बहुलक क्या है – अर्थ, सूत्र और उदाहरण

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सांख्यिकी में बहुलक, आँकड़ों की दी गई सूची का सबसे अधिक होने वाला मान है। यह माध्य और माध्यिका के साथ-साथ प्रतिनिधि आंकड़ों में से एक है। ये आंकड़े, यानी, माध्यिका, माध्य और बहुलक को केंद्रीय प्रवृत्तियों के मापक भी कहा जाता है। जबकि माध्य सभी प्रेक्षणों के योग का प्रेक्षणों की कुल संख्या से अनुपात है, और माध्यिका आँकड़ों की सूची में सबसे मध्य मान है, बहुलक उच्चतम आवृत्ति वाला मान है।

आइए समझें कि वर्गीकृत और अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात किया जाए, और उदाहरणों का उपयोग करके इसके गुणों को भी समझते हैं। 

सांख्यिकी में बहुलक क्या है?

बहुलक का अर्थ है एक मान या संख्या जो किसी आँकड़ों के सैट में सबसे अधिक बार दिखाई देती है। कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों को मूल्य खोजने की आवश्यकता होती है, जो डेटासेट में अधिक बार हो रहा है। ऐसे मामलों में, हम दिए गए आँकड़ों के सेट के लिए बहुलक ज्ञात करते हैं।

उदाहरण के लिए, आँकड़ों के दिए गए सेट में: $2$, $4$, $7$, $4$, $5$, $6$ डेटा सेट का बहुलक $4$ है क्योंकि यह सेट में दो बार दिखाई देता है।

• आँकड़ों सेट में अक्सर एक बहुलक, या एक से अधिक बहुलक या एक भी बहुलक नहीं हो सकता है – यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि कितने अलग-अलग मान सबसे अधिक बार दोहराते हैं। आपका आँकड़ों में निम्नलिखित में से कोई भी एक हो सकता है
• कोई भी बहुलक नहीं।
• यूनिमॉडल: दिए गए डेटा की सूची केवल एक बहुलक के साथ एक यूनिमॉडल सूची कहलाती है। उदाहरण के लिए, सूची $2$, $4$, $7$, $4$, $5$, $6$ एक यूनिमॉडल सूची है, क्योंकि केवल एक बहुलक है और यह $4$ दो बार आता है।
• बाईमोडल: दिए गए आँकड़ों की दो बहुलक वाली सूची को बाईमोडल सूची कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची $2$, $4$, $7$, $4$, $5$, $7$, $6$ एक बाईमोडल सूची है, क्योंकि दो बहुलक हैं और वे $4$ और $7$ दोनों घटित हो रहे हैं दो बार।
• त्रिमोडल: तीन बहुलक के साथ दिए गए आँकड़ों की सूची को त्रिमोडल सूची कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची $2$, $4$, $7$, $2$, $4$, $5$, $7$, $6$ एक त्रिमोडल सूची है, क्योंकि तीन मोड हैं और वे $2$, $4$ और $7$ है। सभी दो बार आते हैं।
• मल्टीमोडल: दिए गए आँकड़ों की चार या अधिक बहुलक वाली सूची को मल्टीमोडल सूची कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची $2$, $4$, $7$, $2$, $4$, $5$, $7$, $6$, $9$, $5$, $8$, $1$, $9$, $1$ एक त्रिमोडल सूची है , क्योंकि छह बहुलक हैं और वे $2$, $4$, $7$, $5$, $9$ और $1$ सभी दो बार होते हैं।

अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करें?

अवर्गीकृत आँकड़ों को दो रूपों में से किसी एक में प्रस्तुत किया जा सकता है।

• कच्चे आँकड़े: कच्चे आँकड़े(कभी-कभी स्रोत आँकड़े या प्राथमिक आँकड़े कहा जाता है) वह आंकड़ा होता है जिसे उपयोग के लिए संसाधित नहीं किया गया है। इसे इस तरह से रिकॉर्ड किया जाता है जैसे इसे स्रोत से एकत्र किया जाता है।
• सारणीबद्ध असतत आँकड़े: सारणीबद्ध आँकड़ा वह आँकड़ा होता है जिसे उपयोग के लिए व्यवस्थित और वर्गीकृत किया जाता है। इसे पंक्तियों और स्तंभों (कॉलम) वाली तालिका के रूप में दर्ज किया जाता है।

