तोरण क्या है (संचयी बारंबारता वक्र) – अर्थ, प्रकार और उपयोग

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शब्द ‘ogive’ (ओह-जाइव के रूप में उच्चारित) एक शब्द है जिसका उपयोग वास्तुकला में किया जाता है जिसका अर्थ है एक नुकीला या गॉथिक मेहराब। सांख्यिकी में, ‘Ogive’ शब्द का प्रयोग संचयी आवृत्ति ग्राफ के लिए किया जाता है। बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करने के लिए तोरण रेखांकन का प्रयोग किया जाता है। सांख्यिकी में तोरण ग्राफ दो प्रकार के होते हैं – ‘से अधिक’  तोरण और ‘से कम’ तोरण ।

आइए समझते हैं कि एक तोरण (या संचयी बारंबारता) वक्र क्या है और इसे कैसे खींचा जाता है और बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकी में तोरण क्या है?

एक तोरण, जिसे कभी-कभी संचयी बारंबारता वक्र कहा जाता है, एक प्रकार का बारंबारता बहुभुज है जो संचयी बारंबारता को दर्शाता है। एक तोरण ग्राफ $y$-अक्ष पर संचयी बारंबारता और $x$-अक्ष के साथ वर्ग सीमाओं को आलेखित करता है। यह एक हिस्टोग्राम के समान है, केवल आयतों के बजाय, एक तोरण में एक एकल बिंदु होता है जहाँ आयत का शीर्ष दाहिना भाग होगा। बारंबारता सारणी से इस प्रकार का आलेख बनाना आमतौर पर आसान होता है।

चित्रात्मक निरूपण में आँकड़ों को चित्रित करने के लिए अधिकतर तोरण का प्रयोग किया जाता है। यह उन अवलोकनों की संख्या का अनुमान लगाने में मदद करता है जो विशेष मूल्य से कम या उसके बराबर हैं। उनका उपयोग माध्यिका, पर्सेंटाइल और पांच-संख्या आँकड़ों के सारांश की गणना के लिए भी किया जाता है। यहां, माध्यिका एक मूल मान है जो हमें दिए गए आंकड़ें के मध्य के बारे में आँकड़ा देता है। इस प्रकार, तोरण पर विचार करने पर हमें आँकड़ों के उन मूल्यों के बारे में जानकारी प्राप्त होती है जो एक निश्चित आवंटित माध्यिका के ऊपर या नीचे होते हैं, जिससे माध्यिका ज्ञात करना संभव हो जाता है।

जिस तरह से एक तोरण रेखांकित किया जाता है, उसके आधार पर यह ‘से कम’ तोरण या ‘से अधिक’ तोरण हो सकता है।

तोरण पर आगे बढ़ने से पहले, आइए पहले केंद्रीय अवधारणा – संचयी बारंबारता को समझें।

संचयी बारंबारता बंटन क्या है?

एक संचयी बारंबारता बंटन एक बारंबारता बंटन में वर्ग अंतराल और उसके नीचे के सभी वर्ग अंतरालों का योग होता है। इसका मतलब यह है कि आप एक मूल्य और उससे पहले आए सभी मूल्यों को जोड़ रहे हैं।

संचयी बारंबारता बंटन दो प्रकार के होते हैं।

• से कम संचयी वितरण
• से अधिक संचयी वितरण 

पहला कदम यह जांचना है कि क्या बारंबारता बंटन में एक विशिष्ट वर्ग अंतराल है या एक समावेशी वर्ग अंतराल है। 

समावेशी वर्ग अंतराल

असतत आँकड़ों के लिए समावेशी वर्ग अंतराल का उपयोग किया जाता है। एक समावेशी वर्ग अंतराल में, एक वर्ग की निचली सीमा पूर्ववर्ती वर्ग की ऊपरी सीमा में दोहराई नहीं जाती है। अंतराल $\text{a} – \text{b}$ समावेशी वर्ग अंतराल में $a$ और $b$ दोनों सहित $a$ और $b$ के बीच के सभी मान शामिल हैं। असमानता के रूप में, इसे $a \le x \le b$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में $5$ से लेकर $10$ तक के सभी मान शामिल हैं, जिनमें $5$ और $10$ शामिल हैं, अर्थात, समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में शामिल मानों में $5$, $6$ शामिल हैं, $7$, $8$, $9$ और $10$।

