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चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं जिनका आप अध्ययन करते हैं जैसे आयत, विषमकोण, पतंग, समानांतर चतुर्भुज और समलंब। समचतुर्भुज एक प्रकार का चतुर्भुज होता है। समचतुर्भुज एक 2D आकृति है जिसमें चार समान भुजाएँ और चार समान कोण होते हैं।
आइए उदाहरण के साथ समझते हैं कि ज्यामिति में समचतुर्भुज क्या है और इसके गुण क्या हैं।
ज्यामिति में समचतुर्भुज क्या है?
समचतुर्भुज एक प्रकार का समानांतर चतुर्भुज होता है जिसमें आसन्न भुजाएँ समान होती हैं और कोणों का माप $90^{\circ}$ होता है। दूसरे शब्दों में, समचतुर्भुज एक बंद द्वि-आयामी आकार (2D आकार) है जिसकी चारों भुजाएँ समान होती हैं।
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है, जहाँ $\text{AB} = \text{BC} = \text{CD} = \text{DA}$ और $\angle \text{A } = \angle \text{B} = \angle \text{C} = \angle \text{D} = 90^{\circ}$।
समचतुर्भुज के उदाहरण
समचतुर्भुज एक बहुत ही सामान्य आकार है जिसे हम अपने दैनिक जीवन में अपने चारों ओर देखते हैं। समचतुर्भुज आकार के कुछ सामान्य उदाहरण शतरंज बोर्ड, घड़ी डायल, पिक्चर फ्रेम, पिज्जा बॉक्स, कोस्टर, कीबोर्ड की कीज़ आदि हैं।
समचतुर्भुज का विकर्ण
समचतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को मिलाने वाले रेखाखंडों को विकर्ण कहते हैं।
उपरोक्त आकार में, वर्ग $\text{ABCD}$ के दो विकर्ण $\text{AC}$ और $\text{BD}$ हैं। किसी सम चतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं, अर्थात समचतुर्भुज $\text{ABCD}$, $\text{AC} = \text{BD}$ में।
यदि हम किसी समचतुर्भुज के किनारे (या भुजा) की लंबाई जानते हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वर्ग के विकर्ण की गणना कर सकते हैं।
उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{ADB}$ $\text{A}$ पर समकोण है। समचतुर्भुज का विकर्ण $\left( \text{BD} \right)$ इसका कर्ण बनाता है।
इसलिए, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, हम $\text{Diagonal}^2 = \text{Side}^2 + \text{Side}^2 = 2\text{Side}^2$ प्राप्त करते हैं।
इसलिए, $\text{Diagonal} = \text{Side} \times \sqrt{2}$।
समचतुर्भुज के गुण
समचतुर्भुज के निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं जो आपको इसे अन्य चतुर्भुजों से पहचानने में मदद करते हैं।
- समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं
- समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं
- समचतुर्भुज के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ मापते हैं
- सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है
- समचतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं
- प्रत्येक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
- समचतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है
- समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं
- चूँकि समचतुर्भुज की भुजाएँ समानांतर होती हैं, यह एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है
समचतुर्भुज बनाम आयत
दो चतुर्भुज – समचतुर्भुज और आयत के आकार समान हैं और इनमें कुछ समानताएँ और कुछ भिन्नताएँ भी हैं। आइए समचतुर्भुज और आयत के बीच समानताओं और अंतरों को देखें।
समचतुर्भुज और आयत के बीच समानताएँ
कुछ ऐसे गुण हैं जो एक समचतुर्भुज और एक आयत में समान हैं। एक वर्ग और आयत में निम्नलिखित सामान्य गुण हैं
- एक समचतुर्भुज और एक आयत दोनों चार भुजाओं और चार शीर्षों वाले चतुर्भुज हैं
- एक समचतुर्भुज और एक आयत की विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं
- एक समचतुर्भुज और एक आयत के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप $90^{\circ}$ है
- चूँकि समचतुर्भुज और आयत दोनों चतुर्भुज हैं, एक समचतुर्भुज और एक आयत के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है
- एक समचतुर्भुज और एक आयत का विकर्ण उन्हें दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है
- चूँकि समचतुर्भुज और आयत दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, समचतुर्भुज और आयत की विपरीत भुजाएँ समान्तर होती हैं
समचतुर्भुज और आयत के बीच अंतर
| समचतुर्भुज | आयत |
| सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं | केवल विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं |
| आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं | आसन्न भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं |
| समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लम्ब समद्विभाजक होते हैं | आयत के विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक नहीं होते हैं |
समचतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है
समचतुर्भुज में, एक वर्ग के विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है और $\text{AC}$, $\text{BD}$ विकर्ण हैं।
आइए कथन के प्रमाण को समझते हैं – एक समचतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है, अर्थात $\text{AC} = \text{BD}$।
$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{BCD}$ पर विचार करें
$\text{AB} = \text{CD}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{BC} = \text{BC}$ (समान भुजा)
$\angle \text{ABC} = \angle \text{BCD}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$)
इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{BCD}$ (SAS सर्वांगसमता कसौटी)
अत: $\text{AC} = \text{BD}$ (CPCT)
प्रत्येक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
समचतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जहाँ $\text{AC}$ और $\text{BD}$ समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।
- विकर्ण $\text{AC}$ आयत $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है – $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ACD}$ और $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ACD}$
