ज्यामिति में पतंग क्या है – (परिभाषा, आकार, गुण और उदाहरण)

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ज्यामिति में कई प्रकार के चतुर्भुज होते हैं। इनमें से कुछ समानांतर चतुर्भुज हैं जैसे कि विषमकोण, समचतुर्भुज और आयत और कुछ समानांतर चतुर्भुज नहीं हैं जैसे कि समलंब और पतंग। पतंग के आकार का सबसे आम उदाहरण उड़ने वाली पतंग है। पतंग को ‘डेल्टॉइड’ भी कहा जाता है जिसका अर्थ है ‘त्रिकोणीय आकार का होना’।

आइए ज्यामिति में पतंग क्या है, इसका आकार और इसके गुणों को उदाहरणों और प्रमाणों के साथ सीखें।

ज्यामिति में पतंग क्या है?

पतंग एक चतुर्भुज है जिसमें चार भुजाओं को समान लंबाई के दो युग्मों में बांटा जा सकता है जो एक दूसरे से सटे हुए हैं और विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं। दूसरे शब्दों में, एक पतंग में आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर होते हैं।

ज्यामिति में पतंग क्या है

उपरोक्त चित्र में $\text{ABCD}$ एक पतंग है, जहाँ आसन्न भुजाएँ $\text{AB}$ और $\text{DA}$ बराबर हैं और इसी प्रकार, आसन्न भुजाएँ $\text{BC}$ तथा $\text{CD}$ बराबर हैं। विकर्ण $\text{AC}$ और $\text{BD}$ एक दूसरे के लंबवत हैं। लंबे विकर्ण $\text{AC}$ को दीर्घ विकर्ण कहा जाता है और छोटे विकर्ण $\text{BD}$ को लघु विकर्ण कहा जाता है। दीर्घ विकर्ण लघु विकर्ण को समद्विभाजित करता है।

पतंग के गुण

जैसा कि ऊपर सीखा गया है कि पतंग में आसन्न भुजाओं के दो जोड़े बराबर होते हैं और विकर्ण एक दूसरे के लंबवत और असमान होते हैं। आइए अब पतंग के कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर नजर डालते हैं।

ज्यामिति में पतंग क्या है

पतंग के सबसे महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

  • एक पतंग में आसन्न समान भुजाओं के दो युग्म होते हैं। उपरोक्त आकृति में, $\text{AB} = \text{DA}$ और $\text{BC} = \text{CD}$
  • चूंकि यह एक चतुर्भुज है, पतंग के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ के बराबर है
  • एक पतंग में विपरीत कोणों का एक युग्म (आंशिक) बराबर होता है। उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{B} = \angle \text{D}$
  • एक पतंग में, लघु विकर्ण को दीर्घ विकर्ण द्वारा समद्विभाजित किया जाता है। उपरोक्त चित्र में, विकर्ण $\text{BD}$ को विकर्ण $\text{AC}$ द्वारा द्विभाजित किया गया है, अर्थात, $\text{BO} = \text{OD}$
  • विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं। उपरोक्त चित्र में, $\text{AC} \perp \text{BD}$

पतंग के विकर्ण

जैसा कि ऊपर सीखा गया है, एक पतंग में दो विकर्ण होते हैं – दीर्घ विकर्ण और लघु विकर्ण। आइए, अब पतंग के विकर्णों के गुणों के बारे में जानें।

ज्यामिति में पतंग क्या है

पतंग के विकर्णों के सबसे महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

  • एक पतंग के दो विकर्ण अलग-अलग लंबाई के होते हैं – बड़े विकर्ण को दीर्घ विकर्ण और छोटे विकर्ण को लघु विकर्ण कहा जाता है
  • एक पतंग के तिरछे विपरीत कोणों के जोड़े को सर्वांगसम कहा जाता है
  • दीर्घ विकर्ण (लंबा विकर्ण) लघु विकर्ण (छोटा विकर्ण) को द्विभाजित करता है। उपरोक्त चित्र में, विकर्ण $\text{AC}$, विकर्ण $\text{BD}$ को समद्विभाजित करता है
  • दीर्घ विकर्ण (लंबा विकर्ण) विपरीत कोणों के युग्म को समद्विभाजित करता है। उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{CAB} = \angle \text{DAC}$, और $\angle \text{BCA} = \angle \text{ACD}$
  • एक पतंग का लघु विकर्ण दो समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। उपरोक्त चित्र में, विकर्ण $\text{BD}$ दो समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है – $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{BCD}$।
  • $\triangle \text{ABD}$ में, भुजाएँ $\text{AB}$ और $\text{DA}$ बराबर हैं
  • $\triangle \text{BCD}$ में, $\text{BC}$ और $\text{CD}$ की भुजाएँ बराबर हैं
  • दीर्घ विकर्ण दो सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है। उपरोक्त चित्र में, विकर्ण $\text{AC}$ दो सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है – $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ADC}$

पतंग में विपरीत कोणों का एक युग्म (अघिक कोण वाला) बराबर होता है

पतंग के गुणों में से एक यह है कि विपरीत अधिक कोणों का युग्म बराबर होता है।

ज्यामिति में पतंग क्या है

उपरोक्त चित्र पर विचार करें। एक पतंग में $\text{ABCD}$, $\angle \text{ABC} = \angle \text{ADC}$। आइए कथन को सिद्ध करें।

