बीजगणित क्या है – परिभाषा, मूल बातें और उदाहरण

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गणित एक ऐसा विषय है जो संख्या, आकार, तर्क, मात्रा और व्यवस्था से संबंधित है। गणित की दो मुख्य शाखाएँ हैं – शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित। शुद्ध गणित संख्या, मात्रा और स्थान का एक अमूर्त विज्ञान है, या तो अमूर्त अवधारणाओं (शुद्ध गणित) के रूप में या भौतिकी और इंजीनियरिंग (अनुप्रयुक्त गणित) जैसे अन्य विषयों पर लागू होता है।

बीजगणित, शुद्ध गणित का एक हिस्सा अज्ञात मूल्यों पर आधारित अवधारणा है जिसे चर कहा जाता है। शब्द बीजगणित(अंग्रेजी ‘अलजेब्रा’) अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है, और यह मध्यकालीन फ़ारसी गणितज्ञ, मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख़्वारिज़्मी द्वारा $830$ में लिखे गए ग्रंथ से आया है।

बीजगणित की महत्वपूर्ण अवधारणा समीकरण है और यह अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए विभिन्न नियमों का पालन करता है। आइए समझते हैं कि बीजगणित क्या है और इसकी दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ – चर और स्थिरांक हैं।

गणित में बीजगणित क्या है?

बीजगणित गणित की एक शाखा है जो प्रतीकों और इन प्रतीकों पर संचालित अंकगणितीय संक्रियाओं से संबंधित है। इन प्रतीकों का कोई निश्चित मान नहीं होता है और इन्हें चर कहा जाता है।

हमारी वास्तविक जीवन की समस्याओं में, हम अक्सर कुछ निश्चित मूल्यों को देखते हैं जो बदलते रहते हैं और कुछ अन्य मूल्य जो स्थिर (या स्थिर) रहते हैं।

बीजगणित में, मूल्य जो बदलते रहते हैं या बदल सकते हैं, उन्हें अक्सर $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, या $c$ जैसे प्रतीकों के साथ दर्शाया जाता है। इन प्रतीकों को चर कहा जाता है।

इसके अलावा, इन प्रतीकों को जोड़, घटाव, गुणा और भाग के विभिन्न अंकगणितीय कार्यों के माध्यम से जोड़-तोड़ किया जाता है, जिसका उद्देश्य कुछ निश्चित स्थितियों के अंतर्गत उनके मूल्यों को ज्ञात करना है।

स्थिरांक और चर

स्थिरांक और चर दो प्रकार के प्रतीक हैं जिनका उपयोग बीजगणित में किया जाता है। वे बीजगणित का एक हिस्सा हैं और बीजगणितीय व्यंजकों के बुनियादी निर्माण खंड माने जाते हैं। एक प्रतीक जिसका एक निश्चित संख्यात्मक मान होता है, एक स्थिरांक कहलाता है, जबकि एक मात्रा जिसका कोई निश्चित मान नहीं होता है, लेकिन कोई भिन्न संख्यात्मक मान नहीं होता है, एक चर कहलाता है।

आइए इन दोनों शब्दों को विस्तार से समझते हैं।

स्थिरांक क्या होते हैं?

बीजगणित में स्थिरांक बीजगणितीय व्यंजकों का वह हिस्सा है जिसमें केवल $5$, $-2$, $4.87$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{7}$, आदि जैसी संख्याएँ शामिल हैं। हम कहते हैं उन्हें स्थिर रखा जाता है क्योंकि उनका मान हमेशा समान रहता है। यह तय है और एक समस्या से दूसरी समस्या में नहीं बदलता है।

संख्या $6$ एक स्थिर है क्योंकि इसका एक विशेष मूल्य है, और यह सभी के लिए जाना जाता है और यह विभिन्न परिदृश्यों या समस्याओं के तहत समान मूल्य को संदर्भित करता है। इसे बदला नहीं जा सकता।

