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एक बार जब आप बिंदुओं, रेखाओं, रेखाखंडों और किरणों के बारे में जान जाते हैं, तो अगली बात यह जानने की होती है कि जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं तो क्या होता है। दो रेखाओं के मिलने या प्रतिच्छेद करने पर बनने वाली आकृति कोण कहलाती है। कोण ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। यह हर ज्यामितीय आकृति का एक हिस्सा है, चाहे वह त्रिकोण, चतुर्भुज या बहुभुज हो। यहाँ तक कि हमारे दैनिक जीवन में भी कई वस्तुएँ कोण के आकार की होती हैं जैसे कि कपड़े के हैंगर, तीर की नोक, कैंची, आंशिक रूप से खुले दरवाजे, मेज का किनारा, रूलर का किनारा आदि।
आइए समझते हैं कि ज्यामिति में कोण क्या है और इसके गुण क्या हैं और इसे कैसे मापा जाता है।
ज्यामिति में कोण क्या है – कोण की परिभाषा
कोण एक सामान्य समापन बिंदु के साथ दो किरणों (अर्ध-रेखाओं) का संयोजन होता है। उत्तरार्द्ध को कोण के शीर्ष के रूप में और किरणों को पक्षों के रूप में, कभी-कभी पैरों के रूप में, और कभी-कभी कोण की भुजाओं के रूप में जाना जाता है। कोण को प्रतीक $’\angle’$ द्वारा दर्शाया जाता है।
कोण के भाग
एक कोण के दो मुख्य भाग होते हैं।
- शीर्ष: एक कोण के कोने बिंदु को शीर्ष के रूप में जाना जाता है। यह वह बिंदु है जहां दो किरणें मिलती हैं।
- भुजाएँ: कोण की दो भुजाएँ, एक उभयनिष्ठ अंत बिंदु पर जुड़ती हैं, भुजा कहलाती हैं। भुजाएँ दो प्रकार की होती हैं।
- प्रारंभिक भुजा: इसे संदर्भ रेखा के रूप में भी जाना जाता है। इस रेखा को संदर्भ के रूप में लेते हुए सभी माप किए जाते हैं।
- अंतस्थ भुजा: यह वह भुजा है जिस पर कोण माप किया जाता है।
कोणों को कैसे लेबल करें?
कोणों को लेबल करने के दो अलग-अलग विधियाँ हैं। वो हैं:
विधि 1: किसी कोण को लेबल करने की पहली विधि उसे एक नाम देना है। आम तौर पर, कोण को “a”, “x”, आदि जैसे छोटे अक्षरों का उपयोग करके या ग्रीक अक्षरों अल्फा ($\alpha$), बीटा ($\beta$), थीटा ($\theta$) , आदि का उपयोग करके नामित किया जाता है।
विधि 2: दूसरी विधि में, शीर्ष पर स्थित बिंदुओं और दो भुजाओं का उपयोग करके कोण का नाम दिया जाता है। मध्य अक्षर शीर्ष होना चाहिए, जो एक वास्तविक कोण है।
उदाहरण के लिए, $\angle \text{ABC}$ को $\angle \text{B}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसी प्रकार, $\angle \text{PQR}$ को $\angle \text{Q}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
कोण का मापन
कोण के माप से हमारा तात्पर्य दो समतलों (या रेखाओं) के प्रतिच्छेदन बिंदु के परितः घूर्णन की मात्रा से है जो कि एक को दूसरे तल के अनुरूप लाने के लिए आवश्यक है। कोणों में तीन प्रकार के मापन होते हैं। एक कोण को डिग्री $\left(^{\circ} \right)$, रेडियन या ग्रेडियन के संदर्भ में मापा जाता है।
कोण को मापते समय या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त (वामावर्त) दिशा में किया जाता है। इसके आधार पर कोण की माप ऋणात्मक या धनात्मक हो सकती है।
- धनात्मक कोण: वामावर्त दिशा में मापे गए कोण को धनात्मक कोण कहा जाता है।
- ऋणात्मक कोण: दक्षिणावर्त दिशा में मापे गए कोण को ऋणात्मक कोण कहा जाता है।
उपर्युक्त दो प्रकार के मापों में, दो सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले माप हैं
- अंश (डिग्री) माप
- रेडियन मापन
एक कोण की अंश (डिग्री)
एक कोण की डिग्री को $^{\circ}$ (डिग्री के रूप में पढ़ें) द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक आधार 60 (सेक्सजेसिमल) संख्या प्रणाली है। इस प्रणाली में, एक वृत्त को $360$ बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक भाग $1^{\circ}$ का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, एक कोण को $1^{\circ}$ के बराबर कहा जाता है यदि आरंभिक से टर्मिनल की ओर का रोटेशन पूर्ण रोटेशन के $\frac{1}{360}$ के बराबर है।
