समबाहु त्रिभुज क्या है – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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त्रिभुज एक 2D आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं। हालाँकि एक त्रिभुज के तीन कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है, फिर भी विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है – समबाहु, समद्विबाहु, या विषमबाहु, या कोणों के माप के अनुसार – न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण।

आइए समझते हैं कि समबाहु त्रिभुज क्या है और इसके गुण क्या हैं।

समबाहु त्रिभुज क्या है? – समबाहु त्रिभुज परिभाषा

समबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं और कोण भी बराबर होते हैं। समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान $60^{\circ}$ होता है इसलिए, इसे समबाहु त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है। समबाहु त्रिभुज एक सम बहुभुज है क्योंकि कोण बराबर होते हैं और भुजाएँ भी बराबर होती हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ एक समबाहु है। इसकी सभी भुजाओं की लंबाई बराबर है, अर्थात $\text{AB} = \text{BC} = \text{CA} = a$। साथ ही, तीनों कोणों की माप बराबर है, अर्थात $\angle \text{A} = \angle \text{B} = \angle \text{C} = 60^{\circ}$।

समबाहु त्रिभुज का आकार

समबाहु त्रिभुज की आकृति सम होती है। ‘समबाहु’ शब्द दो शब्दों के मेल से बना है, ‘सम’ का अर्थ बराबर है, और बाहु’ का अर्थ है भुजाएँ। एक समबाहु त्रिभुज को सम बहुभुज या सम त्रिभुज भी कहा जाता है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समबाहु त्रिभुज के गुण

एक समबाहु त्रिभुज के निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं जो इसे अन्य प्रकार के त्रिभुजों से अलग करने में मदद करते हैं।

• समबाहु त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ के बराबर है।
• समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।
• समबाहु त्रिभुज में सभी तीन कोण $60^{\circ}$ होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक सम बहुभुज है।
• समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा पर डाला गया लंब इसे दो बराबर भागों में समद्विभाजित करता है।
• समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से खींचा गया लंब उस कोण को समद्विभाजित करता है जहाँ से लंब को दो बराबर कोणों में विभाजित किया जाता है, अर्थात $30^{\circ}$ प्रत्येक।
• समबाहु त्रिभुज में लम्बकेन्द्र, अंतःकेन्द्र और केन्द्रक एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, कोण समद्विभाजक और शीर्षलंब सभी समान होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$ होती है। 
• समबाहु त्रिभुज का परिमाप(परिधि) $3a$ होती है।

समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है

माना $\triangle \text{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है, तो $\angle \text{A} = \angle \text{B} = \angle \text{C} = 60^{\circ}$।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

एक त्रिभुज में तीन कोणों का योग होता है $180^{\circ}$ (त्रिकोण का कोण योग गुण)

इसलिए, $\angle \text{A} + \angle \text{B} + \angle \text{C} = 180^{\circ}$ —————— (1)

साथ ही, $\angle \text{A} = \angle \text{B} = \angle \text{C}$ ($\triangle \text{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है) —- (2)

(1) और (2) से, $\angle \text{A} + \angle \text{A} + \angle \text{A} = 180^{\circ}$

$=> 3\angle \text{A} = 180^{\circ} => \angle \text{A} = 60^{\circ}$

From (2) $\angle \text{A} = \angle \text{B} = \angle \text{C} = 60^{\circ}$

शीर्ष से खींचा गया लंब समबाहु त्रिभुज को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है

$\triangle \text{ABC}$ को एक समबाहु है और एक लंब $\text{AD}$ को विपरीत भुजा में $\text{A}$ खींचा जाता है $\text{BC}$, फिर $\ triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ में

$\text{AB} = \text{AC}$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ)

$\text{AD} = \text{AD}$ (सामान भुजा)

$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ ($\text{AD} \perp \text{BC}$)

इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$ (RHS सर्वांगसमता कसौटी)

अतः, $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ बराबर हैं।

शीर्ष से खींचा गया लंब कोण को दो समान कोणों में विभाजित करता है

$\triangle \text{ABC}$ को एक समबाहु त्रिभुज है और एक लंब $\text{AD}$ शीर्ष  $\text{A}$ से विपरीत भुजा $\text{BC}$ पर खींचा जाता है, तो $\angle \text{BAD} = \angle \text{DAC}$।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ADC}$ में

$\text{AB} = \text{AC}$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ)

$\text{AD} = \text{AD}$ (समान भुजा)

$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ ($\text{AD} \perp \text{BC}$)

इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ADC}$ (RHS सर्वांगसमता कसौटी)

अत: $\angle \text{BAD} = \angle \text{DAC}$ (CPCT)

समबाहु त्रिभुज प्रमेय

माना $\triangle \text{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है और $\text{P}$ $\widehat{\text{BC}}$ पर एक बिंदु है जो $\triangle \text{ABC}$ के परिवृत्त पर स्थित है, तो समबाहु त्रिभुज प्रमेय के अनुसार $\text{PA} = \text{PB} + \text{PC}$।

उपरोक्त कथन को सिद्ध करते हैं।

एक चक्रीय चतुर्भुज $\text{ABPC}$ के लिए, हमारे पास $\text{PA}⋅\text{BC}=\text{PB}⋅\text{AC}+\text{PC}⋅\text{AB} $

साथ ही, एक समबाहु त्रिभुज ABC के लिए, $\text{AB} = \text{BC} = \text{AC}$

इसलिए, $\text{PA}.\text{AB} = \text{PB}.\text{AB}+\text{PC}.\text{AB}$

$\text{AB}$ को एक सामान्य के रूप में लेने पर, हमें $\text{PA}.\text{AB}=\text{AB} \left(\text{PB}+\text{PC} \right)$ प्राप्त होता है।

$=>\text{PA} = \text{PB} + \text{PC}$।

समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज के बीच अंतर

समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज के बीच मुख्य अंतर निम्नलिखित हैं

समबाहु त्रिभुज	समद्विबाहु त्रिभुज	विषमबाहु त्रिभुज
तीनों भुजाएं बराबर होती हैं	कोई भी दो भुजाएँ बराबर होती हैं	तीनों भुजाएँ असमान होती हैं
सभी तीन आंतरिक कोण $60^{\circ}$ के बराबर होते हैं	समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं	सभी कोण माप में असमान होते हैं
एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएं, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक समान होते हैं	एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ, शीर्षलंब  और कोण समद्विभाजक अलग-अलग होते हैं	विषमबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक अलग-अलग होते हैं
एक समबाहु त्रिभुज का केन्द्रक, लम्बकेन्द्र और अंतःकेन्द्र समान होते हैं	एक समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक, लंबकेन्द्र और अंत:केन्द्र अलग-अलग होते हैं	विषमबाहु त्रिभुज का केन्द्रक, लंबकेंद्र और अंत:केन्द्र अलग-अलग होते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. समबाहु त्रिभुज का क्या अर्थ है?
2. सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का योग $60^{\circ}$ होता है
3. सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लंब उसे बराबर आधे भागों में समद्विभाजित करता है।
4. सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से खींचा गया लंब उस कोण को जहाँ से लंब खींचा जाता है, दो समान कोणों में विभाजित करता है।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

समबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं और कोण भी बराबर होते हैं। एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान $60^{\circ}$ होता है इसलिए, इसे समबाहु त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है। एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिकाएँ, ऊँचाई और कोण समद्विभाजक एक ही रेखाएँ होती हैं और एक ही बिंदु पर मिलते हैं।

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