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गणित में, क्रमविनिमेय कई द्विआधारी संक्रियाओं का एक मूलभूत गुण है, और कई गणितीय प्रमाण इस पर निर्भर करते हैं। एक द्विआधारी संकिया मुख्यतः जोड़ और गुणन संख्याओं (ऑपरेंड) का क्रम बदलने पर भी परिणाम नहीं बदलता, जैसे $3 + 4 = 4 + 3$ अथवा $2 \times 5 = 5 \times 2$। संख्याओं के इस गुण को क्रमविनिमेय गुणधर्म कहते हैं।
साहचर्य गुणधर्म और वितरकता गुणधर्म के साथ क्रमविनिमेय गुणधर्म आपको प्रश्नों को अधिक कुशलता से और जल्दी से हल करने में मदद करती है और त्रुटियों की संभावना को कम करने में भी मदद करती है।
क्रमविनिमेय गुणधर्म किसे कहते हैं?
आइए एक उदाहरण की मदद से क्रमविनिमेय गुणधर्म को समझते हैं:
मान लीजिए कि हमें $15$ और $25$ का योग ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, आप $15 + 25$ लिखेंगे। यदि आप $25 + 15$ लिखेंगे तो क्या होगा? इस समय भी परिणाम वही रहेगा। यहां, आप देखते हैं कि $15 + 25$ और $25 + 15$ दोनों का परिणाम एक ही है, और वह है $40$।
गुणन के सन्दर्भ में भी ऐसा ही होता है। $3$ और $7$ के गुणनफल को $3 \times 7$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसे $7 \times 3$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। दोनों ही सन्दर्भों में, गुणनफल $21$ ही रहता है, अर्थात, $3 \times 7 = 7 \times 3 = 21$।
क्रमविनिमेय गुणधर्म बताता है कि दो संख्याओं के संचालन का परिणाम समान रहता है, भले ही संख्याओं का क्रम बदल दिया गया हो।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार कहा जा सकता है:
यदि $A$ और $B$ दो संख्याएँ हैं, तो
- $A + B = B + A$ (संख्याओं के जोड़ के सन्दर्भ में)
- $A \times B = B \times A$ (संख्याओं के गुणन के सन्दर्भ में)
नोट: क्रमविनिमेय गुणधर्म घटाव और भाग में लागू नहीं होता।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म कहता है कि $A + B = B + A$।
आइए इस गुणधर्म को इस उदाहरण से समझते हैं।
मान लीजिए आपके पास $7$ गेंदों का एक सैट है।
और $5$ गेंदों का एक और सैट है।
अब आप दो सैट की इन सभी गेंदों को एक साथ रखते हैं (सैट $1$ और सैट $2$)।
दोनों सैट मिला कर कितनी गेंदें हुई? कुल $12$ गेंदें।
अब, पहले गेंदों का सैट $2$ रखें और फिर सैट $1$ रखें।
अभी भी, गेंदों की कुल संख्या $12$ है।
तो, आपने क्या नोटिस किया?
$7 + 5 = 12$ और यह भी $5 + 7 = 12$ है।
यह जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म है।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म कहता है कि $A \times B = B \times A$।
आइए फिर से गेंदों के एक उदाहरण को लेते हैं। आप अपने मित्र के साथ कुछ गेंदें खरीदने के लिए एक दुकान पर जाते हैं। दुकान के मालिक के पास दो सैट में गेंदें उपलब्ध हैं।
आप सैट $1$ के $4$ सेट खरीदते हैं और आपका मित्र सैट $2$ के $3$ सैट खरीदता है।
आपने कितनी गेंदें खरीदीं? निसंदेह $3 \times 4 = 12$।
और आपके मित्र ने $4 \times 3 = 12$।
यहां भी, आप देख सकते हैं कि परिणाम $3 \times 4$, और परिणाम $4 \times 3$ के समान है।
अर्थात $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$।
यह गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म है।
क्या क्रमविनिमेय गुणधर्म सभी श्रेणियों की संख्या पर लागू होता है?