कच्चे आँकड़ों का बहुलक

कच्चे आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण हैं:

चरण 1: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें। (बहुलक के लिए क्रमित करना कोई पूर्वापेक्षा नहीं है। यह संख्याओं को आसानी से और शीघ्रता से गिनने के लिए किया जाता है)।

चरण 2: सूची में सभी आँकड़ों की सूची बनाएं।

चरण 3: सबसे अधिक बारंबारता (या बारंबारता) वाले मान (मानों) को नोट करें। ऐसे एक से अधिक मूल्य हो सकते हैं। ऐसा भी हो सकता है जहां कोई भी मान दोहराया नहीं गया हो।

चरण 4: चरण 3 में प्राप्त मान दिए गए सेट का बहुलक है/हैं।

उदाहरण

Ex 1:  $2$, $4$, $6$, $1$, $3$, $5$, $3$, $6$, $1$, $4$, $4$, $2$, $1$, $3$, $6$, $4$, $2$, $5$ का बहुलक ज्ञात कीजिये।

दिए गए आँकड़े हैं $2$, $4$, $6$, $1$, $3$, $5$, $3$, $6$, $1$, $4$, $4$, $2$, $1$, $3$, $6$, $4$, $2$, $5$ ।

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$, $6$, $6$ ।

$1$ $3$ बार घटित हो रहा है।

$2$ $3$ बार घटित हो रहा है।

$3$ $3$ बार घटित हो रहा है।

$4$ $4$ बार घटित हो रहा है।

$5$ $2$ बार घटित हो रहा है।

$6$ $3$ बार घटित हो रहा है।

इसलिए, दिए गए आँकड़ों  का बहुलक $4$ है, जो $4$ बार घटित हो रहा है।

सारणीबद्ध असतत आंकड़ों का बहुलक

सारणीबद्ध असतत आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण अपनाए जाते हैं:

चरण 1: सारणीबद्ध असतत आँकड़ों की बारंबारता बंटन सारणी में दो कॉलम होते हैं – आँकड़े का मान $\left(x \right)$ और बारंबारता $\left(f \right)$।

चरण 2: उच्चतम आवृत्ति वाले $x$ के मान का पता लगाएँ। $x$ के ऐसे एक से अधिक मान हो सकते हैं।

चरण 3: सबसे अधिक बारंबारता (या बारंबारता) वाले मान (मानों) को नोट करें। ऐसे एक से अधिक मूल्य हो सकते हैं।

चरण 4: चरण 3 में प्राप्त मान दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक है/हैं। 

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

उच्चतम आवृत्ति वाला आँकड़ा $13$ है और आवृत्ति $10$ है। अत: दी गई बारंबारता सारणी का बहुलक $13$ है।

Ex 2: कच्चे आंकड़ों से सम्बंधित प्रश्नों को बारम्बारता सारणी बनाकर भी हल किया जा सकता है।

बहुलक ज्ञात कीजिये  $2$, $4$, $6$, $1$, $3$, $5$, $3$, $6$, $1$, $4$, $4$, $2$, $1$, $3$, $6$, $4$, $2$, $5$।

दिए गए आंकड़ों को बारंबारता तालिका में सारणीबद्ध करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उपरोक्त बारंबारता सारणी से, हम देखते हैं कि डेटा मूल्य $4$ की उच्चतम आवृत्ति $4$ है। इसलिए, दिए गए आँकड़ों का बहुलक $4$ है।

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करें?

सूची में सबसे अधिक बार आने वाले आँकडे का चयन करके वर्गीकृत आँकड़ों के लिए बहुलक ज्ञात किया जाता है। वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं:

$\text{Mode } = L + h \times \frac{f_{1} – f_{0}}{\left(f_{1} – f_{0} \right) + \left(f_{1} – f_{2} \right)}$

