वर्ग संख्याएँ क्या हैं – अर्थ और उदाहरण

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आप एक वर्ग का क्षेत्रफल जानते हैं जो $\left(\text{side} \right) \times \left(\text{side} \right)$, होता है जहां $\text{side}$ किनारे की लंबाई (या भुजा) की लम्बाई है। उदाहरण के लिए, $4 \text{cm}$ की लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल $16 \text{cm}^{2}$ है, या $7 \text{in}$ की लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल $49 \ है टेक्स्ट{इन}^{2}$। 

संख्या $16$ या $49$ को क्रमशः $4$ और $7$ संख्याओं का वर्ग कहा जाता है।

आइए समझते हैं कि वर्ग संख्याएँ क्या हैं, आप किसी संख्या का वर्ग कैसे ज्ञात करते हैं और वर्ग संख्याओं के गुण क्या हैं।

वर्ग संख्याएँ क्या हैं?

जब किसी पूर्णांक को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणामी संख्या वर्ग संख्या कहलाती है। उदाहरण के लिए, जब आप $6$ को $6$ से गुणा करते हैं, यानी $6 \times 6$, तो आपको $36$ मिलता है। यहाँ, $36$ एक वर्ग संख्या है।

एक वर्ग संख्या हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती क्योंकि जब एक ऋणात्मक संख्या को उसी ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका परिणाम एक धनात्मक संख्या में होता है। उदाहरण के लिए, $\left(-9 \right) \times \left(-9 \right) = 81$. $-9$ एक ऋणात्मक संख्या है, जबकि इसका वर्ग $81$ एक धनात्मक संख्या है।

वर्ग संख्या लिखना

किसी संख्या $n$ के एक वर्ग को $n^{2}$ के रूप में लिखा जाता है जो कि $n\times n$ के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, किसी संख्या $8$ के वर्ग को $8^{2}$ के रूप में लिखा जाता है और इसका मान $8 \times 8 = 64$ होता है।

इसी तरह, एक संख्या $15$ के वर्ग को $15^{2}$ के रूप में लिखा जाता है और इसका मान $15 \times 15 = 225$ होता है।

किसी संख्या का वर्ग कैसे ज्ञात करें?

यदि आपको वर्गों और वर्गमूलों के अंतर में कुछ संदेह है, तो ध्यान रखें कि किसी संख्या का वर्ग करना उतना ही सरल है जितना कि इसे अपने आप से गुणा करना। इस कारण से, यह जानना महत्वपूर्ण है कि एकल अंकों के साथ-साथ बड़ी संख्याओं को कैसे गुणा किया जाए। भिन्नों का वर्ग करने के लिए अंश और हर दोनों के वर्ग ज्ञात कीजिए। फिर परिणाम को कम या सरल करें।

संख्याओं का वर्ग प्राप्त करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है।

1 से 10 तक की संख्याओं का वर्ग

जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो आप केवल उस संख्या को स्वयं से गुणा करते हैं, इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि गुणा कैसे किया जाता है। उदाहरण के लिए, $4$ का वर्ग $4^{2} = 4 \times 4 = 16$ है। आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले एकल अंकों को वर्ग बनाना आसान बनाने के लिए, मूल गुणन सारणी को याद करने का प्रयास करें।

बड़ी संख्याओं का वर्ग

बड़ी संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने की मूल प्रक्रिया भी वही रहती है, अर्थात् संख्या को स्वयं से गुणा करना। बड़ी संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए आप कुछ तरकीबों या संख्याओं के गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

विधि 1: संख्या को स्वयं से गुणा करना

इस पद्धति में, संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है और परिणामी गुणनफल हमें उस संख्या का वर्ग देता है। उदाहरण के लिए, $12^{2} का वर्ग = 12 \times 12 = 144$। यहां, परिणामी गुणनफल $144$ हमें संख्या का वर्ग देता है $12$ यह विधि छोटी संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करती है।

विधि 2: मूल बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग करना

जब संख्याएँ बड़ी हों, तो आप किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ सहायक दो बीजगणितीय व्यंजक हैं:

• $\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
• $\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$

उदाहरण

आइए इन व्यंजकों का उपयोग करके संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: $43$ का वर्ग

