजाएँ
एक चतुर्भुज की भुजाएँ (या किनारे) जिनमें एक शीर्ष उभयनिष्ठ होता है, एक चतुर्भुज की सन्निकट भुजाएँ या आसन्न किनारों के रूप में जाना जाता है। एक चतुर्भुज की भुजाएँ (या किनारे) जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष को साझा नहीं करती हैं, चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ या किनारे कहलाती हैं।
उपरोक्त चित्र में एक चतुर्भुज में
| आसन्न भुजाएँ | विपरीत भुजाएँ |
| $\text{AB}$ और $\text{BC}$ (सामान शीर्ष $\text{B}$) $\text{BC}$ और $\text{CD}$ (सामान शीर्ष $\text{C}$) $\text{CD}$ और $\text{DA}$ (सामान शीर्ष $\text{D}$) $\text{DA}$ और $\text{AB}$ (सामान शीर्ष $\text{A}$) | $\text{AB}$ और $\text{CD}$ $\text{BC}$ और $\text{DA}$ |
चतुर्भुज के आसन्न और विपरीत कोण
चतुर्भुज के वे कोण जिनका एक उभयनिष्ठ किनारा (या भुजा) होता है, चतुर्भुज के आसन्न कोण कहलाते हैं। वे कोण जो एक सामान्य किनारे (या भुजा) को साझा नहीं करते हैं, उन्हें चतुर्भुज के विपरीत कोण के रूप में जाना जाता है।
उपरोक्त चित्र में एक चतुर्भुज में
| आसन्न कोण | विपरीत कोण |
| $\angle \text{DAB}$ और $\angle \text{ABC}$(या $\angle \text{A}$ और $\angle \text{B}$) समान भुजा $\text{AB}$ के साथ $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{BCD}$(या $\angle \text{B}$ और $\angle \text{C}$) समान भुजा $\text{BC} $ के साथ$ \angle \text{BCD}$ और $\angle \text{CDA}$(या $\angle \text{C}$ और $\angle \text{D}$) समान भुजा $\text{CD} $ के साथ $\angle \text{CDA}$ और $\angle \text{DAB}$(या $\angle \text{D}$ और $\angle \text{A}$) समान भुजा $\text{DA}$ के साथ | $\angle \text{DAB}$ और $\angle \text{BCD}$(या $\angle \text{A}$ और $\angle \text{C}$) $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{CDA}$(या $\angle \text{B}$ और $\angle \text{D}$) |
नोट: एक चतुर्भुज में कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
चतुर्भुज के विकर्ण
चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को मिलाने वाले रेखाखंडों को चतुर्भुज के विकर्ण कहते हैं।
उपरोक्त चित्र में, एक चतुर्भुज $\text{ABCD}$ के दो विकर्ण $\text{AC}$ और $\text{BD}$ हैं।
मुख्य बिंदु
- एक चतुर्भुज की चार भुजाएँ होती हैं
- एक चतुर्भुज के चार कोण होते हैं
- एक चतुर्भुज में चार शीर्ष होते हैं
- एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं
- एक उभयनिष्ठ भुजा साझा करने वाले शीर्ष आसन्न शीर्ष कहलाते हैं
- वे शीर्ष जो किसी भुजा को साझा नहीं करते हैं, विपरीत शीर्ष कहलाते हैं
- एक उभयनिष्ठ शीर्ष साझा करने वाली भुजाएँ सन्निकट भुजाएँ कहलाती हैं
- वे भुजाएँ जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष को साझा नहीं करतीं, विपरीत भुजाएँ कहलाती हैं
- एक उभयनिष्ठ भुजा साझा करने वाले कोण आसन्न कोण कहलाते हैं
- ऐसे कोण जो एक उभयनिष्ठ भुजा को साझा नहीं करते हैं, विपरीत शीर्ष कहलाते हैं
- विपरीत शीर्षों को मिलाने वाली रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं
- चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं
- एक चतुर्भुज के चारों कोणों का योग $360^{\circ}$ है
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित को परिभाषित कीजिये
- चतुर्भुज
- विपरीत भुजाएँ
- आसन्न भुजाएँ
- विपरीत कोण
- आसन्न कोण
- विपरीत शीर्ष
- आसन्न शीर्ष
- विकर्ण
- एक चतुर्भुज में कितने शीर्ष, भुजाएँ और कोण होते हैं?
- चतुर्भुज के सभी कोणों का योग कितना होता है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
चतुर्भुज क्या है?
एक चतुर्भुज एक बंद द्वि-आयामी आकृति है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। चतुर्भुज के कुछ उदाहरण वर्ग, आयत और समचतुर्भुज हैं।
एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?
किसी भी प्रकार के चतुर्भुज में, आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ के बराबर होता है।
चतुर्भुज के तीन गुण क्या हैं?
चतुर्भुज के तीन महत्वपूर्ण गुण हैं:
a) चार भुजाएँ
b) चार शीर्ष
c) आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ के बराबर होना चाहिए।
निष्कर्ष
एक चतुर्भुज एक बंद द्वि-आयामी आकृति है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को मिलाने वाले रेखाखंडों को विकर्ण कहते हैं। एक चतुर्भुज में दो प्रतिच्छेदी विकर्ण होते हैं और आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
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