दोनों रूपों में क्रमविनिमेय गुणधर्म – जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म और गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म किसी भी वास्तविक संख्या के साथ अच्छी तरह से काम करता है।
नोट: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, पूर्ण संख्याओं का समुच्चय, पूर्णांकों का समुच्चय, परिमेय संख्याओं का समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय होता है।
प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ
किन्हीं दो प्राकृतिक/ पूर्ण संख्याओं $57$ और $32$ को लेते हैं।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A + B = B + A$
$57 + 32 = 89$, और $32 + 57 = 89$।
इसलिए, $57 + 32 = 32 + 57$।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times B = B \times A$
$57 \times 32 = 1824$, और $32 \times 57 = 1824$।
इसलिए, $57 \times 32 = 32 \times 57$।
पूर्णांक
किन्हीं दो पूर्णांकों $-17$ और $15$ को लेते हैं।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$-17$ और $15$ को जोड़ने पर। $-17 + 15 = -2$।
और $15$ और $-17$ को जोड़ने पर $15 + \left(-17 \right) = -2$ है। विवरण के लिए पूर्णांकों का जोड़ और घटाव देखें।
इसलिए, $-17 + 15 = 15 + \left(-17 \right)$।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$-17$ को $15$ से गुणा करने पर। $-17 \times 15 = -255$।
और $15$ को $-17$ से गुणा करने पर $15 \times \left(-17 \right) = -255$ है। विवरण के लिए पूर्णांकों का गुणन और भाग देखें।
तो, $-17 \times 15 = 15 \times \left (-17 \right) $।
दशमलव संख्याएँ
किन्हीं दो दशमलव संख्याओं $A = 2.9$ और $B = 6.3$ पर विचार करें।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$2.9$ और $6.3$ को जोड़ने पर। $2.9 + 6.3 = 9.2$।
और $6.3$ और $2.9$ को जोड़ने पर $6.3 + 2.9 = 9.2$ है। विवरण के लिए दशमलव का जोड़ और घटाव देखें।
इसलिए, हम देखते हैं कि $2.9 + 6.3 = 6.3 + 2.9$।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$2.9$ और $6.3$ को गुणा करने पर। $2.9 \times 6.3 = 18.27$।
और $6.3$ और $2.9$ को गुणा करने पर $6.3 \times 2.9 = 18.27$ है। विवरण के लिए दशमलव का गुणन और भाग देखें।
इसलिए, हम देखते हैं कि $2.9 \times 6.3 = 6.3 \times 2.9$।
भिन्न
किन्हीं दो भिन्नों $A = \frac{3}{5}$ और $B =\frac{7}{9}$ पर विचार करें।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$\frac{3}{5}$ और $\frac{7}{9}$ को जोड़ने पर।
$\frac{3}{5} + \frac{7}{9} = \frac{3\times 9 + 7\times 5}{5 \times 9} = \frac{27 + 35}{45} = \frac{62}{45} = 1\frac{17}{45}$.
और $\frac{7}{9}$ और $\frac{3}{5}$ को जोड़ने पर।
$\frac{7}{9} + \frac{3}{5} = \frac{7 \times 5 + 3 \times 9}{9 \times 5} = \frac{35 + 27}{45} = \frac{62}{45} = 1\frac{17}{45}$.
विवरण के लिए भिन्नों का जोड़ और घटाव देखें।
इसलिए, $\frac{3}{5} + \frac{7}{9} = \frac{7}{9} + \frac{3}{5}$।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$\frac{3}{5}$ और $\frac{7}{9}$ को गुणा करने पर।
$\frac{3 \times 7}{5 \times 9} = \frac{21}{45}$।
$\frac{7}{9}$ और $\frac{3}{5}$ को गुणा करने पर।
$\frac{7 \times 3}{9 \times 5} = \frac{21}{45}$।
विवरण के लिए भिन्नों का गुणा और भाग देखें।
इसलिए, $\frac{3}{5} \times \frac{7}{9} = \frac{7}{9} \times \frac{3}{5}$।
अपरिमेय संख्याएँ
किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं $A = 2\sqrt{3}$, और $C = 5\sqrt{3}$ पर विचार करें।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$2\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ को जोड़ने पर।
$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = \left(2 + 5\right) \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$।
$5\sqrt{3}$ और $2\sqrt{3}$ को जोड़ने पर।
$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \left(5 + 2\right) \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$।
इसलिए, $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म
$2\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ को गुणा करने पर।
$2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = 2 \times 5 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$।
$5\sqrt{3}$ और $2\sqrt{3}$ को गुणा करने पर।
$2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = 2 \times 5 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$।
इसलिए, $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$।
क्या क्रमविनिमेय गुणधर्म संक्रिया घटाव पर लागू होता है?
आइए सत्यापित करें कि क्या घटाव का क्रमविनिमेय गुणधर्म सत्य है, अर्थात $A – B = B – A$।
इसे जांचने के लिए, आइए दो संख्याओं $A = 17$ और $B = 12$ पर विचार करें।
$A – B = 17 – 12 = 5$ और $B – A = 12 – 17 = -5$।
चूँकि $5 \ne -5$, इसलिए, $A – B \ne B – A$।
क्या क्रमविनिमेय गुणधर्म संक्रिया भाग पर लागू होता है?
