समानुपात क्या है (अर्थ और उदाहरणों के साथ)

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 गणित में समानुपात दो संख्याओं की तुलना है जो वस्तुओं या लोगों का प्रतिनिधित्व करती है, और इसे अक्सर एक भिन्न के रूप में या एक कोलन (:) के साथ लिखा जाता है। समानुपात की अवधारणा अनुपात और भिन्न से संबंधित है, जो दो मूल्यों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करती है।

हम कई दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए समानुपात का उपयोग करते हैं जैसे कि व्यापार में लेन-देन करते समय या खाना बनाते समय, आदि। यह दो या दो से अधिक मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करता है और इस प्रकार उनकी तुलना में मदद करता है।

आइए समझते हैं कि समानुपात क्या है और इसका उपयोग कैसे किया जाता है।

समानुपात क्या है?

समानुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, समानुपात दो भिन्नों या अनुपातों की समानता को बताता है।

उदाहरण के लिए, एक कार एक निश्चित गति से चलती है और $1hr$ में $60 km$ की दूरी तय करती है, वही एक कार है जो $5hr$ में $300 km$ की दूरी तय करती है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि संख्याएँ $60$, $1$, $300$, और $5$ समानुपात में हैं या $300 : 5 = 60: 1$ या $\frac{300}{5} = \frac{60}{1 }$। 

एक समानुपात में दो अनुपात शामिल होते हैं। समानुपात का अर्थ यह है कि दो अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में, दो अनुपात $300:5$ और $60:1$ बराबर हैं।

आम तौर पर चार संख्याएं $a$, $b$, $c$, और $d$ को समानुपात में कहा जाता है, जब $a:b = c:d$, या $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, और अनुपात $a:b$ और $c:d$ समतुल्य अनुपात कहलाते हैं।

समानुपात को “::” या “=” प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है।

जब मान $a$, $b$, $c$ और $d$ समानुपात में हों, यानी, $a:b :: c:d$ या $\frac{a}{b} = \frac{c} {d}$, संख्या $a$ और $d$ को चरम कहा जाता है और संख्या $b$ और $d$ को माध्य कहा जाता है।

अनुपात और समानुपात के बीच अंतर

निम्नलिखित अंतर अनुपात और समानुपात के बीच अंतर करने में मदद करते हैं।

समानुपात की जांच करना

चार संख्याओं $a$, $b$, $c$ और $d$ को अनुपात में कहा जाता है, जब $a:b = c:d$। यह जाँचने के लिए कि क्या संख्याएँ $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, आप निम्न विधियों में से किसी का उपयोग कर सकते हैं।

• भिन्न विधि
• गुणन विधि

भिन्न विधि: संख्याएँ $a$, $b$, $c$ और $d$ समानुपात में होंगी, यदि $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ तुल्य भिन्न हैं।

आइए विधि को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों को लें।

संख्या $12$, $20$, $21$, $35$ अनुपात में हैं, क्योंकि, $\frac{12}{20} = \frac{21}{35}$।

$\frac{12}{20} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = $\frac{3}{5}$ and $\frac{21}{35} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} \frac{3}{5}$.

भिन्न $\frac{12}{20}$ और $\frac{21}{35}$ को तुल्य भिन्न कहा जाता है।

संख्याएँ $6$, $9$, $4$, $10$ समानुपात में नहीं हैं, क्योंकि, $\frac{6}{9} \ne \frac{4}{10}$।

$\frac{6}{9} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2}{3}$ and $\frac{4}{10} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{5}$.

गुणन विधि: संख्या $a$, $b$, $c$ और $d$ अनुपात में होंगे यदि माध्यों का गुणनफल चरम के गुणनफल के बराबर है।

इस विधि को समझने के लिए, आइए फिर से उपरोक्त उदाहरणों को लेते हैं।

संख्याएँ $12$, $20$, $21$, $35$ समानुपात में हैं, क्योंकि $12 \times 35 = 420$ और $20 \times 21 = 420$।

और संख्याएँ $6$, $9$, $4$, $10$ समानुपात में नहीं हैं, क्योंकि $6 \times 10 = 60$ और $9 \times 4 = 36$।

समानुपात के गुण

समानुपात दो अनुपातों के बीच एक तुल्य संबंध स्थापित करता है। अनुपात के गुण निम्नलिखित हैं:

अडडेन्डो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a: b = c: d$, तो प्रत्येक अनुपात का मूल्य $a + c: b + d $ होगा।

दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, तो $a: b = c: d = a + c: b + d$।