नोट: समावेशी वर्ग अंतराल में केवल परिमित निश्चित मान शामिल होते हैं।

अनन्य वर्ग अंतराल

सतत आँकड़ों के लिए अपवर्जी वर्ग अंतराल का उपयोग किया जाता है। एक विशेष वर्ग अंतराल में, एक वर्ग की निचली सीमा पूर्ववर्ती वर्ग की ऊपरी सीमा में दोहराई जाती है। विशेष वर्ग अंतराल में अंतराल $\text{a} – \text{b}$ में $a$ और $b$ के बीच के सभी मान शामिल हैं, जिसमें $a$ दोनों शामिल हैं लेकिन $b$ को छोड़कर। असमानता के रूप में, इसे $a \le x \lt b$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, विशिष्ट वर्ग अंतराल $5 – 10$ में $5$ से लेकर $10$ तक के सभी मान शामिल हैं, जिनमें $5$ शामिल हैं, लेकिन $10$ को छोड़कर, यानी, समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में शामिल मानों में $5$, $5.4$ शामिल हैं , $6$, $6.89$, $7$, $8$, $9$, $9.987$, $9.999$, आदि।

नोट: अनन्य वर्ग अंतराल में वर्ग अंतराल के भीतर अनंत मान शामिल होते हैं। 

समावेशी वर्ग अंतराल को अनन्य वर्ग अंतराल में परिवर्तित करना

एक समावेशी वर्ग अंतराल को एक अनन्य वर्ग अंतराल में बदलने के लिए निम्नलिखित चरण हैं:

चरण 1: एक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग अंतराल की निचली सीमा के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

चरण 2: चरण 1 में प्राप्त अंतर को 2 से विभाजित करें।

चरण 3: चरण 2 में प्राप्त संख्या को प्रत्येक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा में जोड़ें।

चरण 4: चरण 2 में प्राप्त संख्या को प्रत्येक वर्ग अंतराल की निचली सीमा से घटाएं।

चरण 5: प्राप्त वर्ग अंतराल अनन्य वर्ग अंतराल हैं।

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित बारंबारता बंटन समावेशी वर्ग अंतराल रूप में है। इसे अनन्य वर्ग अंतराल रूप में परिवर्तित करें।

किसी भी वर्ग अंतराल का चयन करें (पहले या अंतिम के अलावा)।

चयनित वर्ग अंतराल $30 – 39$।

$30 – 39$ की ऊपरी सीमा $39$ है।

$30 – 39$ के आगे वर्ग अंतराल $40 – 49$ है।

$40 – 49$ की निचली सीमा $40$ है।

$39$ और $40$ का अंतर $40 – 39 = 1$ है।

$1$ को $2$ से भाग देने पर, हमें $\frac{1}{2} = 0.5$ मिलता है।

अब, सभी वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ें और सभी वर्ग अंतरालों की निचली सीमा से $0.5$ घटाएं।

$10 – 19$ $10 – 0.5 – 19 + 0.5 = 9.5 – 19.5$ हो जाता है

$20 – 29$ हो जाता है $20 – 0.5 – 29 + 0.5 = 19.5 – 29.5$

$30 – 39$ हो जाता है $30 – 0.5 – 39 + 0.5 = 29.5 – 39.5$

$40 – 49$ हो जाता है $40 – 0.5 – 49 + 0.5 = 39.5 – 49.5$

$50 – 59$ हो जाता है $50 – 0.5 – 59 + 0.5 = 49.5 – 59.5$

बारंबारता बंटन सारणी को अनन्य वर्ग अंतराल रूप में स्थापित करने के बाद, प्रत्येक वर्ग अंतराल की संचयी बारंबारता ज्ञात कीजिए।