$43$ का वर्ग $43^{2} = \left(40 + 3\right)^{2}$ . है

ध्यान दें कि $ \left(40 + 3\right)^{2}$ $\left(a + b\right)^{2}$ के रूप में है, जहां $a = 40$ और $b = 3$।

इसलिए, $ \left(40 + 3\right)^{2}= 40^{2} + 2 \times 40 \times 3 + 3^{2} = 40 \times 40 + 240 + 3 \times 3 = 1600 + 240 + 9 = 1849$ हो जाता है

$43$ के वर्ग की गणना $\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$ व्यंजक का उपयोग करके भी की जा सकती है।

$43^{2}$ को $\left(50 – 7 \right)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $a = 50$ और $b = 7$।

इसलिए, $\left(50 – 7 \right)^{2} = 50^{2} – 2 \times 50 \times 7 + 7^{2} = 50 \times 50 – 700 + 7 \times 7 = 2500 – 700 + 49 = 1849$।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि $49$ का वर्ग, यानी, $49^{2}$ दोनों में से किसी भी विधि का उपयोग करके $1849$ है।

वर्ग संख्या पैटर्न

संख्याओं के वर्ग दिलचस्प पैटर्न का अनुसरण करते हैं। आइए संख्याओं के वर्गों द्वारा अनुसरण किए जाने वाले पैटर्न्स को देखें।

त्रिकोणीय संख्या का जोड़

त्रिकोणीय संख्या अनुक्रम एक श्रृंखला या अनुक्रम में व्यवस्थित समबाहु त्रिभुज के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व है। ये संख्याएँ $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, $36$, $45$, आदि के क्रम में होती हैं। त्रिकोणीय पैटर्न में संख्याओं को डॉट्स द्वारा दर्शाया जाता है। पिछली संख्या का योग और अगली संख्या का क्रम त्रिभुज संख्याओं के अनुक्रम में परिणत होता है।

यदि आप कोई दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याएँ जोड़ते हैं, तो आपको एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है।

$1 + 3 = 4$ एक वर्ग संख्या है।

$3 + 6 = 9$ एक वर्ग संख्या है।

$6 + 10 = 16$ एक वर्ग संख्या है।

वर्ग संख्याओं के बीच की संख्या

आइए इस मामले में अनुसरण किए गए पैटर्न को देखें।

$1^{2} \left(= 1 \right)$ और $2^{2} \left(= 4 \right)$ के बीच की संख्या $2$ और $3$ (संख्या में $2$) हैं

$2^{2} \left(= 4 \right)$ और $3^{2} \left(= 9 \right)$ के बीच की संख्या $5$, $6$, $7$ और $8$ (($4$ संख्या में) हैं )

$3^{2} \left(= 9 \right)$ और $4^{2} \left(= 16 \right)$ के बीच की संख्या $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, और $15$ हैं ($6$ संख्या में)

$4^{2} \left(= 16 \right)$ और $5^{2} \left(= 25 \right)$ के बीच की संख्या $17$, $18$, $19$, $20$, $21$, $22$ हैं, $23$, और $24$ (संख्या में $8$)

आपने क्या देखा?

दो क्रमागत वर्ग संख्याओं के बीच गैर-वर्ग संख्याओं की संख्या $2$, $4$, $6$, $8$,… ये सभी संख्याएँ सम संख्याएँ हैं और $n$ के रूप में लिखी जा सकती हैं, जहाँ $n$ एक धनात्मक है पूर्णांक।

इसलिए, $n^{2}$ और $\left(n + 1 \right)^{2}$ के बीच गैर-वर्ग संख्याओं की संख्या $2n$ है।

आप इसे बीजगणितीय रूप से भी देख सकते हैं।

$\left(n + 1 \right)^{2} – n^{2} = n^{2} + 2n + 1 – n^{2} = 2n + 1$।

इसलिए, $\left(n + 1 \right)^{2}$ और $n^{2}$ के बीच की संख्या $2n + 1 – 1 = 2n$ है।

नोट: किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के बीच की संख्याओं की संख्या हमेशा $b – a – 1$ के बराबर होती है।

क्रमागत विषम संख्याओं का योग

विषम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $2$ से विभाज्य नहीं होती हैं, अर्थात, वे संख्याएँ जो $2$ से विभाजित करने पर शेष $1$ छोड़ती हैं।

