वृत्त क्या है – भाग, गुण और उदाहरण

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ज्यामिति और क्षेत्रमिति में आप कई प्रकार की 2D आकृतियों का अध्ययन करते हैं। वृत्त एक ऐसी 2D समतल घुमावदार आकृति है, जहाँ इसकी सीमा पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर होता है।

आइए समझते हैं कि ज्यामिति में वृत्त की परिभाषा क्या है और इसके विभिन्न भाग और गुण क्या हैं।

ज्यामिति में वृत्त की परिभाषा क्या है?

वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति है जो बिंदुओं के एक समूह द्वारा बनाई जाती है और जो समतल पर एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर या एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होती है। निश्चित बिंदु को वृत्त का मूल या केंद्र कहा जाता है और मूल बिंदु से बिंदुओं की निश्चित दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

ऐसी कई वस्तुएँ हैं जिन्हें हमने वास्तविक दुनिया में देखा है जो आकार में गोलाकार हैं। वृत्तों के कुछ उदाहरण घड़ियां, सिक्के, सीडी डिस्क, पहिए, अंगूठियां और बटन, आदि हैं।

वृत्त के गुण

एक वृत्त के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• वृत्त एक 2D आकार है जो बहुभुज नहीं है। इसका एक घुमावदार फलक होता है।
• दो वृत्तों को सर्वांगसम कहा जा सकता है यदि उनकी त्रिज्याएँ समान हों।
• समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से सदैव समान दूरी पर होती हैं।
• जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
• जब दो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदी बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा उनके केंद्र बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।
• व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

वृत्त का आंतरिक और बाह्य भाग

वृत्त एक तल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है

• आंतरिक: वह क्षेत्र जो एक वृत्त की सीमा के भीतर स्थित होता है, वृत्त का आंतरिक भाग कहलाता है। वृत्त के आंतरिक क्षेत्र में स्थित बिंदुओं को आंतरिक बिंदु कहा जाता है।
• बाह्य: वह क्षेत्र जो किसी वृत्त की सीमा के बाहर स्थित होता है, वृत्त का बाह्य भाग कहलाता है। किसी वृत्त के बाह्य क्षेत्र में स्थित बिंदुओं को बाह्य  बिंदु कहा जाता है।

उपरोक्त आकृति में, बाह्य बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ और $\text{D}$ हैं, और आंतरिक बिंदु $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ और $\text{H}$ हैं।

नोट:

• केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक होती है
• केंद्र से आंतरिक बिंदु की दूरी एक वृत्त की त्रिज्या से कम होती है
• केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी बिंदु की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है

वृत्त के भाग

वृत्त के कई भाग या घटक होते हैं जिन्हें हमें इसके गुणों को समझने के लिए जानना चाहिए। एक वृत्त में मुख्य रूप से निम्नलिखित भाग होते हैं:

परिधि

परिधि को वृत्त की सीमा के चारों ओर की दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

त्रिज्या

त्रिज्या वृत्त के केंद्र से उसकी सीमा पर किसी भी बिंदु की दूरी है। वृत्त की कई त्रिज्याएँ होती हैं क्योंकि यह केंद्र से दूरी होती है और विभिन्न बिंदुओं पर वृत्त की सीमा को छूती है।

व्यास

एक व्यास एक सीधी रेखा है जो केंद्र से होकर गुजरती है जो वृत्त की सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हमें ध्यान देना चाहिए कि सर्कल में कई व्यास हो सकते हैं, परन्तु उन्हें चाहिए:

• केंद्र से गुजरें।
• सीधी रेखाएँ हों।
• वृत्त की सीमा को दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्पर्श करें जो एक दूसरे के विपरीत स्थित हैं।

वृत्त की त्रिज्या और व्यास के बीच संबंध

वृत्त का व्यास (d) वृत्त की त्रिज्या (r) का दोगुना होता है, या हम कह सकते हैं कि एक वृत्त की त्रिज्या एक वृत्त के व्यास का आधी होती है।

