प्रायिकता क्या है – परिभाषा, शब्दावली, उपयोग और उदाहरण

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जब भी हम किसी घटना के परिणाम के बारे में अनिश्चित होते हैं, तो हम उसके परिणाम की संभावनाओं के बारे में बात करते हैं। आपने लोगों को यह कहते हुए सुना होगा कि ‘शायद आज बारिश होगी’, ‘शायद मैं बोर्ड परीक्षा पास कर लूंगा’, ‘आज रात तूफान आने की प्रबल संभावना है’, और ‘आने वाले टूर्नामेंट में मेरे जीतने की संभावना बहुत कम है’,आदि।

आइए उदाहरणों के साथ समझते हैं कि प्रायिकता क्या है और यह कैसे संयोग से संबंधित है।

प्रायिकता क्या है?

ऊपर उल्लेख की कई घटनाएं ऐसी हैं जिनका अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। प्रायिकता किसी संख्या को किसी घटना के अवसर या संभावना के साथ जोड़ने का एक तरीका है। यह किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है। प्रायिकता की अवधारणा का उपयोग करके हम किसी घटना के घटित होने की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं, अर्थात यह कि उस घटना के घटित होने की कितनी संभावना है। किसी घटना की संभावना $0$ से $1$ तक हो सकती है, जहाँ $0$ का अर्थ है कि घटना एक असंभव घटना है और $1$ का अर्थ है कि घटना एक निश्चित घटना है। मान $0$ और $1$ को $0 \% = 0$ से $100 \% = 1$ तक के प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

प्रायिकता क्या है

प्रायिकता को केवल कुछ होने या न होने की संभावना कहा जा सकता है। इसलिए किसी संभावित घटना के घटित होने की संभावना को हम प्रायिकता कहते हैं।

प्रायिकता के उदाहरण

Ex 1:  यदि आप छह फलक वाला पासा फेंकते हैं, तो छक्का मारने की संभावना $\frac{1}{6}$ है।

$0 \le \frac{1}{6} \le 1$ (किसी घटना की प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच होती है)

Ex 2: यदि आप दो सिक्कों को उछालते हैं, तो एक चित्त और एक पट आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

$0 \le \frac{1}{2} \le 1$ (किसी घटना की प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच होती है)

Ex 3: अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की एक गड्डी में, बादशाह होने की प्रायिकता $\frac{1}{13}$ है।

$0 \le \frac{1}{13} \le 1$ (किसी घटना की प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच होती है)

नोट:

  • किसी घटना की संभावना $0$ और $1$ के बीच होती है (दोनों सम्मिलित)
  • किसी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है

प्रायिकता की परिभाषा

प्रायिकता की मूल अवधारणा को समझने के बाद, आइए प्रायिकता शब्द की औपचारिक परिभाषा देखें। जैसा कि ऊपर सीखा गया है कि प्रायिकता एक निश्चित प्रयोग किए जाने पर किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक उपाय है। इसलिए, प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

  • प्रायिकता एक गणितीय शब्द है जो इस संभावना के लिए है कि कुछ घटित होगा। यह परिणामों के एक अलग संयोजन की संभावना को समझने और अनुमान लगाने की क्षमता है।
  • प्रायिकता का अर्थ है कि ‘यह संभव है’। यह सांख्यिकी की एक शाखा है जो एक यादृच्छिक घटना के घटित होने से संबंधित है। संख्या $0$ से $1$ तक व्यक्त की जाती है जहां $0$ एक असंभव घटना का प्रतिनिधित्व करता है और $1$ एक निश्चित घटना का प्रतिनिधित्व करता है।
  • प्रायिकता मूल रूप से वह डिग्री है जिस तक कुछ हो सकता है। किसी एक घटना के घटित होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, हमें संभावित परिणामों की कुल संख्या जानने की आवश्यकता है।

प्रायिकता सिद्धांत की अवधारणाएँ

आइए अब समझते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता की गणना कैसे की जाती है। लेकिन इससे पहले आइए प्रायिकता से जुड़ी कुछ बुनियादी शब्दावली को समझते हैं।

प्रयोग

सांख्यिकी में, एक प्रयोग को एक आदेशित प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जो परिकल्पना की वैधता को सत्यापित करने और निर्धारित करने के उद्देश्य से किया जाता है। कोई भी प्रयोग करने से पहले, कुछ विशिष्ट प्रश्नों, जिनके लिए प्रयोग अभिप्रेत है, की स्पष्ट रूप से पहचान कर लेनी चाहिए। 