फिर से दो संख्याओं $A = 18$ और $B = 3$ पर विचार करें।
$A \div B = 18 \div 3 = 6$ और $B \div A = 3 \div 18 = \frac {3}{18} = \frac {1}{6} = 0.1666…$।
फिर, हम देखते हैं कि क्रमविनिमेय गुणधर्म भाग पर लागू नहीं होता है।
नोट
- क्रमविनिमेय गुणधर्म संक्रिया घटाव के लिए मान्य नहीं है
- क्रमविनिमेय गुणधर्म संक्रिया भाग के लिए मान्य नहीं है
निष्कर्ष
जोड़ और गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म कहता है कि परिणाम समान रहता है, भले ही संख्याओं कर क्रम जोड़ या घटाव में किसी भी क्रम में हों। परन्तु क्रमविनिमेय गुणधर्म घटाव और भाग के लिए मान्य नहीं है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित संख्याओं के लिए जोड़ के क्रमविनिमेय गुणधर्म का सत्यापन कीजिए।
- $A = 5, B = 17$
- $A = 12, B = 19$
- $A = 19, B = 28$
- $A = 27, B = 42$
- निम्नलिखित संख्याओं के लिए गुणन के क्रमविनिमेय गुणधर्म का सत्यापन कीजिए।
- $A = 5, B = 19$
- $A = 11, B = 14$
- $A = 12, B = 10$
- $A = 5, B = 38$
अनुशंसित पठन
- वितरकता गुणधर्म – अर्थ और उदाहरण
- साहचर्य गुणधर्म – अर्थ और उदाहरण
- दशमलव संख्या प्रणाली – प्रकार और गुणों के साथ
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्रमविनिमेय गुणधर्म का उदाहरण दें
क्रमविनिमेय गुणधर्म जोड़ और गुणन पर लागू होता है। इसका अर्थ है कि यदि आप संख्याओं की स्थिति को जोड़ और गुणा में बदलते हैं, तो परिणाम वही रहता है।
उदाहरण के लिए, दो संख्याओं $8$ और $4$ को लें। जोड़ के सन्दर्भ में, $8 + 4 = 4 + 8 = 12$ और गुणन के सन्दर्भ में, $8 \times 4 = 4 \times 8 = 32$।
क्रमविनिमेय गुणधर्म सूत्र क्या है?
जोड़ के लिए क्रमविनिमेय गुणधर्म सूत्र $A + B = B + A$ है। यदि आप $A = 3$ और $B = 9$ लेते हैं, तो $3 + 9 = 9 + 3 = 12$। इसी प्रकार, गुणन के लिए क्रमविनिमेय गुणधर्म सूत्र $A \times B = B \times A$ है। यदि आप $A = 3$ और $B = 9$ लेते हैं, तो $3 \बार 9 = 9 \times 3 = 27$।
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म क्या है?
जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म कहता है कि जोड़ के लिए संख्याओं के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता है। गणितीय रूप से, जोड़ के क्रमविनिमेय गुणधर्म को $A + B = B + A$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो संख्याएँ $11$ और $17$ हैं, तो $11 + 17$ का योग $17 + 11$ के योग के समान होगा। दोनों ही मामलों में, योग $28$ है।
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म क्या है?
गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म बताता है कि जिस किसी क्रम में भी गुणा के लिए संख्याएँ ली जाएँ परिणाम नहीं बदलता है। गणितीय रूप से, गुणन के क्रमविनिमेय गुणधर्म को $A \times B = B \times A$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो संख्याएं $4$ और $7$ हैं, तो गुणनफल $4 \times 7$ और $7 \times 4$ के समान होगा। दोनों सन्दर्भों में, गुणनफल $28$ है।
गणित में प्रमुख चार गुणधर्म कौन से हैं?
गणित में चार प्रमुख गुणधर्म हैं:
क्रमविनिमेय गुणधर्म, साहचर्य गुणधर्म, वितरकता गुणधर्म और तत्समक गुणधर्म।
क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणधर्म के बीच अंतर क्या है?
क्रमविनिमेय गुणधर्म संख्याओं के क्रम से संबंधित है और बताता है कि संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने से परिणाम नहीं बदलता है। साहचर्य गुण संख्याओं के समूहन से संबंधित है और बताता है कि संख्याओं के योग और गुणन के समूहन से परिणाम नहीं बदलता है।
क्या क्रमविनिमेय गुणधर्म का उपयोग घटाव और भाग के लिए किया जा सकता है?
नहीं, क्रमविनिमेय गुणधर्म घटाव और भाग के लिए नहीं है। यह केवल संख्याओं के जोड़ और गुणा के लिए है।
क्या क्रमविनिमेय गुणधर्म में 3 संख्याएं हो सकती हैं?
हां, क्रमविनिमेय गुणधर्म किसी भी संख्या (3 सहित) के लिए सही है।
तीन संख्याओं के लिए, इसे $A + B + C = A + C + B = B + A + C = B + C + A = C + A + B = C = B + A$ वर्णित किया जा सकता है।