जहां, $L$ मोडल क्लास की निचली सीमा है

$h$ वर्ग अंतराल का आकार है

$f_{1}$ मोडल वर्ग की आवृत्ति है

$f_{0}$ मोडल क्लास से पहले के वर्ग की बारंबारता है

$f_{2}$ मोडल वर्ग के बाद आने वाले वर्ग की बारंबारता है

बहुलक सूत्र की व्युत्पत्ति

हिस्टोग्राम पर दर्शाए गए वर्गीकृत आँकड़ों के लिए, मोडल मान की जांच करने के लिए व्यक्तिगत मान नहीं हैं। इस प्रकार, हम आकार $ह$ का बहुलक वर्ग लेते हैं, और फिर उसके आधार पर बहुलक ज्ञात करते हैं। नीचे दिए गए ग्राफ पर विचार करें। मान लें कि बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_{m}$ या $f_{1}$ है। यहाँ, $\text{BC} = h$।

पूर्ववर्ती मोडल क्लास की बारंबारता $f_{0}$ हो और मोडल क्लास के बाद आने वाले क्लास की बारंबारता $f_{2} हो, मोडल क्लास की निचली सीमा $\text{L}_{0}$ हो . इस प्रकार, बहुलक $\text{L}_{0} + x$ द्वारा दिया जाता है।

उपरोक्त चित्र के अनुसार $\triangle \text{AEB} \sim \triangle \text{DEC}$ 

$\frac{\text{AB}}{\text{CD}} = \frac{\text{BE}}{\text{DE}} = \frac{f_{1} − f_{0}}{f_{1} − f_{2}}$. 

$\triangle \text{BEF} \sim \triangle \text{BDC}$

$\frac {\text{FE}}{\text{BC}} = \frac{\text{BE}}{\text{BD}} = \frac{f_{1} − f_{0}}{\left(f_{1} − f_{0} \right) + \left(f_{1} − f_{2} \right)} = \frac{f_{1} − f_{0}}{2f_{1} − f_{0} − f_{2}}$.

$FE = \frac{f_{1} − f_{0}}{2f_{1} − f_{0} − f_{2}} \times \text{BC} = \left( \frac {f_{1} − f_{0}}{2f_{1} − f_{0} − f_{2}} \right) \times h$.

इसलिए, $x = \left( \frac{f_{1} − f_{0}}{2f_{1} − f_{0} − f_{2}} \right) h$.

अतः, $\text{Mode } = L_{0} + x = L_{0} + \left( \frac{f_{1} – f_{0}}{2f_{1} − f_{0} − f_{2}} \right)h$.

उदाहरण

Ex 1: 50 छात्रों की ऊंचाई (सेमी में) का वितरण निम्नलिखित है।

विद्यार्थियों की बहुलक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

यहाँ अधिकतम बारंबारता $14$ है, इसलिए बहुलक वर्ग है $130 – 135$. इस प्रकार, हमें मिलता है

$\text{L} = 130$, $h = 5$, $f_{1} = 14$, $f_{0} = 7$ and $f_{2} = 10$

$\text{Mode } = L + h \times \frac{f_{1} – f_{0}}{\left(f_{1} – f_{0} \right) + \left(f_{1} – f_{2} \right)}$

$=>\text{Mode } = 130 + 5 \times \frac{14 – 7}{\left(14 – 7 \right) + \left(14 – 10 \right)}$

$=>\text{Mode } = 130 + 5 \times \frac{7}{7 + 4} =>\text{Mode } = 130 + 5 \times \frac{7}{11} = 133.18$ (Rounded off to 2 decimal places).

बहुलक के गुण

बहुलक के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• विधा अत्यधिक मूल्य से अनावश्यक रूप से प्रभावित नहीं होती है, अर्थात वे मान जो अत्यधिक उच्च या अत्यंत निम्न हैं। उदाहरण के लिए यदि हमें टिप्पणियों का निम्नलिखित सेट दिया गया है: $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $100$। डेटा मानों के दिए गए सेट का माध्य $13.625$ है जो स्पष्ट रूप से उपरोक्त डेटा मानों का प्रतिनिधि नहीं है। हालांकि, मोड जो $1$ के बराबर है, स्पष्ट रूप से उपरोक्त डेटा सेट से एक विशिष्ट मूल्य का प्रतिनिधि है। माध्य की तुलना में बहुलक का यह एक लाभ है।
• किसी डेटा सेट में सभी प्रेक्षणों पर बहुलक की गणना नहीं की जाती है।
• बहुलक के मान की गणना आलेखीय रूप से की जा सकती है जबकि माध्य के मान की गणना आलेखीय रूप से नहीं की जा सकती है।
• बहुलक के मान की गणना वर्ग सीमाओं को जाने बिना खुले अंत वितरणों में की जा सकती है।
• बहुलक को आसानी से पाया जा सकता है, भले ही बारंबारता बंटन में असमान परिमाण के वर्ग अंतराल हों, बशर्ते कि बहुलक वर्ग और उसके बाद के वर्ग और उसके बाद के वर्ग समान परिमाण के हों।
• कभी-कभी बहुलक की गणना करना संभव नहीं होता है। ऐसा तब होता है जब डेटा में एक द्विविध वितरण होता है जिसमें बहुलक के लिए दो संभावित मान होते हैं।
• माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच हमारा निम्नलिखित संबंध है: $\text{Mode}= 3 \times \text{ Median} – 2 \times \text{ Mean}$।

