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समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जो समानांतर रेखाओं से घिरा होता है। यह एक 2D आकार है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर और समान होती हैं।
समानांतर चतुर्भुज तीन प्रकार के होते हैं – विषमकोण, आयत और समचतुर्भुज, और उनमें से प्रत्येक के अपने विशिष्ट गुण होते हैं।
आइए समझते हैं कि समानांतर चतुर्भुज क्या है और समानांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं।
समानांतर चतुर्भुज क्या है?
समानांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज होता है जो समानांतर रेखाओं द्वारा बनता है। समानांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर और समान होते हैं। इसलिए, समानांतर चतुर्भुज को एक चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर और बराबर होते हैं।
उपरोक्त चित्र तीन प्रकार के समानांतर चतुर्भुज दिखाता है।
- आयत
- समचतुर्भुज
- विषमकोण
समानांतर चतुर्भुज के वास्तविक जीवन के उदाहरण
जब हम अपने चारों ओर देखते हैं, तो हम इमारतों, टाइलों या कागज के रूप में कई समानांतर चतुर्भुज जैसी आकृतियाँ और वस्तुएँ देख सकते हैं।
- भवन: समानांतर चतुर्भुजों के आकार को ध्यान में रखते हुए कई भवनों का निर्माण किया जाता है। वास्तविक जीवन का एक प्रसिद्ध चित्रण हैम्बर्ग, जर्मनी में डॉकलैंड ऑफिस बिल्डिंग है।
- टाइलें: टाइलें विभिन्न आकृतियों और आकारों में आती हैं। सबसे अधिक पाई जाने वाली टाइल आकृतियों में से एक समानांतर चतुर्भुज है।
- इरेज़र: क्लासिक इरेज़र से हर कोई परिचित है। इरेज़र भी कई आकृतियों और आकारों में आते हैं, उनमें से एक समानांतर चतुर्भुज का है। इस इरेज़र के फलक समानांतर चतुर्भुज के आकार में हैं।
समानांतर चतुर्भुज के गुण
समानांतर चतुर्भुजों के मूल गुण निम्नलिखित हैं जो आपको उन्हें पहचानने में मदद करते हैं।
- समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं। यहाँ, $\text{AB} ‖ \text{CD}$ और $\text{BC} ‖ \text{DA}$।
- समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं। उपरोक्त चित्र में, $\text{AB} = \text{CD}$ और $\text{BC} = \text{DA}$।
- समानांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं। यहाँ, $\angle \text{A} = \angle \text{C}$ और $\angle \text{B} = \angle \text{D}$
- समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। यहाँ, $\text{AC} = \text{BD}$
- आसन्न कोण पूरक होते हैं। उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{A} + \angle \text{B} = 180^{\circ}$, $\angle \text{B} + \angle \text{C} = 180^{ \circ}$, $\angle \text{C} + \angle \text{D} = 180^{\circ}$ और $\angle \text{D} + \angle \text{A} = 180^{ \circ}$।
- विकर्ण समानांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। यहाँ, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{BCD}$, और $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ACD}$।
समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण
एक समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, अर्थात, एक समानांतर चतुर्भुज $ABCD$, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{BCD}$, और $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ACD}$।
आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए।
चूँकि $\text{ABCD}$ एक समानांतर चतुर्भुज है, विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, $\text{AB} = \text{CD}$ और $\text{BC} = \text{DA}$।
अब, $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{CBD}$ में
$\text{AB} = \text{CD}$ (समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)
$\text{DA} = \text{BC}$ (समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)
$\text{BD} = \text{BD}$ (समान भुजा)
अतः, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{CBD}$ (SSS सर्वांगसमता कसौटी)।
इसलिए, हम कह सकते हैं कि समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ
समानांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, अर्थात्, एक समानांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, $\text{AB} = \text{CD}$, और $\text{BC} = \text{DA}$।
आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए।
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक समानांतर चतुर्भुज है, और $\text{AC}$ विकर्णों में से एक है।
विकर्ण $\text{AC}$ समानांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है, अर्थात्, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ABC}$।
यह सिद्ध करने के लिए कि विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं, अर्थात् $\text{AB} = \text{CD}$, और $\text{BC} = \text{DA}$, हमें पहले यह सिद्ध करना होगा कि $\triangle \text {ABC} \cong \triangle \text {ABC} $
$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{CDA}$ में, $\text{BC} || \text{DA}$ और $\text{AC}$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, $\angle \text{BCA} = \angle \text{DAC}$ (एकान्तर कोणों का युग्म)
और $\text{AC} = \text{CA}$ (समान भुजा)
इस प्रकार, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{CDA}$ (ASA नियम)।
इसलिए, सांगत भाग $\text{AB} = \text{CD}$ और $\text{DA}= \text{BC}$।
समानांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण
समानांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए, अर्थात, एक समानांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$, $\angle \text{A} = \angle \text{C}$, और $\angle \text{B} = \angle \text{D}$.