प्रयोग के उदाहरण

Ex 1: अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी में से एक पत्ता चुनना।

Ex 2: कैलकुलेटर की मदद से $45$ और $23$ को जोड़ना।

Ex 3: पासे की एक जोड़ी को फेंकना।

यादृच्छिक प्रयोग

एक प्रयोग जिसमें परिणामों का एक अच्छी तरह से परिभाषित समुच्चय होता है और सटीक परिणाम या परिणाम का पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है, उसे यादृच्छिक प्रयोग कहा जाता है। इसे परिक्षण भी कहते हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हम जानते हैं कि हमें चित या पट मिलेगा, परन्तु हम निश्चित नहीं होते हैं कि कौन सा दिखाई देगा।

यादृच्छिक प्रयोग के उदाहरण

Ex 1: अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी में से एक पत्ता चुनना।

Ex 2: पासे की एक जोड़ी को फेंकना।

नोट: कैलकुलेटर का उपयोग करके $45$ और $23$ को जोड़ना एक प्रयोग है लेकिन यादृच्छिक प्रयोग नहीं है क्योंकि परिणाम हमेशा $68$ होगा, जो एक निश्चित मान है न कि यादृच्छिक मान।

प्रायिकता क्या है

परिणाम

किसी भी यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम को परिणाम कहते हैं। मान लीजिए कि सिक्का उछलने पर चित (H) प्राप्त होता है। यहां सिक्का उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग है जिसका परिणाम ‘चित’ (या हेड ‘H’) होता है।

परिणाम के उदाहरण

Ex 1: यदि आप छह फलक वाले पासे को फेंकते हैं तो संभावित परिणाम $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ और $6$ हैं।

Ex 2: यदि आप सिक्कों की एक जोड़ी उछालते हैं, तो संभावित परिणाम हैं (Head, Head), (Head, Tail), (Tail, Head), (Tail, Tail)।

समप्रायिक परिणाम

होने की समान सैद्धांतिक प्रायिकता (या प्रायिकता) वाले परिणामों को समप्रायिक परिणाम कहा जाता है।

समप्रायिक परिणाम के उदाहरण

Ex 1: जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, तो चित और पट की आपेक्षिक घटनाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, चित और पट समप्रायिक परिणाम हैं जो एक सिक्के को उछालने को निष्पक्ष बनाते हैं यदि इसे दो विकल्पों के बीच फैसला करना होता है।

Ex 2: जब एक छह फलक वाला पासा फेंका जाता है, तो 1, 2, 3, 4, 5 और 6 की आपेक्षिक घटनाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, 1, 2, 3, 4, 5 और 6 प्राप्त करना समप्रायिक परिणाम हैं। यहाँ 1, 2, 3, 4, 5, या 6 प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

प्रायिकता क्या है

प्रतिदर्श समष्टि

प्रतिदर्श समष्टि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का संग्रह होता है। प्रतिदर्श समष्टि रोस्टर के रूप में एक समुच्चय के रूप में दर्शाया गया है।

प्रतिदर्श समष्टि के उदाहरण

Ex 1: जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = {Head, Tail} या S = {H, T} होता है। 

Ex 2: जब छ: फलक वाले पासे को एक बार फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} होता है।

Ex 3: जब सिक्कों के एक जोड़े को उछाला जाता है, या एक ही सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = {(Head, Head), (Head, Tail), (Tail, Head), (Tail, Tail)} या {(HH) ), (HT), (TH), (TT)}।

प्रतिदर्श बिंदु

प्रतिदर्श समष्टि के प्रत्येक अवयव को प्रतिदर्श बिंदु कहा जाता है।

प्रतिदर्श बिंदु के उदाहरण

Ex 1: प्रतिदर्श समष्टि में जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, तो ‘चित’ (या ‘H’) एक प्रतिदर्श बिंदु होता है। इसी प्रकार, ‘पट’ (या ‘T’) भी एक प्रतिदर्श बिंदु है।

Ex 2: प्रतिदर्श समष्टि में जब एक पासे को एक बार फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श बिंदु $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ और $6$ होते हैं।

यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर एक चर है जो कई मान ले सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक यादृच्छिक घटना के कई परिणाम हो सकते हैं। यादृच्छिक चर को बीजगणितीय चर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक बीजगणितीय चर बीजगणितीय समीकरण में एक अज्ञात मात्रा के मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना की जा सकती है। दूसरी ओर, यादृच्छिक चर में मूल्यों का एक समुच्चय हो सकता है जो एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम होता है।

यादृच्छिक चर के उदाहरण

Ex 1: जब दो पासे फेंके जाते हैं और यादृच्छिक चर, X का उपयोग संख्याओं के योग को दर्शाने के लिए किया जाता है। यहां, X का न्यूनतम मान 2 (1 + 1) के बराबर होगा, जबकि उच्चतम मान 12 (6 + 6) होगा। इस प्रकार, X 2 से 12 (दोनों सम्मिलित) के बीच कोई भी मान ले सकता है। अब यदि प्रायिकता को प्रत्येक परिणाम से जोड़ा जाता है तो X का प्रायिकता वितरण निर्धारित किया जा सकता है।

घटना

यादृच्छिक प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि के किसी भी उपसमुच्चय को घटना कहा जाता है। 

घटना के उदाहरण

Ex 1: जब सिक्कों के एक जोड़े को उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = {(Head, Head), (Head, Tail), (Tail, Head), (Tail, Tail)} और इस प्रतिदर्श समष्टि के लिए कई उपसमुच्चय होते हैं जैसे कि {(Head, Head)}, {(Head, Tail)}, (Head,Tail), (Tail, सिर)}, आदि। ये सभी उपसमुच्चय घटनाएँ कहलाती हैं जब सिक्कों के एक जोड़े को उछाला जाता है।

Ex 2: जब पासे को एक बार फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} होता है और इस प्रतिदर्श समष्टि के लिए अनेक उपसमुच्चय होते हैं जैसे {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 5}, {3, 4}, {1, 2, 5}, {3, 4, 6 }, …. ये सभी उपसमुच्चय घटना कहलाती हैं जब एक पासा फेंका जाता है।

अनुकूल घटना

एक परिणाम जो किसी परीक्षण में किसी घटना के घटित होने को आवश्यक बनाता है, एक अनुकूल घटना कहलाती है।

अनुकूल घटना के उदाहरण

Ex 1: जब एक पासे को उछाला जाता है, तो एक विषम संख्या प्राप्त होने की अनुकूल घटनाएँ {1}, {3}, या {5} होती हैं।

Ex 2: जब एक पासे के जोड़े को उछाला जाता है, तो 7 का योग प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), और ( 6, 1)। 

प्रतिकूल घटना

वह परिणाम जो किसी परीक्षण में किसी घटना के होने पर रोक (या प्रतिबंध) लगाता है, उसे प्रतिकूल घटना कहा जाता है।

प्रतिकूल घटना के उदाहरण

Ex 1: जब एक पासे को फेंका जाता है, तो एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रतिकूल घटनाएँ {2}, {4}, या {6} होती हैं।

Ex 2: जब पासों का एक जोड़ा फेंका जाता है, तो 7 का योग प्राप्त करने की प्रतिकूल घटनाएं हैं (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2) , 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5) ), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), और (6, 6)।

नोट: जब किसी प्रतिदर्श समष्टि में

  • अनुकूल घटनाओं की संख्या प्रतिकूल घटनाओं की संख्या के बराबर है, तो संबंधित घटना के होने की समान संभावना है।
  • अनुकूल घटनाओं की संख्या प्रतिकूल घटनाओं की संख्या से अधिक है, तो संबंधित घटना होने की बहुत अधिक संभावना है।
  • अनुकूल घटनाओं की संख्या प्रतिकूल घटनाओं की संख्या से कम है, तो संबंधित घटना होने की संभावना बहुत कम है। 

निःशेष घटनाएं

निःशेष घटनाएँ एक प्रतिदर्श समष्टि में घटनाओं का एक समूह हैं जैसे कि प्रयोग करते समय उनमें से एक अनिवार्य रूप से होता है। सरल शब्दों में, हम कह सकते हैं कि किसी प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि में सभी संभव घटनाएँ विस्तृत घटनाएँ हैं। उदाहरण के लिए, जब एक सिक्के को उछाला जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम होते हैं – चित (H) या पट (T)। इसलिए, ये दो परिणाम संपूर्ण घटनाएँ हैं क्योंकि इनमें से एक निश्चित रूप से सिक्के को उछालते समय घटित होगी।