• $\text{Diameter } = 2 \times \text{ Radius}$ or $d = 2r$
• $\text{Radius } = \frac{1}{2} \times \text{ Diameter}$ or $r = \frac{1}{2}d$

वृत्त की जीवा

जीवा कोई भी रेखाखंड होता है जो वृत्त की सीमा पर दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्पर्श करता है। किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा उसका व्यास होता है जो केंद्र से होकर गुजरती है और उसे दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

नोट: केंद्र से गुजरने वाली जीवा व्यास कहलाती है।

स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा वह रेखा है जो वृत्त को एक अद्वितीय बिंदु पर स्पर्श करती है और वृत्त के बाहर स्थित होती है।

नोट: किसी वृत्त की स्पर्शरेखा और त्रिज्या संपर्क बिंदु पर $90^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।

छेदक रेखा

वह रेखा जो किसी वृत्त के चाप/परिधि पर दो बिन्दुओं को प्रतिच्छेद करती है, छेदक रेखा कहलाती है।

वृत्त का चाप

वृत्त का चाप एक वक्र है, जो इसकी परिधि का एक भाग होता है।

वृत्त का त्रिज्यखंड

वृत्त का त्रिज्यखंड को दो त्रिज्याओं से घिरे क्षेत्र और वृत्त में संबंधित चाप के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिज्यखंड दो प्रकार के होते हैं – लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड।

वृत्तखंड

वृत्त में जीवा और संबंधित चाप द्वारा घिरे क्षेत्र को वृत्तखंड कहा जाता है। वृत्तखंड दो प्रकार के होते हैं – लघु वृत्तखंड और दीर्घखंड।

वृत्त सूत्र

ज्यामिति और क्षेत्रमिति में हम अक्सर विभिन्न वृत्त सूत्रों का उपयोग करते हैं। वृत्त सूत्र इस प्रकार हैं।

• वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र: वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त द्वारा कवर किए गए स्थान की मात्रा को संदर्भित करता है। यह पूरी तरह से इसकी त्रिज्या की लंबाई पर निर्भर करता है। $text{Area} = \pi r^2$ वर्ग इकाई।
• वृत्त की परिधि सूत्र: परिधि वृत्त की सीमा की कुल लंबाई है $\text{Circumference } = 2 \pi r$ इकाइयाँ।
• चाप की लंबाई सूत्र: एक चाप परिधि का एक खंड (भाग) है। $\text{Length of Arc }= \theta \times r$, जहां, $\theta$ केंद्रीय कोण है और रेडियन में है।
• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र: यदि एक त्रिज्यखंड केंद्र में $\theta$ (रेडियन में मापा गया) कोण बनाता है, तो एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\theta r^2}{2}$। यहाँ, $\theta$ रेडियन में है।
• जीवा की लम्बाई सूत्र: इसकी गणना की जा सकती है यदि जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण और त्रिज्या का मान ज्ञात हो। $\text{Length of Chord } = 2 r \sin \frac{\theta}{2}$। यहाँ, $\theta$ रेडियन में है।
• वृत्तखंड सूत्र का क्षेत्रफल: एक वृत्त का खंड जीवा द्वारा निर्मित क्षेत्र और खंड द्वारा कवर किया गया संगत चाप है। खंड का क्षेत्रफल = $\frac{r^2 \left( \theta − \sin \theta \right)}{2}$। यहाँ, $\theta$ रेडियन में है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्न की व्याख्या करें
   • वृत्त
   • त्रिज्य 
   • व्यास
   • जीवा 
   • स्पर्शरेखा
   • छेदक रेखा 
   • चाप 
   • त्रिज्यखंड 
   • वृत्तखंड

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति है जो बिंदुओं के एक समूह द्वारा बनाई जाती है जो समतल पर एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर या एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होती है। एक वृत्त के प्रमुख भाग स्पर्शरेखा, जीवा, त्रिज्या, व्यास, लघु चाप, दीर्घ चाप, लघु त्रिज्याखंड, दीर्घ त्रिज्याखंड, लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड हैं।

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