बहुलक के अनुप्रयोग

ये बहुलक के कुछ अनुप्रयोग हैं।

• गुणात्मक घटना का वर्णन करने के लिए मोड का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम विभिन्न प्रकार के उत्पादों जैसे साबुन, शैम्पू आदि के लिए उपभोक्ता वरीयताओं की तुलना करना चाहते हैं, तो हमें लोगों के विभिन्न समूहों द्वारा व्यक्त की जाने वाली मोडल प्राथमिकताएं ढूंढनी चाहिए।
• यह अत्यधिक विषम या गैर-सामान्य वितरण के लिए केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अच्छा उपाय है क्योंकि यह डेटा की अधिकतम एकाग्रता का बिंदु देता है।
• इसका उपयोग अनुमानात्मक आँकड़ों में गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण करते समय किया जाता है।

बहुलक के लाभ और हानि

बहुलक के लाभ और हानि निम्नलिखित हैं।

लाभ

• बहुलक की गणना करना और समझना आसान है। कुछ मामलों में यह केवल निरीक्षण द्वारा ही पाया जा सकता है। यह एक हिस्टोग्राम से ग्राफिक रूप से भी अनुमान लगाया जा सकता है।
• बहुलक चरम प्रेक्षणों से बिल्कुल भी प्रभावित नहीं होता है और इसलिए चरम प्रेक्षणों से निपटने के दौरान अंकगणितीय माध्य को प्राथमिकता दी जाती है।
• इसे बारंबारता बंटन में मुक्त वर्गों के मामले में भी प्राप्त किया जा सकता है। दूसरी ओर, यदि बारंबारता बंटन में खुला वर्ग अंतराल है तो माध्य की गणना नहीं की जा सकती है।

हानि 

• बहुलक को कड़ाई से परिभाषित नहीं किया गया है। यदि अधिकतम आवृत्ति दोहराई जाती है या अधिकतम आवृत्ति या तो शुरुआत में या वितरण के अंत में होती है या यदि वितरण अनियमित है तो यह परिभाषित नहीं है।
• चूँकि बहुलक अधिकतम आवृत्ति के संगत X का मान है, यह श्रृंखला के सभी प्रेक्षणों पर आधारित नहीं है। यहाँ तक कि सतत बारंबारता बंटन के मामले में भी बहुलक बहुलक वर्ग की बारंबारता और उससे पहले और उसके बाद के वर्गों पर निर्भर करता है।
• बहुलक आगे के गणितीय उपचार के लिए उपयुक्त नहीं है। उदाहरण के लिए, दो या दो से अधिक श्रृंखलाओं के मोडल मानों और आकारों से, हम संयुक्त श्रृंखला का बहुलक नहीं खोज सकते।
• माध्य की तुलना में, नमूनाकरण के उतार-चढ़ाव से मोड काफी हद तक प्रभावित होता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

एक परीक्षा में $50$ छात्रों द्वारा प्राप्त अंक निम्नलिखित हैं।

उपरोक्त का बहुलक ज्ञात कीजिये।

निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित बारंबारता सारणी जो एक निश्चित कक्षा में $40$ छात्रों द्वारा प्राप्त परीक्षा को दर्शाता है।

उपरोक्त का बहुलक ज्ञात कीजिये।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

आँकड़ों के एक सेट का मोड सबसे अधिक होने वाला आँकड़ा या उच्चतम आवृत्ति वाला मान है। इस लेख में, हमने सीखा कि वर्गीकृत आँकड़ों  और कच्चे आँकड़ों और उसके गुणों और अनुप्रयोगों का बहुलक कैसे ज्ञात किया जाता है।

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