घटनाएँ $\text{E}_1$, $\text{E}_2$, $\text{E}_3$, $\text{E}_4$, …, $\text{E}_n$ कहलाती हैं निःशेष घटनाएँ, यदि $\text{E}_1 \cup \text{E}_2 \cup \text{E}_3 \cup \text{E}_4 \cup … \text{E}_n = \text{S} $, जहाँ $\text{S}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है।

निःशेष घटनाओं के उदाहरण

Ex 1: जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, $\{\text{H}\}$ और $\{\text{T}\}$ निःशेष घटनाएँ हैं, जैसे $\{\text{H}\} \cup \{\ text{T}\} = \{\text{H}, \text{T} \}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है।

Ex 2: जब पासे को एक बार फेंका जाता है, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$ और $\{ $\{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \{4\} \cup \{5\} 6\}$ संपूर्ण घटनाएँ हैं  $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है।

परस्पर अपवर्जी घटनाएं

वे घटनाएँ जो एक साथ घटित नहीं हो सकती परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कहलाती हैं। 

परस्पर अपवर्जी घटनाओं के उदाहरण

Ex 1: जब एक सिक्के को उछालने के एक यादृच्छिक प्रयोग में, ‘चित’ (या ‘H’) और ‘पट’ (या ‘T’) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ होती हैं। उछाले जाने पर सिक्का चित और पट दोनों पर नहीं गिर सकता है। 

Ex 2: जब ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है, तो घटनाएँ ‘बादशाह मिलना’ और ‘गुलाम मिलना’ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ होती हैं, क्योंकि एक पत्ता बादशाह और गुलाम नहीं हो सकता।

Ex 3: जब ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है, तो ‘बादशाह का मिलना’ और ‘काला पत्ता मिलना’ की घटनाएँ गैर-पारस्परिक रूप से अपवर्जी घटनाएँ होती हैं, क्योंकि पत्ता बादशाह भी हो सकता है और काला भी। (यानी एक काला बादशाह प्राप्त करना)। हुकुम का बादशाह या चिड़ी का बादशाह)।

Ex 4: जब एक पासे को उछाला जाता है तो ‘विषम संख्या प्राप्त होना’ और ‘अभाज्य संख्या प्राप्त होना’ घटनाएँ गैर-पारस्परिक रूप से अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि संख्याएँ 3 और 5 विषम संख्याएँ होने के साथ-साथ अभाज्य संख्याएँ भी हैं।

असंभव घटना

एक ऐसी घटना जो हो नहीं सकती जब एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है, एक असंभव घटना कहलाती है।

असंभव घटना के उदाहरण

Ex 1: जब छह फलक वाला पासा फेंका जाता है तो अंक ‘7’ प्राप्त करना एक असंभव घटना है। एक असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा 0 होती है।

Ex 2: जब पासों का एक जोड़ा फेंका जाता है, तो ’15 का योग प्राप्त करना’ एक असंभव घटना है, क्योंकि अधिकतम योग जो एक प्राप्त कर सकता है वह 12 है (पहले पासे पर 6, दूसरे पासे पर 6)।

निश्चित घटना

एक घटना जो निश्चित रूप से घटित होगी जब एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है, एक निश्चित घटना कहलाती है।

निश्चित घटना के उदाहरण

Ex 1: 0 से बड़ी संख्या और 7 से कम संख्या प्राप्त करना जब छह चेहरे वाला पासा फेंका जाता है तो यह एक निश्चित घटना है। किसी निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा 1 होती है।

Ex 2: जब पासों का एक जोड़ा फेंका जाता है, तो ‘2 और 12 के बीच का योग प्राप्त करना’ एक निश्चित घटना है, चूंकि, न्यूनतम योग 2 है (पहले पासे पर 1, दूसरे पासे पर 1) और अधिकतम योग 12 है ( पहले पाँसे पर 6, दूसरे पाँसे पर 6)

नोट: किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 (दोनों सहित) के बीच होती है। यदि $\text{E}$ एक घटना है, और घटना $\text{E}$ की प्रायिकता $\text{P}(\text{E})$ है, तो $0 \le \text{P} (\text{E}) \le $1.

