चक्रीय चतुर्भुज क्या है – (परिभाषा, गुण, प्रमेय और उपपत्ति)

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गणित में, चक्रीय चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं। इसे वृत्त के भीतर चतुर्भुज भी कहते हैं।

आइए समझते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज क्या है, इसके गुण और चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय उनकी उपपत्तियों के साथ।

चक्रीय चतुर्भुज क्या है?

चक्रीय चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जो एक वृत्त के भीतर होता है। इसका अर्थ है कि चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं या एक वृत्त चतुर्भुज के चारों शीर्षों से होकर गुजरता है। ऐसे चतुर्भुज के शीर्षों को चक्रीय कहा जाता है। उस वृत्त के केंद्र को परिकेन्द्र और उसकी त्रिज्या को परित्रिज्या कहते हैं।

उपरोक्त चित्र में, चतुर्भुज $\text{ABCD}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, और इस प्रकार हम कह सकते हैं कि शीर्ष $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ , और $\text{D}$ चक्रीय हैं।

बिंदु $\text{O}$ (वृत्त के केंद्र) को परिकेन्द्र कहा जाता है और $\text{OC}$ को परित्रिज्या कहा जाता है। रेखा खंड $\text{OA}$,  $\text{OB}$, और $\text{OD}$ को परित्रिज्या भी कहा जाता है।

चक्रीय चतुर्भुज के गुण

चक्रीय चतुर्भुज के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• चक्रीय चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं
• एक चक्रीय चतुर्भुज की चारों भुजाएं वृत्त के भीतर होती हैं और हम निम्नलिखित कोई एक कहते हैं
• चतुर्भुज वृत्त में अंकित है
• वृत्त चतुर्भुज को परिचालित करता है
• एक शीर्ष पर एक बाहरी कोण का माप विपरीत आंतरिक कोण के बराबर होता है
• एक चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं की लंबाई के गुणनफल का योग विकर्णों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है
• वृत्त का केंद्र चक्रीय चतुर्भुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है
• चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण संपूरक होते हैं। उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{A} + \angle \text{C} = \angle \text{B} + \angle \text{D} = 180^{\circ}$

चक्रीय चतुर्भुज के कोण गुण

चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत कोण पूरक होते हैं, अर्थात एक चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।

उपरोक्त चित्र में, $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $\angle \text{A} + \angle \text{C} = \angle \text{B} + \angle \text{D} = 180^ {\circ}$।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

कथन को सिद्ध करने के लिए, शीर्षों $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, और $\text{D}$ को वृत्त के केंद्र  $\text{O}$ से जोड़ें। 

$\triangle \text{AOB}$ में, $\angle \text{OAB} = \angle \text{OBA}$ ——– (1)

$\triangle \text{BOC}$ में, $\angle \text{OBC} = \angle \text{OCB}$ ——— (2)

$\triangle \text{COD}$ में, $\angle \text{OCD} = \angle \text{ODC}$ ——– (3)

$\triangle \text{DOA}$ में, $\angle \text{ODA} = \angle \text{OAD}$ ——– (4)

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार,

$\triangle \text{AOB}$ में, $\angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{AOB} = 180^{\circ}$ 

$\triangle \text{BOC}$ में, $\angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{BOC} = 180^{\circ}$

$\triangle \text{COD}$ में, $\angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} + \angle \text{COD} = 180^{\circ}$

$\triangle \text{DOA}$ में, $\angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} + \angle \text{DOA} = 180^{\circ}$

$=> \angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{AOB} + \angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{BOC}$

$ + \angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} + \angle \text{COD} + \angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} + \angle \text{DOA} = 4 \times 180^{\circ}$

$=> \angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} $

$+ \angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} + \left(\angle \text{AOB} + \angle \text{BOC} + \angle \text{COD} + \angle \text{DOA} \right) = 720^{\circ}$

$=> \angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} + \angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} + 360^{\circ} = 720^{\circ}$

$=> \angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} + \angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} = 720^{\circ} – 360^{\circ} $

$=> \angle \text{OAB} + \angle \text{OBA} + \angle \text{OBC} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} + \angle \text{ODC} + \angle \text{ODA} + \angle \text{OAD} = 360^{\circ} $

(1), (2), (3), और (4) से

$2 \left(\angle \text{OAD} + \angle \text{OAB} \right) + 2 \left(\angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} \right) = 360^{\circ}$

$=> 2 \left(\angle \text{OAD} + \angle \text{OAB} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} \right) = 360^{\circ}$

$=> \angle \text{OAD} + \angle \text{OAB} + \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} = 180^{\circ}$

$=> \left( \angle \text{OAD} + \angle \text{OAB} \right) + \left( \angle \text{OCB} + \angle \text{OCD} \right) = 180^{\circ}$

$=> \angle \text{A} + \angle \text{C} = 180^{\circ}$

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle \text{B} + \angle \text{D} = 180^{\circ}$

चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण प्रमेय

चक्रीय चतुर्भुज का एक अन्य महत्वपूर्ण प्रमेय बाह्य कोण प्रमेय है। इसमें कहा गया है कि यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की एक भुजा को बढ़ाया जाए, तो बाह्य कोण अंतः विपरीत कोण के बराबर होता है।

उपरोक्त चित्र में $\text{ABCD}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। $\angle \text{B}$, $\angle \text{D}$ विपरीत कोण हैं और $\angle \text{CBE}$ है $\text{Ext} \angle \text{B}$, तो $ \angle \text{D} = \angle \text{CBE}$, यानी $\angle \text{D} = \text{Ext} \angle \text{B}$।

आइए कथन को सिद्ध करें।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{ABC} + \angle \text{CDA} = 180^{\circ}$ (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण पूरक होते हैं) ————- ————– (1)

साथ ही, $\angle \text{ABC} + \angle \text{CBE} = 180^{\circ}$ ———- —— (2)

(1) और (2) से, हमें $\angle \text{CDA} = \angle \text{ABC}$, अर्थात $\angle \text{D} = \angle \text{B}$ मिलता है।

चक्रीय चतुर्भुज का टॉलेमी प्रमेय

चक्रीय चतुर्भुज के टॉलेमी के प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक वृत्त में एक चतुर्भुज बना हुआ है, तो विकर्णों का गुणनफल विपरीत भुजाओं के दो युग्मों के गुणनफल के योग के बराबर है।

यदि $\text{ABCD}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, $\text{AB}$, $\text{CD}$, और $\text{AD}$, $\text{BC}$ विपरीत भुजाएँ हैं और $ \text{AC}$, $\text{BD}$ विकर्ण हैं।

तो, टॉलेमी के चक्रीय चतुर्भुज के प्रमेय के अनुसार $\left( \text{AB} \times \text{CD} \right) + \left( \text{AD} \times \text{BC} \right) = \text{AC} \times \text{BD}$।

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, आइए एक $\angle \text{ABQ} = \angle \text{CBD}$ बनाते हैं जो $\text{AC}$ को $\text{Q}$ पर प्रतिच्छेद करता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$\triangle \text{ABQ}$ और $\triangle \text{CBD}$ में, हमारे पास है

$\angle \text{ABQ} = \angle \text{CBD}$ (रचना द्वारा)

$\angle \text{BAQ} = \angle \text{CDB}$ (एक ही चाप में कोण)

इसलिए, $\triangle \text{ABQ} \sim \triangle \text{CBD}$ (AA समरूपता मानदंड)

इस प्रकार, $\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{AQ}}{\text{CD}}$

$=> \text{AB} \times \text{CD} = \text{BD} \times \text{AQ}$ —————- (1)

इसलिए, $\angle \text{ABQ} = \angle \text{CBD}$, हमें मिलता है

$\angle \text{ABQ} + \angle \text{QBP} = \angle \text{CBD} + \angle \text{QBP}$

और $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{QBC}$ में,

$\angle \text{ABD} = \angle \text{QBC}$ (एक ही चाप में कोण)

$\angle \text{ADB} = \angle \text{QCB}$ (एक ही चाप में कोण)

इसलिए, $\triangle \text{ABD} \sim \triangle \text{QBC}$ (AA समरूपता मानदंड)

इसलिए, $\frac{\text{AD}}{\text{QC}} = \frac{\text{BD}}{\text{BC}}$

$=> \text{AD} \times \text{BC} = \text{BD} \times \text{QC}$ —————- (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हम पाते हैं

$\text{AB} \times \text{CD} + \text{BC} \times \text{AD} = \left(\text{AQ} + \text{QC} \right) \times \text{BD }$

$=> \text{AB} \times \text{CD} + \text{BC} \times \text{AD} = \text{AC} \times \text{BD}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. चक्रीय चतुर्भुज क्या है?
2. चक्रीय चतुर्भुज का टॉलेमी प्रमेय बताइए।
3. सही या गलत लिखें
   • चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का युग्म बराबर होता है
   • चक्रीय चतुर्भुज में आसन्न कोणों का युग्म बराबर होता है
   • चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का युग्म पूरक होता है
   • चक्रीय चतुर्भुज में आसन्न कोणों का युग्म पूरक होता है
   • चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों के युग्म सम्पूरक होते हैं
   • चक्रीय चतुर्भुज में आसन्न कोणों का युग्म संपूरक होता है
4. निम्नलिखित में से कौन-सा चतुर्भुज सदैव चक्रीय चतुर्भुज होता है?
   • समचतुर्भुज
   • समानांतर चतुर्भुज
   • समलम्ब
   • विषमकोण
   • आयत
   • पतंग

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं, वह चक्रीय चतुर्भुज होता है। इसे वृत्त के भीतर बना हुआ चतुर्भुज भी कहते हैं। किसी भी चक्रीय चतुर्भुज के में, विपरीत कोण पूरक होते हैं।

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