से कम संचयी बंटन

से कम संचयी बारंबारता उस वर्ग सहित सभी पिछली कक्षाओं की बारंबारताओं को क्रमिक रूप से जोड़कर प्राप्त की जाती है जिसके विरुद्ध इसे लिखा गया है। संक्षेपण की प्रक्रिया निम्नतम से उच्चतम आकार तक प्रारंभ होती है। दूसरे शब्दों में, जब प्रेक्षणों की संख्या किसी वर्ग की ऊपरी सीमा से कम होती है तो उसे से कम संचयी बारंबारता कहा जाता है।

संचयी बारंबारता से कम की गणना करने के लिए चरणों का पालन किया जाता है।

चरण 1: कम संचयी बारंबारता के लिए फ़्रीक्वेंसी कॉलम के दाईं ओर एक और कॉलम जोड़ें।

चरण 2: बारंबारता को पहले अंतराल के संचयी आवृत्ति कॉलम से कम पर कॉपी करें।

चरण 3: अगले वर्ग अंतराल पर जाएँ।

चरण 4: वर्तमान वर्ग अंतराल की बारंबारता को पूर्ववर्ती वर्ग अंतराल की संचयी आवृत्ति से कम में जोड़ें।

चरण 5: चरण 4 में प्राप्त योग वर्तमान वर्ग अंतराल की संचयी आवृत्ति से कम है।

चरण 6: चरण 3 से चरण 5 तक दोहराएं, जब तक कि अंतिम वर्ग अंतराल नहीं हो जाता।

चरण 7: प्राप्त सारणी से कम संचयी बारंबारता सारणी है।

नोट: अंतिम वर्ग अंतराल की से कम संचयी बारंबारता हमेशा सभी बारंबारता के योग के बराबर होती है।

से अधिक संचयी बारंबारता

उच्चतम से निम्नतम वर्ग तक शुरू होने वाली बारंबारता का संचयी कुल ज्ञात करके से अधिक संचयी बारंबारता प्राप्त किया जाता है। इसे से अधिक प्रकार की संचयी बारंबारता भी कहते हैं। दूसरे शब्दों में, जब प्रेक्षणों की संख्या वर्ग की निचली सीमा से अधिक या उसके बराबर होती है, तब इसे से अधिक संचयी बारंबारता कहा जाता है।

से अधिक संचयी बारंबारता की गणना करने के लिए अपनाए गए चरण।

चरण 1: संचयी आवृत्ति से अधिक के लिए बारंबारता कॉलम के दाईं ओर एक और कॉलम जोड़ें।

चरण 2: अंतिम अंतराल की बारंबारता को पहले अंतराल के संचयी बारंबारता कॉलम से अधिक पर कॉपी करें।

चरण 3: अगले वर्ग अंतराल पर जाएँ।

चरण 4: वर्तमान वर्ग अंतराल की बारंबारता को पूर्ववर्ती वर्ग अंतराल की संचयी बारंबारता से अधिक घटाएं।

चरण 5: चरण 4 में प्राप्त अंतर वर्तमान वर्ग अंतराल की से अधिक संचयी बारंबारता है।

चरण 6: चरण 3 से चरण 5 तक दोहराएं, जब तक कि अंतिम वर्ग अंतराल नहीं हो जाता।

चरण 7: प्राप्त सारणी से अधिक संचयी बारंबारता सारणी है।

नोट: अंतिम वर्ग अंतराल की से अधिक संचयी बारंबारता हमेशा प्रथम वर्ग अंतराल की बारंबारता के बराबर होती है।

तोरण वक्र क्या है?

बंटन के वे आलेख बारंबारता आलेख होते हैं जो असतत और सतत आँकड़ों के गुणों को प्रदर्शित करते हैं। वर्गीकृत आंकड़ों की तुलना में ऐसे आंकड़े अधिक ध्यान आकर्षित करते हैं। यह दो या दो से अधिक बारंबारता बंटनों के लिए तुलनात्मक अध्ययन को सुविधाजनक बनाने में मदद करता है। हम 2 बारंबारता बंटन के स्वरूप और पैटर्न की तुलना कर सकते हैं। तोरण की दो विधियाँ हैं:

• से कम तोरण 
• से अधिक तोरण

ऊपर की आकृति में, बाईं ओर वक्र (नीले रंग) ‘से कम तोरण’ है और दाईं ओर वक्र (नारंगी रंग) ‘से अधिक तोरण’ है।

से कम तोरण वक्र क्या है?