किसी घटना की प्रायिकता की गणना करना

प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दृष्टिकोण के आधार पर किसी घटना की संभावना की गणना करने के विभिन्न तरीके हैं। किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए चार अलग-अलग दृष्टिकोण हैं

  • परंपरागत दृष्टिकोण: प्रायिकता  के लिए परंपरागत या सैद्धांतिक दृष्टिकोण बताता है कि एक प्रयोग में जहां $n$ समान रूप से संभावित परिणाम हैं, और घटना $\text{E}$ में बिल्कुल $m$ अनुकूल परिणाम हैं, तो $\text{E} की प्रायिकता $ है $P(E) = \frac{m}{n}$। यह अक्सर पहला परिप्रेक्ष्य होता है जिसका छात्र औपचारिक शिक्षा में अनुभव करते हैं। उदाहरण के लिए, एक निष्पक्ष पासे को फेंकते समय, छह संभावित परिणाम होते हैं जो समान रूप से संभावित होते हैं, आप कह सकते हैं कि प्रत्येक संख्या को रोल करने की $\frac{1}{6}$ संभावना है।
  • अनुभवजन्य दृष्टिकोण: प्रायिकता के अनुभवजन्य या प्रायोगिक दृष्टिकोण वास्तव में प्रयोग करके प्रायिकता को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी सिक्के को उछालने पर ‘चित’ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप सिक्के को कई बार उछालते हैं (एक वास्तविक प्रयोग करते हुए), फिर गिनें कि सिक्का ‘चित’ पर कितनी बार गिरा। . किसी घटना $\text{E}$ की प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र $P(E) = \frac{a}{b}$ है, जहां, $b$ एक प्रयोग किए जाने की संख्या है (या एक परीक्षणों की संख्या) और $a$ घटना के घटित होने की संख्या है।
  • व्यक्तिपरक दृष्टिकोण: प्रायिकता के लिए व्यक्तिपरक दृष्टिकोण एक व्यक्ति के अपने व्यक्तिगत विश्वास या निर्णय पर विचार करता है कि एक घटना घटित होगी। उदाहरण के लिए, एक निवेशक के पास बाजार की एक शिक्षित समझ हो सकती है और कल किसी निश्चित स्टॉक के ऊपर जाने की संभावना के बारे में सहजता से बात कर सकता है। आप तर्कसंगत रूप से समझ सकते हैं कि कैसे व्यक्तिपरक दृष्टिकोण सैद्धांतिक या प्रायोगिक विचारों से सहमत है। दूसरे शब्दों में, यह संभावना है कि एक व्यक्ति अपने ज्ञान और भावनाओं के माध्यम से क्या होने की उम्मीद कर रहा है वास्तव में कोई औपचारिक गणना के बिना परिणाम होगा।
  • स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण: प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण एक एकीकृत परिप्रेक्ष्य है जहां सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक संभाव्यता में उपयोग की जाने वाली सुसंगत स्थितियां व्यक्तिपरक संभाव्यता साबित करती हैं। आप सभी प्रकार की प्रायिकता के लिए कोलमोगोरोव द्वारा नियमों या सूक्तियों का एक सेट लागू करते हैं। कोलमोगोरोव के तीन सिद्धांत हैं जिनका उपयोग किया जाता है। स्वयंसिद्ध संभाव्यता का उपयोग करते समय, आप किसी घटना के घटित होने या न होने की संभावना की मात्रा निर्धारित कर सकते हैं।

प्रायिकता का उपयोग

किसी घटना में कोई विशेष चीज होने वाली है या नहीं, यह पता लगाने के लिए प्रायिकता महत्वपूर्ण है। यह हमें भविष्य की घटनाओं का पूर्वानुमान लगाने और तदनुसार कार्रवाई करने में भी मदद करता है। नीचे हमारे दैनिक जीवन में प्रायिकता के उपयोग दिए गए हैं।