- विकर्ण $\text{BD}$ आयत $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है – $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{BCD}$ और $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{BCD}$
आइए सिद्ध करें कि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ACD}$
$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ACD}$ में
$\text{AB} = \text{CD}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{BC} = \text{DA}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{AC} = \text{AC}$ (समान भुजा)
इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ACD}$ (SSS सर्वांगसमता कसौटी)
आइए अब सिद्ध करें कि $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{BCD}$
$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{BCD}$ में
$\text{AB} = \text{CD}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{AD} = \text{BC}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{BD} = \text{BD}$ (समान भुजा)
इसलिए, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{BCD}$ (SSS सर्वांगसमता कसौटी)
समचतुर्भुज के विकर्ण $90^{\circ}$ पर एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
समचतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जहाँ $\text{AC}$ और $\text{BD}$ $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करने वाले दो विकर्ण हैं, फिर
- $\text{OA} = \text{OC}$ और $\text{OB} = \text{OD}$
- $\angle \text{AOD} = \angle \text{BOC} = 90^{\circ}$
सिद्ध करते हैं $\text{OA} = \text{OC}$ और $\text{OB} = \text{OD}$
$\triangle {AOD}$ और $\triangle {BOC}$ में
$\text{AD} = \text{BC}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\angle \text{OAD} = \angle \text{OCB}$ (एकान्तर कोण, $\text{AD} || \text{BC}$ और $\text{AC}$ एक तिर्यक रेखा है)
$\angle \text{ODA} = \angle \text{OBC}$ (एकान्तर कोण, $\text{AD} || \text{BC}$ और $\text{BD}$ एक तिर्यक रेखा है)
इसलिए, $\triangle {AOD} \cong \triangle {BOC}$ (ASA सर्वांगसमता मानदंड)
अतः, $\text{OA} = \text{OC}$ और $\text{OB} = \text{OD}$ (CPCT)
अब, सिद्ध करते हैं $\angle \text{AOD} = \angle \text{BOC} = 90^{\circ}$
$\triangle \text{AOD}$ और $\triangle \text{COD}$ पर विचार करें
$\text{AD} = \text{CD}$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$\text{OA} = \text{OC}$ (समचतुर्भुज का विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर द्विभाजित होता है)
$\text{OD} = \text{OD}$ (समान भुजा)
इसलिए, $\triangle \text{AOD} \cong \triangle \text{COD}$ (SSS सर्वांगसमता मानदंड)
इसलिए, $\angle \text{AOD} = \angle \text{COD}$ —————————————– (1)
साथ ही, $\angle \text{AOD} + \angle \text{COD} = 180^{\circ}$ (\text{AOC}$ एक सीधी रेखा है) ————— — (2)
(1) और (2) $\angle \text{AOD} + \angle \text{AOD} = 180^{\circ} => 2 \angle \text{AOD} = 180^{\circ} => \angle \text{AOD} = 90^{\circ}$
अतः, $\angle \text{AOD} = \angle \text{COD} = 90^{\circ}$
अभ्यास के लिए प्रश्न
- ज्यामिति में समचतुर्भुज क्या है?
- सही या गलत बताएं
- एक समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं
- एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं
- समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समान्तर होती हैं
- एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ समानांतर होती हैं
- समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ लम्बवत् होती हैं
- समचतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ लंबवत होती हैं
- समचतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं
- एक समचतुर्भुज के आसन्न कोण बराबर होते हैं
- समचतुर्भुज के विपरीत कोण पूरक होते हैं
- समचतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं
- समचतुर्भुज के विपरीत कोण संपूरक होते हैं
- समचतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के समानांतर होते हैं
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण असमान होते हैं
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
एक समचतुर्भुज के रूप में चतुर्भुज की पहचान कैसे करें?
चतुर्भुज जो चार समान भुजाओं से बना है, जिसके सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं, एक समचतुर्भुज है।
क्या एक समचतुर्भुज की भुजा और उसके विकर्ण की लंबाई समान होती है?
नहीं, समचतुर्भुज की भुजा और उसके विकर्ण की लंबाई समान नहीं होती है। किसी समचतुर्भुज का विकर्ण उसकी भुजा से लम्बाई में बड़ा होता है।
एक समचतुर्भुज के 5 गुण क्या हैं?
समचतुर्भुज के पाँच महत्वपूर्ण गुण हैं
a) समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं
b) एक समचतुर्भुज के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ मापते हैं
c) प्रत्येक विकर्ण वर्ग को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
d) एक समचतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है
e) एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं
समचतुर्भुज के विकर्ण के गुण क्या हैं?
समचतुर्भुज में विकर्णों के महत्वपूर्ण गुण हैं
a) प्रत्येक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है
b) एक समचतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है
c) एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं
निष्कर्ष
समचतुर्भुज एक बंद 2D आकृति है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। समचतुर्भुज के चार कोणों में से प्रत्येक का माप $90^{\circ}$ है। समचतुर्भुज में दो समान विकर्ण होते हैं जो एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
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