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ज्यामिति में, ‘समद्विबाहु’ शब्द का प्रयोग समान भुजाओं वाली आकृतियों (या आकृतियों) के लिए किया जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो समान भुजाएँ होती हैं।
आइए समद्विबाहु त्रिभुज क्या है और समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों को उदाहरणों से समझते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज क्या है?
समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो सर्वांगसम या बराबर भुजाएँ होती हैं। साथ ही, समद्विबाहु त्रिभुज में, दो समान भुजाओं के विपरीत दो कोण भी बराबर होते हैं।
उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ $\text{AB} = \text{AC}$। साथ ही, समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं, अर्थात $\angle \text{B} = \angle \text{C}$।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुण
समद्विबाहु त्रिभुज के निम्नलिखित गुण हैं, जो इसे अन्य प्रकार के त्रिभुजों से अलग करने में मदद करते हैं।
- समद्विबाहु त्रिभुज में, तीन में से कोई दो भुजा बराबर होती है
- समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं को उसके पाद कहते हैं
- समद्विबाहु त्रिभुज के पादों के बीच के कोण को शीर्ष कोण कहा जाता है
- समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के विपरीत के कोण बराबर होते हैं
- समान कोणों को आधार कोण कहते हैं
- शीर्ष कोण से खींचा गया लम्ब आधार और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है
- शीर्ष कोण से खींचा गया लंब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय
समद्विबाहु त्रिभुज में, दो भुजाओं के विपरीत कोण भी सर्वांगसम होते हैं।
माना $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जैसे $\text{AB} = \text{AC}$, और $\angle \text{B} = \angle \text{C}$।
उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं। इसके लिए एक छोटी सी रचना की आवश्यकता है। शीर्ष कोण $\text{A}$ से विपरीत भुजा $\text{BC}$ पर एक लंब बनाएं, जो एक बिंदु $\text{D}$ पर मिलें।
$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ में
$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया गया है)
$\text{AD} = \text{AD}$ (समान भुजा)
$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ (रचना से, $\text{AD} \perp \text{BC}$)
इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$
अतः, $\angle \text{B} = \angle \text{C}$ (CPCT)
शीर्ष कोण से खींचा गया लम्ब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण से खींचा गया लंब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
माना $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ $\text{AB} = \text{AC}$, और $\text{AD} \perp \text{BC}$, तो $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$।
उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।
$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ में
$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया गया है)
$\text{AD} = \text{AD}$ (समान भुजा)
$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ (रचना द्वारा, $\text{AD} \perp \text{BC}$)
इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$।
शीर्ष कोण से खींचा गया लंब आधार और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है
समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण से खींचा गया लंब आधार और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है।
माना $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ $\text{AB} = \text{AC}$, और $\text{AD} \perp \text{BC}$, तो $\text {BD} = \text {DC} $ और $\angle \text {BAD} = \angle \text{CAD}$
उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।
$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ में
$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया गया है)
$\text{AD} = \text{AD}$ (समान भुजाएँ)
$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ (रचना द्वारा, $\text{AD} \perp \text{BC}$)
इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$।
अतः, $\text{BD} = \text{BD}$ और $\angle \text{BAD} = \angle \text{CAD}$ (CPCT)
अभ्यास के लिए प्रश्न
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्या अर्थ है?
- सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं।
- सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण से खींचा गया लम्ब आधार और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है।
- सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष कोण से खींचा गया लंब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
समद्विबाहु त्रिभुज क्या है?
समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो सर्वांगसम या बराबर भुजाएँ होती हैं। साथ ही, समद्विबाहु त्रिभुज में, दो समान भुजाओं के विपरीत दो कोण बराबर होते हैं। शीर्ष कोण से खींचा गया लंब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समद्विबाहु त्रिभुज के 3 गुण क्या हैं?
समद्विबाहु त्रिभुज के तीन महत्वपूर्ण गुण हैं
a) तीन भुजाओं में कोई दो भुजाएँ बराबर होती हैं
b) समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं
c) शीर्ष कोण से खींचा गया लम्ब आधार और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है
क्या समद्विबाहु त्रिभुज समकोण त्रिभुज हो सकता है?
हाँ, समद्विबाहु त्रिभुज समकोण त्रिभुज हो सकता है। ऐसे त्रिभुज में, दो समान कोण $45^{\circ}$ प्रत्येक के होंगे।
निष्कर्ष
समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो सर्वांगसम या बराबर भुजाएँ होती हैं। साथ ही, एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो समान भुजाओं के विपरीत दो कोण बराबर होते हैं।
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