  • मौसम का पूर्वानुमान: हम अक्सर बाहर जाने की योजना बनाने से पहले मौसम के पूर्वानुमान की जांच करते हैं। मौसम का पूर्वानुमान हमें बताता है कि क्या दिन बादल छाए रहेंगे, धूप, तूफानी या बारिश होगी। दिए गए पूर्वानुमान के आधार पर, हम अपने दिन की योजना बनाते हैं। 
  • कृषि: तापमान, मौसम और मौसम कृषि और खेती में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। मौसम का पूर्वानुमान, पूर्वानुमान के आधार पर किसानों को अपना काम अच्छी तरह से करने में मदद करती है। निस्संदेह, अनिश्चित मौसम की घटना मानव नियंत्रण से परे है, लेकिन प्रतिकूल मौसम की तैयारी करना संभव है यदि पहले से ही इसका पूर्वानुमान लगा लिया जाए।
  • राजनीति: आप ‘एग्जिट पोल’ शब्द से वाकिफ होंगे। जब भी चुनाव होते हैं और परिणाम घोषित होने बाकी होते हैं, हम मतदान होने से पहले ही चुनाव के परिणाम का पूर्वानुमान लगना चाहते हैं। इन पूर्वानुमान को एग्जिट पोल कहा जाता है और प्रायिकता की अवधारणा का उपयोग करते हैं। 
  • बीमा: बीमा कंपनियाँ व्यक्ति के परिवार के इतिहास और पीने और धूम्रपान जैसी व्यक्तिगत आदतों के डेटाबेस का अध्ययन करके किसी व्यक्ति की मृत्यु की संभावना का पता लगाने के लिए प्रायिकता का उपयोग करती हैं। संभाव्यता एक व्यक्ति और उसके परिवार के लाभ के लिए सर्वोत्तम बीमा योजना की जांच और मूल्यांकन करने में भी मदद करती है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. निम्न की व्याख्या करें
    • प्रायिकता
    • यादृच्छिक प्रयोग
    • घटना
    • निःशेष घटनाएँ
    • अनुकूल घटना
    • परस्पर अपवर्जी घटनाएं
  2. सही या गलत बताएं
    • किसी घटना की प्रायिकता $0$ और $1$ (दोनों सहित) के बीच होती है।
    • किसी घटना की प्रायिकता $0 \%$ और $1 \%$ (दोनों सहित) के बीच होती है।
    • किसी घटना की प्रायिकता $0$ और $100$ (दोनों सम्मिलित) के बीच होती है।
    • किसी घटना की प्रायिकता $0 \%$ और $100 \%$ (दोनों सम्मिलित) के बीच होती है।
    • वे घटनाएँ जो एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं उन्हें संपूर्ण घटनाएँ कहा जाता है।
    • वे घटनाएँ जो एक साथ घटित नहीं हो सकतीं, परस्पर अनन्य घटनाएँ कहलाती हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रायिकता की सरल परिभाषा क्या है?

प्रायिकता एक संख्या है जो किसी विशेष घटना के घटित होने की संभावना या संभावना को दर्शाती है। संभावनाओं को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो 0 से 1 तक होता है, और उन्हें 0% से 100% तक के प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

उदाहरण के साथ बताएं प्रायिकता क्या है?

प्रायिकताएक मूल्य है जो किसी घटना के होने की संभावना से जुड़ा होता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछलने पर और उसके चित होने की संभावना $\frac{1}{2}$ है, क्योंकि एक चित प्राप्त करने का $1$ तरीका है और संभावित परिणामों की कुल संख्या $2$ (चित या पट) है।  हम P(heads) = $\frac{1}{2}$ लिखते हैं।

प्रायिकता का जनक कौन है?

ब्लेज़ पास्कल और पियरे डी फर्मेट को प्रायिकता का जनक माना जाता है क्योंकि उन्होंने प्रायिकता सिद्धांत की मूलभूत नींव रखी।

प्रायिकता की अवधारणा क्या है?

प्रायिकता यादृच्छिक घटना के विश्लेषण से संबंधित गणित की एक शाखा है। एक यादृच्छिक घटना का परिणाम उसके होने से पहले निर्धारित नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह कई संभावित परिणामों में से कोई एक हो सकता है। वास्तविक परिणाम को संयोग से निर्धारित माना जाता है।

प्रायिकता की अवधारणा किसने दी?

ब्लेज़ पास्कल और पियरे डी फ़र्मेट ने प्रायिकता सिद्धांत की मूलभूत नींव रखी, और इसलिए उन्हें प्रायिकता के जनक के रूप में श्रेय दिया जाता है।

प्रायिकता की अवधारणा कैसे शुरू हुई?