$\triangle \text{ABD}$ में, $\angle \text{ABD} = \angle \text{ADB}$ ($\triangle \text{ABD}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{AB} = \text{AD}$) ———————- (1)

$\triangle \text{CBD}$ में, $\angle \text{CBD} = \angle \text{CDB}$ ($\triangle \text{CBD}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{BC} = \text{CD}$) ———————- (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें $\angle \text{ABD} + \angle \text{CBD} = \angle \text{ADB} + \angle \text{CDB}$ मिलता है।

$=> \angle \text{ABC} = \angle \text{ADC}$

दीर्घ विकर्ण दो सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है

पतंग का एक अन्य महत्वपूर्ण गुण यह है कि दीर्घ विकर्ण दो सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है।

ज्यामिति में पतंग क्या है

उपरोक्त चित्र पर विचार करें। एक पतंग में $\text{ABCD}$, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ADC}$। आइए कथन को सिद्ध करें।

$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ADC}$ में

$\text{AB} = \text{AD}$ (पतंग की आसन्न भुजाएँ)

$\text{BC} = \text{CD}$ (पतंग की आसन्न भुजाएँ)

$\text{AC} = \text{AC}$ (समान भुजा)

इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ADC}$ (SSS सर्वांगसमता कसौटी)

पतंग के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं

पतंग में, विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं।

ज्यामिति में पतंग क्या है

उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक पतंग है और $\text{AC}$, $\text{BD}$ इसके विकर्ण हैं। विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, अर्थात $\text{AC} \perp \text{BD}$।

आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए।

$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ADC}$ में

$\text{AB} = \text{AD}$ (पतंग की आसन्न भुजाएँ)

$\text{BC} = \text{CD}$ (पतंग की आसन्न भुजाएँ)

$\text{AC} = \text{AC}$ (समान भुजा)

$=> \triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ADC}$ (SSS सर्वांगसमता मानदंड)

इसलिए, $\angle \text{CAB} = \angle \text{CAD}$ (CPCT)

$=> \angle \text{OAB} = \angle \text{OAD}$ —————— — (1)

$\triangle \text{ABO}$ और $\triangle \text{ADO}$ में

$\angle \text{OAB} = \angle \text{OAD}$ (से (1))

$\text{AB} = \text{AD}$ (पतंग की आसन्न भुजाएँ)

$\text{AO} = \text{AO}$ (समान भुजा)

$=> \triangle \text{ABO} \cong \triangle \text{ADO}$ (SAS सर्वांगसमता कसौटी)

इसलिए, $\angle \text{AOB} = \angle \text{AOD}$ (CPCT) ———— (2)

परन्तु $\text{BOD}$ एक सीधी रेखा है, इसलिए $\angle \text{BOD} = 180^{\circ}$

$=>\angle \text{AOB} + \angle \text{AOD} = 180^{\circ}$

$=>\angle \text{AOB} + \angle \text{AOB} = 180^{\circ}$ ((2) से)

$=>2\angle \text{AOB} = 180^{\circ}$

$=>\angle \text{AOB} = 90^{\circ}$

इसलिए, $\text{AC} \perp \text{BD}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. पतंग क्या है?
  2. सही या गलत बताएं
    • पतंग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं
    • पतंग के विकर्ण बराबर होते हैं
    • पतंग के विकर्ण असमान होते हैं
    • पतंग की आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर होते हैं
    • पतंग की विपरीत भुजाओं के दो युग्म बराबर होते हैं
    • पतंग के आसन्न कोणों का एक युग्म बराबर होता है
    • पतंग के सम्मुख कोणों का एक युग्म बराबर होता है
    • दीर्घ विकर्ण इसे जोड़ने वाले कोणों को समद्विभाजित करता है
    • लघु विकर्ण अपने द्वारा जोड़े गए कोणों को समद्विभाजित करता है
    • पतंग के विकर्ण समानांतर होते हैं
    • पतंग के विकर्ण लंबवत होते हैं

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

ज्यामिति में पतंग क्या है?

ज्यामिति में पतंग क्या है

पतंग एक चतुर्भुज है जिसमें चार भुजाओं को समान लंबाई के दो जोड़े में बांटा जा सकता है जो एक दूसरे से सटे हुए हैं और विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

क्या पतंग के विकर्ण बराबर होते हैं?

नहीं, पतंग के विकर्ण बराबर नहीं होते हैं। बड़े विकर्ण को दीर्घ विकर्ण तथा छोटे विकर्ण को लघु विकर्ण कहते हैं।

क्या पतंग के विकर्ण लंबवत होते हैं?

हाँ, पतंग के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।

क्या पतंग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं?

नहीं, दोनों विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं। केवल, दीर्घ विकर्ण (लंबा विकर्ण) लघु विकर्ण (छोटा विकर्ण) को समद्विभाजित करता है।

निष्कर्ष

पतंग एक चतुर्भुज है जिसमें चार भुजाओं को समान लंबाई के दो युग्मों में बांटा जा सकता है जो एक दूसरे से सटे हुए हैं। एक पतंग में दो असमान विकर्ण समकोण पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि दीर्घ विकर्ण लघु विकर्ण को समद्विभाजित करता है।

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