आइए अडडेन्डो गुण को समझने के लिए $2$, $3$, $4$, $6$ के समानुपात को लें।

$2 + 4 = 6$ और $3 + 6 = 9$

और, $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}$।

सबतरहेंदो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a: b = c: d$, तो प्रत्येक अनुपात का मूल्य $a – c: b – d $ होगा।

दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, तो $a: b = c: d = a – c: b – d$।

आइए सबतरहेंदो गुण को समझने के लिए $5$, $10$, $1$, $2$ के समानुपात को लें।

$5 – 1 = 4$ और $10 – 2 = 8$

और, $\frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

डिवीडेंडो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a: b = c: d$, तो $a – b: b = c – d: d $। 

आइए डिवीडेंडो गुण को समझने के लिए $3$, $2$, $6$, $4$ के समानुपात को लें।

$\left(3 – 2 \right): 2 = 1: 2$ और $\left(6 – 4 \right): 4 = 2:4 = 1:2$।

कम्पोनेंडो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a : b = c : d$, तो $a + b : b = c + d : d$। 

आइए कम्पोनेंडो गुण को समझने के लिए $2$, $3$, $4$, $6$ के समानुपात को लें।

$\left(2 + 3 \right): 3 = 5: 3$ और $\left(4 + 6 \right) : 6 = 10:6 = 5:3$।

अलटरनेंदो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, यानी, $a: b = c: d$, तो $a: c = b: d$।

आइए अलटरनेंदो गुण को समझने के लिए $2$, $3$, $4$, $6$ के समानुपात को लें।

$2 : 4 = 1: 2$ और $3: 6 = 1:2$।

इन्वेर्टेडो: इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a: b = c: d$, तो $b: a = d: c$।

आइए इनवर्टेंडो गुण को समझने के लिए $2$, $3$, $4$, $6$ के समानुपात को लें।

$3: 2$ और $6: 4 = 3:2$।

कम्पोनेंडो और डिवीडेंडो:  इस गुण में कहा गया है कि यदि $a$, $b$, $c$, और $d$ समानुपात में हैं, अर्थात, $a : b = c : d$, तो $\left(a + b \right) : \left(a – b \right) = \left(c + d \right) : \left(c – d \right)$।

कॉम्पोनेंडो और डिविडेंडो गुण को समझने के लिए आइए समानुपात $3$, $2$, $6$, $4$ को लें।

$\left(3 + 2 \right) : \left(3 – 2 \right) = 5 : 1$ and $\left(6 + 4 \right) : \left(6 – 4 \right) = 10:2 = 5:1$.

उदाहरण

Ex 1: जांचें कि संख्याएं $27$, $33$, $54$, $66$ समानुपात में हैं या नहीं।

मान लीजिए $a = 27$, $b = 33$, $c = 54$, $d = 66$

$\frac{a}{b} = \frac{27}{33} = \frac{9 \times 3}{11 \times 3} = \frac{9}{11}$

और, $\frac{c}{d} = \frac{54}{66} = \frac{9 \times 6}{11 \times 6} = \frac{9}{11}$

चूंकि, $\frac{27}{33} = \frac{54}{66} = \frac{9}{11}$, इसलिए, संख्याएँ  $27$, $33$, $54$, $66$ समानुपात में हैं।

वैकल्पिक रूप से, इसे के रूप में हल किया जा सकता है

$a \times d = 27 \times 66 = 1782$ और $b \times d = 33 \times 54 = 1782$।

चूंकि, $27 \times 66 = 33 \times 54$, इसलिए, संख्या $27$, $33$, $54$, $66$ समानुपात में हैं। 

Ex 2: $x$ का मान ज्ञात कीजिए, जैसे कि $2$, $x$, $3$, और $15$ समानुपात में हों।

$2$, $x$, $3$, और $15$ के अनुपात में होने के लिए, $2 \times 15 = x \times 3 => 3x = 30 => x = \frac{30}{3} = 10$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ समानुपात में हैं या नहीं।

• $1$, $2$, $3$, $4$
• $2$, $3$, $4$, $6$
• $2$, $3$, $4$, $8$
• $1$, $5$, $10$, $15$

2. $x$ के किस मान के लिए, निम्नलिखित संख्याएँ समानुपात में होंगी?

• $2$, $8$, $x$, $20$
• $x$, $75$, $1$, $5$
• $7$, $x$, $5$, $15$
• $9$, $36$, $11$, $x$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

समानुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, समानुपात दो भिन्नों या अनुपातों की समानता को बताता है। यदि कोई चार संख्याएँ $a$, $b$, $c$ और $d$ समानुपात में हैं, तो $a:b = c:d$।

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