प्रायिकता की अवधारणा बहुत ही अजीब तरीके से विकसित हुई। 1654 में, एक जुआरी शेवेलियर डी मेरे ने 17वीं शताब्दी के जाने-माने फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल से पासों की कुछ समस्याओं के बारे में संपर्क किया। पास्कल इन समस्याओं में दिलचस्पी लेने लगे, उनका अध्ययन किया और एक अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ, पियरे डी फर्मेट के साथ उनकी चर्चा की। पास्कल और फर्मेट दोनों ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं का समाधान किया। यह कार्य संभाव्यता सिद्धांत की शुरुआत थी।

प्रायिकता के 4 प्रकार क्या हैं?

प्रायिकता पर आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले चार दृष्टिकोण परम्परागत, अनुभवजन्य, व्यक्तिपरक और स्वयंसिद्ध हैं।
परम्परागत: प्रायिकता के लिए शास्त्रीय या सैद्धांतिक दृष्टिकोण बताता है कि एक प्रयोग में जहां $n$ समान रूप से संभावित परिणाम हैं, और घटना $\text{E}$ में बिल्कुल $m$ अनुकूल परिणाम हैं, तो $\text{ की संभावना E}$, $P(E) = \frac{m}{n} है।
अनुभवजन्य: प्रायिकता के लिए अनुभवजन्य या प्रायोगिक दृष्टिकोण वास्तव में प्रयोग करके संभाव्यता को परिभाषित करता है। किसी घटना $\text{E}$ की प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र $P(E) = \frac{a}{b} है, जहां, $b$ एक प्रयोग किए जाने की संख्या है (या एक परीक्षणों की संख्या) और $a$ घटना के घटित होने की संख्या है।
व्यक्तिपरक: प्रायिकता के लिए व्यक्तिपरक दृष्टिकोण एक व्यक्ति की अपनी व्यक्तिगत धारणा या निर्णय पर विचार करता है कि एक घटना घटित होगी।
स्वयंसिद्ध: प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण एक एकीकृत परिप्रेक्ष्य है जहां सैद्धांतिक और प्रायोगिक प्रायिकता में उपयोग की जाने वाली सुसंगत स्थिति व्यक्तिपरक प्रायिकता साबित करती है।

प्रायिकता बंटन की अवधारणा क्या है?

प्रायिकता बंटन एक सांख्यिकीय फ़ंक्शन है जो सभी संभावित मूल्यों और संभावनाओं का वर्णन करता है जो एक यादृच्छिक चर एक निश्चित सीमा के भीतर ले सकता है। यह सीमा न्यूनतम और अधिकतम संभव मानों के बीच सीमित है, परन्तु प्रायिकता बंटन पर संभावित मान प्लॉट किए जाने की संभावना है, यह वितरण के माध्य (औसत), मानक विचलन, तिरछापन और कर्टोसिस जैसे कई कारकों पर निर्भर करता है।

प्रायिकता और सांख्यिकी कैसे संबंधित हैं?

प्रायिकता भविष्य की घटनाओं की संभावना का अनुमान लगाने से संबंधित है, जबकि सांख्यिकी में पिछली घटनाओं की आवृत्ति का विश्लेषण शामिल है। प्रायिकता मुख्य रूप से गणित की एक सैद्धांतिक शाखा है, जो गणितीय परिभाषाओं के परिणामों का अध्ययन करती है।

हम वास्तविक जीवन में प्रायिकता सूत्र का उपयोग कहाँ करते हैं?

वास्तविक जीवन में प्रायिकता के कुछ अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:
a) मौसम का पूर्वानुमान 
b) कृषि
c) राजनीति
d) बीमा

निष्कर्ष

प्रायिकता एक गणितीय शब्द है जो इस संभावना के लिए है कि कुछ घटित होगा। यह परिणामों के एक अलग संयोजन की संभावना को समझने और अनुमान लगाने की क्षमता है। किसी घटना की संभावना $0$ से $1$ तक हो सकती है, जहाँ $0$ का अर्थ है कि एक घटना एक असंभव घटना है और $1$ का अर्थ है कि एक घटना एक निश्चित घटना है। प्रायिकता ज्ञात करने के चार विभिन्न दृष्टिकोण परम्परागत, अनुभवजन्य, व्यक्तिपरक और स्वयंसिद्ध हैं।

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