एक डिग्री को आगे मिनट और सेकंड में विभाजित किया जाता है। $1^{‘}$ (1 मिनट) को एक डिग्री के साठवें हिस्से के रूप में परिभाषित किया गया है और $1^{“}$ (1 सेकंड) को एक मिनट के साठवें हिस्से के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, $1^{\circ}= 60^{′} = 3600^{”}$।
एक कोण का रेडियन
रेडियन कोण की SI इकाई है। रेडियन का प्रयोग अधिकतर कैलकुलस में किया जाता है। इसे ‘रेड’ से दर्शाया जाता है। एक इकाई वृत्त के चाप की लंबाई संख्यात्मक रूप से उस कोण के रेडियन में माप के बराबर होती है जो इसे घटाता है। एक पूर्ण वृत्त में, $2 \pi$ रेडियन होते हैं।
इसलिए, $360^{\circ} = 2 \pi \text{ Radian}$।
$=> 1 \text{ Radian} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$।
एक कोण के क्षेत्र
तुलना और जोड़ को सक्षम करने के लिए, एक कोण दो क्षेत्रों से जुड़ा होता है जिसमें कोण के दो किनारे समतल को विभाजित करते हैं। इनमें से एक को आंतरिक और दूसरे को कोण का बाहरी कहा जाता है। एक कोण की दो भुजाओं (प्रारंभिक और अंतिम) के बीच के क्षेत्र को कोण का आंतरिक क्षेत्र कहा जाता है और दोनों भुजाओं के बाहर स्थित क्षेत्र को बाह्य क्षेत्र कहा जाता है।
कोणों की तुलना करने के लिए उन्हें इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उनके आंतरिक भाग प्रतिच्छेद करें जबकि कुछ दो भुजाएँ और शीर्ष संपाती हों। वह कोण जिसका दूसरा पक्ष दूसरे कोण के आंतरिक भाग में स्थित है, घोषित (और स्वाभाविक रूप से ऐसा) दोनों में से छोटा है।
इसके अलावा, हम एक कोण के एक किनारे को दूसरे कोण के किनारे से ओवरलैप करते हैं ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि उनके अंदरूनी हिस्से एक-दूसरे को न काटें। दो मुक्त भुजाएँ (प्रत्येक जोड़ में से एक) एक कोण बनाती हैं जिसे दोनों का योग लिया जाता है।
कोणों का वास्तविक जीवन अनुप्रयोग
निम्नलिखित कोणों के वास्तविक जीवन के कुछ अनुप्रयोग हैं।
- इंजीनियर कोण माप का उपयोग करके भवनों, पुलों, घरों, स्मारकों आदि का निर्माण करते हैं।
- एथलीट अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए खेलों में इस अवधारणा का उपयोग करते हैं।
- बढ़ई इसका उपयोग दरवाजे, कुर्सी, सोफा, मेज आदि जैसे उपकरण बनाने में करते हैं।
- कलाकार अपने माप ज्ञान का उपयोग स्केच या कला के टुकड़े बनाने के लिए करते हैं।
- दीवार घड़ियाँ घंटे और मिनट की सुई से समय दिखाने के लिए कोणों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- कोण शब्द को परिभाषित कीजिए।
- एक कोण के विभिन्न भाग कौन-कौन से हैं?
- कोण का डिग्री माप क्या है?
- कोण का रेडियन माप क्या है?
- 1 रेडियन कितने डिग्री के बराबर होता है?
- 1 डिग्री कितने रेडियन के बराबर होता है?
- धनात्मक और ऋणात्मक कोण का क्या अर्थ है?
- एक कोण का आंतरिक और बाहरी क्या होता है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
ज्यामिति में कोण को परिभाषित कीजिए
एक कोण को आकृति के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें दो किरणें एक उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलती हैं जिसे शीर्ष कहा जाता है। कोण $’\angle’$ चिन्ह का उपयोग करके दर्शाया गया है।
कोणों के गुणों का उल्लेख कीजिए
कोणों के दो मुख्य महत्वपूर्ण गुण हैं:
a) एक सीधी रेखा के एक तरफ के सभी कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री मापता है।
b) एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री मापता है।
एक कोण के आंतरिक और बाह्य का क्या अर्थ है?
एक कोण की दो भुजाओं (प्रारंभिक और अंतिम) के बीच के क्षेत्र को कोण का आंतरिक भाग कहा जाता है और दोनों भुजाओं के बाहर स्थित क्षेत्र को बाह्य क्षेत्र कहा जाता है।
निष्कर्ष
एक कोण एक सामान्य समापन बिंदु के साथ दो किरणों (अर्ध-रेखाओं) का संयोजन होता है। इसके दो भाग होते हैं – शीर्ष और भुजाएँ। भुजाएँ दो प्रकार की होती हैं- प्रारम्भिक और अंतस्थ। कोणों को मापने की दो सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली इकाइयाँ डिग्री और रेडियन हैं।
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