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ज्यामिति में रेखा सबसे मौलिक अवधारणा है क्योंकि अधिकांश आकृतियाँ इसी पर आधारित होती हैं। विभिन्न प्रकार की रेखाएँ होती हैं जिनके विशिष्ट गुण और उपयोग हैं। इस प्रकार की एक रेखा अर्ध रेखा है।
अर्ध रेखा विश्लेषणात्मक ज्यामिति (एनालिटिकल ज्योमेट्री) में प्रयुक्त शब्द है। आइए समझते हैं कि ज्यामिति में अर्ध रेखा क्या है और इसके गुण क्या हैं।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति क्या है?
विश्लेषणात्मक ज्यामिति बीजगणित की वह शाखा है जिसमें समतल पर बिंदु की स्थिति को निर्देशांक कहलाने वाली संख्याओं की एक क्रमबद्ध युग्म का उपयोग करके स्थित किया जा सकता है। इसे निर्देशांक ज्यामिति या कार्तीय ज्यामिति भी कहते हैं।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति सिंथेटिक ज्यामिति का खंडन करती है, जहां निर्देशांक या सूत्रों का कोई उपयोग नहीं होता है। समस्याओं को हल करने के लिए इसे एक स्वयंसिद्ध या धारणा माना जाता है। परन्तु विश्लेषणात्मक ज्यामिति, स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करके ज्यामितीय वस्तुओं को परिभाषित करती है। यह ज्यामिति को परिभाषित करने के लिए बीजगणित का भी उपयोग कराती है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में रेखा
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, समतल में एक रेखा को अक्सर उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनके निर्देशांक दिए गए रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, परन्तु अधिक अमूर्त सेटिंग में, जैसे कि घटना ज्यामिति (इन्सिडेन्स ज्योमेट्री), रेखा एक स्वतंत्र वस्तु हो सकती है, जो उन बिंदुओं के समुच्चय से भिन्न होती है उस पर स्थित हैं।
ज्यामिति में अर्ध रेखा क्या है?
अर्ध रेखा विश्लेषणात्मक ज्यामिति से संबंधित शब्द है। अर्ध रेखा एक सीधी रेखा है जो एक बिंदु से अनंत तक केवल एक दिशा में फैली हुई होती है। अर्ध रेखा एक प्रकार का रेखा खंड है जो केवल एक दिशा में विस्तारित होती है और दूसरी दिशा में समाप्त होती है। एक किरण को गणित में, विशेष रूप से विश्लेषणात्मक ज्यामिति शाखा में, अर्ध रेखा भी कहा जा सकता है। अर्ध रेखा को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
अर्ध रेखा एक रेखा का एक हिस्सा होती है जिसमें दिए गए बिंदु और उसके एक ओर स्थित सभी बिंदु शामिल हैं। एक रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु इसे दो अर्ध रेखाओं में विभाजित करता है।
नोट: एक अर्ध रेखा को ज्यामिति में किरण कहा जाता है।
ज्यामिति में अर्ध रेखा का नामकरण
अपने अनंत के पथ में, एक अर्ध रेखा एक से अधिक बिंदुओं से होकर गुजर सकती है। अर्ध रेखा को उसके प्रारंभिक बिंदु और किसी अन्य बिंदु का उपयोग करके नाम दिया जाता है जिससे वह गुजरती है। तो, अर्ध रेखा के नाम का पहला अक्षर उसके शुरुआती बिंदु को दर्शाता है।
अर्ध रेखा का नामकरण करते समय, इसे अर्ध रेखा के नाम के ऊपर एक छोटी सी अर्ध रेखा खींचकर दर्शाया जाता है।
ऊपर दिया गया चित्र अर्ध रेखा AB को दर्शाता है। यहाँ, अर्ध रेखा AB का प्रारंभिक बिंदु A है, और अनंत की ओर जाते हुए, यह बिंदु B से होकर गुजरती है।
अब नीचे दिए गए चित्र को लें। इसमें जो अर्ध रेखा है उसकी अंतहीन यात्रा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। इस अर्ध रेखा का शुरुआती बिंदु P है। आप इसे अर्ध रेखा PQ या अर्ध रेखा PR नाम दे सकते हैं।
अर्ध रेखा के गुण
अर्ध रेखा के गुण निम्नलिखित हैं
- अर्ध रेखा एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी कोई ऊँचाई या चौड़ाई नहीं है। इसकी केवल एक अनिश्चित लंबाई होती है।
- अर्ध रेखा के नाम में हमेशा उसका मूल बिंदु शामिल होना चाहिए।
- एक कोण बनाने के लिए हमें दो अर्ध रेखाओं की आवश्यकता होती है।
रेखागणित में अर्ध रेखा और किरण के बीच अंतर
अर्ध रेखा और किरण समान हैं। दोनों का उपयोग रेखा के एक भाग का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिसका प्रारंभ बिंदु है और कोई अंत बिंदु नहीं है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, रेखा का एक भाग जो एक बिंदु से शुरू होता है परन्तु जिसका अंत बिंदु नहीं होता है, उसे अर्ध रेखा कहा जाता है, जबकि ज्यामिति में इसे किरण कहा जाता है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- अर्ध रेखा क्या है?
- ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में क्या अंतर है?
- अर्ध रेखा और किरण में क्या अंतर है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या अर्ध रेखा किरण होती है?
अर्ध रेखा और किरण समान हैं। दोनों का उपयोग एक रेखा के एक भाग का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिसका प्रारंभ बिंदु होता है और कोई अंत बिंदु नहीं होता।
किरण और अर्ध रेखा में क्या अंतर है?
किरण और अर्ध रेखा में कोई अंतर नहीं है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, रेखा का एक भाग जो एक बिंदु से शुरू होता है लेकिन अंत बिंदु नहीं होता है, उसे अर्ध रेखा कहा जाता है, जबकि ज्यामिति में इसे किरण कहा जाता है।
निष्कर्ष
अर्ध रेखा विश्लेषणात्मक ज्यामिति से संबंधित शब्द है। अर्ध रेखा एक सीधी रेखा होती है जो एक बिंदु से अनंत तक केवल एक दिशा में फैली होती है। अर्ध रेखा एक प्रकार का रेखा खंड है जो केवल एक दिशा में विस्तारित होता है और दूसरी दिशा में समाप्त होता है।