से कम तोरण या संचयी बारंबारता वक्र में, हम ग्राफ़ पर एक वक्र आलेखित करने के लिए वर्ग की ऊपरी सीमा का उपयोग करते हैं। वक्र या तोरण का निर्माण प्रथम श्रेणी की आवृत्ति को द्वितीय श्रेणी की आवृत्ति में तृतीय श्रेणी की आवृत्ति से जोड़कर किया जाता है। अधोमुखी संचयन परिणाम संचयी आवृत्ति वक्र से कम होता है। संचयी बारंबारता वक्र या से कम तोरण आलेखित करने के चरण हैं:

चरण 1: $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमाओं को चिह्नित करें

चरण 2: $y$-अक्ष पर संचयी आवृत्तियों को चिह्नित करें

चरण 3: $\left(x, y \right)$ बिंदुओं को ऊपरी सीमा $\left(x \right)$ और उनकी संगत संचयी बारंबारता $\left(y \right)$ का उपयोग करके प्लॉट करें

चरण 4: एक चिकने मुक्तहस्त वक्र द्वारा बिंदुओं को मिलाएं

से अधिक तोरण वक्र क्या है?

क वक्र प्लॉट करने के लिए वर्ग की निचली सीमा का उपयोग करते हैं। वक्र या तोरण का निर्माण प्रथम श्रेणी की बारंबारता, फिर द्वितीय श्रेणी की बारंबारता, और इसी तरह से कुल घटाकर किया जाता है। ऊर्ध्व संचयन परिणाम से अधिक संचयी वक्र होता है। से अधिक तोरण वक्र आलेखित करने के चरण हैं:

चरण 1: $x$-axis . पर वर्ग अंतराल की निचली सीमाओं को चिह्नित करें

चरण 2: $y$-axis . पर संचयी आवृत्तियों को चिह्नित करें

चरण 3: $\बाएं(x, y \right)$ बिंदुओं को निचली सीमा $\left(x \right)$ और उनकी संगत संचयी आवृत्ति $\left(y \right)$ का उपयोग करके प्लॉट करें

चरण 4: एक चिकने मुक्तहस्त वक्र द्वारा बिंदुओं को मिलाएं

तोरण का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात करना

आइये अब समझते हैं की तोरण का उपयोग करके माध्यिका कैसे ज्ञायत करते हैं।

से कम तोरण का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात करना

बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करने के लिए कम से कम तोरण का प्रयोग किया जाता है। तोरण से कम का उपयोग करके बारंबारता बंटन की माध्यिका की गणना करने के चरण हैं:

चरण 1: जाँच करें कि बारंबारता बंटन में वर्ग अंतराल समावेशी प्रकार के हैं या अनन्य प्रकार के हैं

चरण 2: यदि वर्ग अंतराल समावेशी प्रकार के हैं, तो उन्हें अनन्य वर्ग अंतराल में परिवर्तित करें

चरण 3: बारंबारता बंटन को संचयी बारंबारता बंटन से कम में बदलें

चरण 4: अंक $\left(x, y \right)$, $x$ वर्ग अंतराल से अधिक का प्रतिनिधित्व करते हैं और $y$ संबंधित संचयी आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं

चरण 5: तोरण से कम प्राप्त करने के लिए बिंदुओं को फ्री-हैंड कर्व से मिलाएँ

चरण 6: $\frac{n}{2}$ की गणना करें, जहां $n$ सभी आवृत्तियों का योग है

चरण 7: एक बिंदु $\text{M}$ चिह्नित करें, जिसका कोटि $\frac{n}{2}$ है और वक्र पर स्थित है