उपरोक्त चित्र में, एक समानांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$, $\text{AB} || \text{CD}$ और $\text{AD} || \text {BC} $।
$\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{ADC}$ पर विचार करें
$\text{AC} = \text{AC}$ (समान भुजाएँ)
हम जानते हैं कि एकान्तर आंतरिक कोण बराबर होते हैं।
$\angle \text{BAC} = \angle \text{ACD}$
$\angle \text{BCA} = \angle \text{CAD}$
इसलिए, $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{ADC}$
इसलिए, $\angle \text{A} = \angle \text{C}$, और $\angle \text{B} = \angle \text{D}$। (CPCT)
समानांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण
समानांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण पूरक होते हैं।
आइए देखें कि उपरोक्त कथन को कैसे सिद्ध किया जाए, अर्थात, एक समानांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$, $\angle \text{A} + \angle \text{B} = 180^{\circ}$, और $\ कोण \text{C} + \angle \text{D} = 180^{\circ}$।
उपरोक्त चित्र में, $\text{AB} ∥ \text{CD}$ और $\text{AD}$ एक तिर्यक रेखा है।
हम जानते हैं कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण पूरक होते हैं।
इसलिए, $\angle \text{A} + \angle \text{D} = 180^{\circ}$
इसी प्रकार, $\angle \text{B} + \angle \text{C} = 180^{\circ}$, $\angle \text{C} + \angle \text{D} = 180^{\circ} $ और $\angle \text{A} + \angle \text{B} = 180^{\circ}$।
इसलिए, समानांतर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ के बराबर होता है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- समानांतर चतुर्भुज को परिभाषित कीजिए।
- सही या गलत बताएं
- समानांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ समान होती हैं
- एक समानांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ समानांतर होती हैं
- समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं
- समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं
- समानांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण बराबर होते हैं
- समानांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं
- समानांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं
- समानांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण पूरक होते हैं
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
ज्यामिति में समानांतर चतुर्भुज क्या है?
ज्यामिति में, एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज (4-पक्षीय 2D आकार) होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर और लंबाई में बराबर होती हैं।
क्या समानांतर चतुर्भुज के सभी कोण बराबर होते हैं?
नहीं, समानांतर चतुर्भुज के सभी कोण बराबर नहीं होते हैं। समानांतर चतुर्भुज के केवल विपरीत कोण बराबर होते हैं, जबकि समानांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, अर्थात उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
समानांतर चतुर्भुज और चतुर्भुज में क्या अंतर है?
सभी समानांतर चतुर्भुज चतुर्भुज होते हैं लेकिन सभी चतुर्भुज आवश्यक रूप से समानांतर चतुर्भुज नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, एक समलंब चतुर्भुज है, परन्तु समानांतर चतुर्भुज नहीं है। एक चतुर्भुज को समानांतर चतुर्भुज होने के लिए, सभी विपरीत भुजाएँ समानांतर और एक दूसरे के बराबर होनी चाहिए।
क्या विषमकोण एक समानांतर चतुर्भुज है?
हाँ, एक विषमकोण एक समानांतर चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं और सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं। इसके अलावा, एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं और विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
क्या समलम्ब एक समानांतर चतुर्भुज है?
नहीं, एक समलम्ब एक समानांतर चतुर्भुज नहीं है, क्योंकि समलंब की सभी विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं। एक समलंब में एक दूसरे के समानांतर विपरीत भुजाओं का केवल एक जोड़ा होता है। साथ ही, एक समलम्ब चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं। इसलिए, यह एक चतुर्भुज है परन्तु समानांतर चतुर्भुज नहीं है।
निष्कर्ष
समानांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज होता है जो समानांतर रेखाओं द्वारा बनता है। समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर और समान होते हैं। एक समानांतर चतुर्भुज में कुछ अद्वितीय गुण होते हैं जो इसे अन्य चतुर्भुजों से अलग करते हैं। समांतर चतुर्भुज तीन प्रकार के होते हैं वर्ग, आयत और समचतुर्भुज।
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