उदाहरण

Ex 1: बीजगणितीय व्यंजक $9x – 3$ में स्थिरांकों की पहचान करें।

बीजीय व्यंजक $9x – 3$ में स्थिरांक $9$ और $-3$ हैं।

Ex 2: बीजगणितीय व्यंजक $\frac {5x + 7}{2}$ में स्थिरांकों की पहचान करें।

$\frac {5x + 7}{2} = \frac{5}{2} x + \frac{7}{2}$।

इसलिए, बीजीय व्यंजक $\frac {5x + 7}{2}$ में स्थिरांक $\frac{5}{2}$ और $\frac{7}{2}$ हैं।

Ex 3: बीजगणितीय व्यंजक $x – 5$ में स्थिरांकों की पहचान करें।

$x – 5$ को $1 \times x – 5$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, बीजगणितीय व्यंजक $x – 5$ में स्थिरांक $1$ और $-5$ हैं।

चर क्या होते हैं?

बीजगणित में, अक्षर चर का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये स्थिर नहीं होते हैं, अर्थात इनका मान समय-समय पर बदला जा सकता है। एक चर को अंग्रेजी अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे $x$, $y$, $z$, $p$, $q$, $r$, आदि। इनमें से प्रत्येक प्रतीक किसी समस्या के आधार पर कोई संख्यात्मक मान ले सकता है या एक स्थिति जहां उनका उपयोग किया जाता है।

उदाहरण

Ex 1: बीजगणितीय व्यंजक $2x + 8$ में चरों की पहचान करें।

बीजगणितीय व्यंजक $2x + 8$ में चर $x$ है।

Ex 2: बीजगणितीय व्यंजक $3a – 2b$ में चरों की पहचान करें।

बीजगणितीय व्यंजक $3a – 2b$ में चर $a$ और $b$ हैं।

Ex 3: बीजगणितीय व्यंजक $x^{2} – 2xy + y^{2}$ में चरों की पहचान करें।

बीजीय व्यंजक $x^{2} – 2xy + y^{2}$ में चर $x$ और $y$ हैं।

बीजगणित में प्रयुक्त चिन्ह

कोई भी जोड़ $\left(+ \right)$, व्यवकलन $\left(- \right)$, गुणा $\left(\times \right)$ और विभाजन $\left( \div \right)$ जैसी गणितीय संक्रियाएं कर सकता है। अर्थपूर्ण बीजगणितीय व्यंजक बनाने के लिए बीजगणित में $।

इन चार चिह्नों के अतिरिक्त कुछ अन्य चिह्न और चिह्न भी हैं जिनका उपयोग बीजगणित में बार-बार किया जाता है। ये $\left(= \right)$ के बराबर हैं, $\left(\ne \right)$ के बराबर नहीं, $\left(\lt \right)$ से कम, $\left(\gt \right)$ से बड़ा, $\left(\le \right)$ के बराबर से कम और $\left( \ge \right)$ के बराबर से अधिक।

पैटर्न के रूप में बीजगणित

पैटर्न और बीजगणित के बीच संबंध को समझने के लिए हमें कुछ पैटर्न बनाने की कोशिश करनी होगी। हम एक साधारण पैटर्न बनाने के लिए माचिस की तीलियों या क्रेयॉन का उपयोग कर सकते हैं और यह समझ सकते हैं कि पूरे पैटर्न का वर्णन करने के लिए एक सामान्य अभिव्यक्ति कैसे बनाई जाए।

विभिन्न प्रकार के बीजगणितीय पैटर्न हैं जैसे दोहराए जाने वाले पैटर्न, वृद्धि पैटर्न, संख्या पैटर्न आदि। इन सभी पैटर्न को विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण

आइए माचिस की तीलियों का उपयोग करते हुए कुछ बीजगणित पैटर्न देखें।

Ex 1: संख्या पैटर्न $4$, $7$, $10$, $13$, … माचिस की तीलियों का उपयोग करके।

$1^{st}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $4$।

$2^{nd}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $7 = 4 + 3$।

$3^{rd}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $10 = 7 + 3$।

$4^{th}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $13 = 10 + 3$।

गठित पैटर्न एक अंकगणितीय पैटर्न है, जहां पहला शब्द $a = 4$ और सामान्य अंतर $d = 3$ है।

Ex 2: संख्या पैटर्न $3$, $5$, $7$, $9$, … माचिस की तीलियों का उपयोग करके।

$1^{st}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $3$।

$2^{nd}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $5 = 3 + 2$।

$3^{rd}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $7 = 5 + 2$।

$4^{th}$ आकार में माचिस की तीलियों की संख्या = $9 = 7 + 2$।

बीजगणितीय रूप में पैटर्न का नियम बनाना

जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में देखा गया है, एक पैटर्न बनाने के लिए, नियमों के एक निश्चित समूह पर विचार करने की आवश्यकता है। इन नियमों को लागू करने के लिए हमें पहले अनुक्रम की प्रकृति और पैटर्न में दी गई दो क्रमागत संख्याओं के बीच के अंतर को समझना चाहिए।

इस नियम को चरों, स्थिरांकों और गणितीय संचालकों का उपयोग करके बीजगणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक चर का उपयोग पैटर्न में परिवर्तन को दर्शाने के लिए किया जाता है, जबकि एक स्थिरांक का उपयोग परिवर्तन के एक स्थिर कारक और संकारक को निरूपित करने के लिए किया जाता है जो स्थिरांक और चर पर संचालित होता है।

इसे समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखते हैं।

उदाहरण

Ex 1: संख्या पैटर्न $4$, $7$, $10$, $13$, … बीजगणितीय व्यंजक का उपयोग करते हुए।

$1^{st}$ संख्या = $4$

$2^{nd}$ संख्या = $4 + 3 = 7$

$3^{rd}$ संख्या = $7 + 3 = 10$

$4^{th}$ संख्या = $10 + 3 = 13$

यहां, बदलती संख्याएं $4$, $7$, $10$, $13$, … हैं और निश्चित संख्या $3$ है, इसलिए, संख्याएं $4$, $7$, $10$, $13$, … को एक चर द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे $x$ और $3$ एक स्थिरांक।

इस प्रकार, $4$, $7$, $10$, $13$, … के लिए बीजगणितीय व्यंजक $x + 3$ है। 

Ex 2: संख्या पैटर्न $3$, $5$, $7$, $9$, … बीजगणितीय व्यंजक का उपयोग करते हुए।

$1^{st}$ संख्या = $3$

$2^{दूसरा}$ संख्या = $3 + 2 = 5$

$3^{rd}$ संख्या = $5 + 2 = 7$

$4^{वें}$ संख्या = $7 + 2 = 9$

यहां, बदलती संख्याएं $3$, $5$, $7$, $9$, … हैं और निश्चित संख्या $2$ है, इसलिए, संख्याएं $3$, $5$, $7$, $9$, … को एक चर द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे $x$ और $2$ एक स्थिरांक।

इस प्रकार, $3$, $5$, $7$, $9$, … के लिए बीजगणितीय व्यंजक $x + 2$ है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित संख्या पैटर्न के लिए बीजगणितीय व्यंजक बनाइए

• $6$, $15$, $24$, $33$, $42$, …
• $33$, $38$, $43$, $48$, $53$, …
• $76$, $72$, $68$, $64$, $60$, …
• $3$, $12$, $48$, $192$, …
• $5$, $15$, $45$, $135$, …

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

बीजगणित, शुद्ध गणित का एक हिस्सा अज्ञात मूल्यों पर आधारित अवधारणा है जिसे चर कहा जाता है। बीजगणित में प्रयुक्त भावों को बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है जो स्थिरांकों, चरों और परिचालकों जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके बनते हैं।

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