चरण 8: बिंदु $\text{M}$ . के भुज को नोट करें

चरण 9: बिंदु $\text{M}$ का भुज ($x$-coordinate) बारंबारता बंटन की माध्यिका है

उदाहरण

Ex 1: से कम तोरण का प्रयोग करके दिए गए बंटन की माध्यिका को आलेखीय रूप से ज्ञात कीजिए।

दिए गए बारंबारता बंटन को से कम बारंबारता बंटन में बदलें।

$\left(x, y \right)$, $x$ से कम वर्ग अंतराल से, और $y$ कम संचयी बारम्बारताओं से प्लॉट करें। फ्री-हैंड कर्व द्वारा बिंदुओं को मिलाएं।

बारम्बारताओं का योग $n = 29$।

इसलिए, $\frac{n}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$।

तोरण पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिसका $y$-निर्देशांक $14.5$ है।

माध्यिका = $33.25$

से अधिक तोरण का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात करना

बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करने के लिए अ से अधिक तोरण का प्रयोग किया जाता है। से अधिक तोरण का उपयोग करके बारंबारता बंटन के माध्यिका की गणना करने के चरण हैं:

चरण 1: जाँच करें कि बारंबारता बंटन में वर्ग अंतराल समावेशी प्रकार के हैं या अनन्य प्रकार के हैं

चरण 2: यदि वर्ग अंतराल समावेशी प्रकार के हैं, तो उन्हें अनन्य वर्ग अंतराल में परिवर्तित करें

चरण 3: बारंबारता बंटन को संचयी बारंबारता बंटन से अधिक में बदलें

चरण 4: अंक $\left(x, y \right)$, $x$ वर्ग अंतराल से कम का प्रतिनिधित्व करते हैं और $y$ संबंधित संचयी आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं

चरण 5: तोरण से अधिक प्राप्त करने के लिए बिंदुओं को फ्री-हैंड कर्व से मिलाएँ

चरण 6: $\frac{n}{2}$ की गणना करें, जहां $n$ सभी आवृत्तियों का योग है

चरण 7: एक बिंदु $\text{M}$ चिह्नित करें, जिसका कोटि $\frac{n}{2}$ है और वक्र पर स्थित है

चरण 8: बिंदु $\text{M}$ . के भुज को नोट करें

चरण 9: बिंदु $\text{M}$ का भुज ($x$-निर्देशांक) बारंबारता बंटन की माध्यिका है

उदाहरण

Ex 1: से कम तोरण का प्रयोग करके दिए गए बंटन की माध्यिका को आलेखीय रूप से ज्ञात कीजिए।

दिए गए बारंबारता बंटन को से अधिक बारंबारता बंटन में बदलें।

बारम्बारताओं का योग $n = 29$।

इसलिए, $\frac{n}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$।

तोरण पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिसका कोटि ($y$-निर्देशांक) $14.5$ है।

माध्यिका = $33.25$.

से कम और से अधिक तोरण दोनों का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात करना

से कम और से अधिक तोरण दोनों का उपयोग करके बारंबारता बंटन के माध्यिका की गणना करने के चरण हैं:

चरण 1: से कम तोरण का आलेख बनाएं

चरण 2: से अधिक तोरण का आलेख बनाएं

चरण 3: दो तोरणों के प्रतिच्छेदित बिंदु ज्ञात करें 

चरण 4: बिंदु का भुज ($x$-निर्देशांक) बारंबारता बंटन की माध्यिका है

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित बंटन एक कक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है। बंटन के लिए से कम तोरण आलेखित कीजिये और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित बंटन एक कक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है। बंटन के लिए से अधिक तोरण आलेखित कीजिये और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित बंटन एक कक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है। बंटन के लिए से कम तोरण आलेखित कीजिये और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

तोरण एक प्रकार का बारंबारता बहुभुज है जो संचयी बारम्बारताओं को दर्शाता है। तोरण दो प्रकार के होते हैं – से कम  तोरण और से अधिक तोरण। बारंबारता बंटन की माध्यिका को आलेखीय रूप से ज्ञात करने के लिए तोरणों का प्रयोग किया जाता है।

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