पहली कुछ विषम संख्याएँ हैं $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, $17$, $19$, $21$,…

क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग

आइए फिर से $3$ से $9$ तक $9 = 3^{2}$, $25 = 5^{2}$, $49 = 7^{2}$, $81 = 9^{2}$ से शुरू होने वाली विषम संख्याओं के पहले कुछ वर्गों पर विचार करें।

अब, पैटर्न का निरीक्षण करें।

$9 = 4 + 5 = 3^{2} => 3^{2} = \frac{3^{2} – 1}{2} + \frac{3^{2} + 1}{2}$

$25 = 12 + 13 = 5^{2} = \frac{5^{2} – 1}{2} + \frac{5^{2} + 1}{2}$

$49 = 24 + 25 = 7^{2} = \frac{7^{2} – 1}{2} + \frac{7^{2} + 1}{2}$

$81 = 40 + 41 = 9^{2} = \frac{9^{2} – 1}{2} + \frac{9^{2} + 1}{2}$

दो क्रमागत सम या विषम प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल

सम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $2$ से विभाज्य होती हैं, अर्थात, वे संख्याएँ जो $2$ से विभाजित होने पर शेषफल $0$ छोड़ती हैं।

पहली कुछ सम संख्याएँ $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $16$, $18$, $20$, $22$,…

आइए दो क्रमागत सम प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल देखें।

$2 \times 4 = \left(3 – 1 \right) \left( 3 + 1\right) = 8 = 9 – 1 = 3^{2} – 1$

$4 \times 6 = \left(5 – 1 \right) \left( 5 + 1\right) = 24 = 25 – 1 = 5^{2} – 1$

$6 \times 8 = \left(7 – 1 \right) \left( 7 + 1\right) = 48 = 49 – 1 = 7^{2} – 1$

$8 \times 10 = \left(9 – 1 \right) \left( 9 + 1\right) = 80 = 81 – 1 = 9^{2} – 1$

पहली कुछ विषम संख्याएँ हैं $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, $17$, $19$, $21$, …

आइए दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को देखें।

$1 \times 3 = \left(2 – 1 \right) \left( 2 + 1\right) = 3 = 4 – 1 = 2^{2} – 1$

$3 \times 5 = \left(4 – 1 \right) \left( 4 + 1\right) = 15 = 16 – 1 = 4^{2} – 1$

$5 \times 7 = \left(6 – 1 \right) \left( 6 + 1\right) = 35 = 36 – 1 = 6^{2} – 1$

$7 \times 9 = \left(7 – 1 \right) \left( 7 + 1\right) = 63 = 64 – 1 = 8^{2} – 1$

इस प्रकार, हम देखते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$, $\left(n – 1 \right) \left(n + 1 \right) = n^{2} – 1$.

आप इसे बीजगणितीय रूप से भी सत्यापित कर सकते हैं।

$\left(n – 1 \right) \left(n + 1 \right) = n\left(n + 1 \right) – 1\left(n + 1 \right) = n^{2} + n – n – 1  = n^{2} – 1$.

वर्ग संख्याओं के गुण

वर्ग संख्याएँ निम्नलिखित गुण प्रदर्शित करती हैं:

गुण 1: वर्ग संख्या हमेशा $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ और $9$ अंकों के साथ समाप्त होगी। उदाहरण के लिए $9$,$64$, $25$, $81$, और $100$ पूर्ण वर्ग हैं जबकि $17$, $22$, $83$ जैसी संख्याएं पूर्ण संख्याएं नहीं हैं।

गुण 2: एक वर्ग संख्या में अंत में हमेशा एक सम संख्या होती है और विषम संख्या वाले शून्यों वाली संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, $1600$, $3600$, और $2500$ वर्ग संख्याएं जबकि $1000$, $250$, और $160$ वर्ग संख्याएं नहीं हैं।

गुण 3: अंतिम अंक के रूप में $1$ या $9$ वाली एक संख्या के वर्ग संख्या के अंत में हमेशा $1$ होगा। उदाहरण के लिए, $9$ की वर्ग संख्या $81$ है और $11$ $121$ है।

गुण 4: एक संख्या जिसमें अंतिम अंक के रूप में $4$ या $6$ है, उसकी वर्ग संख्या $6$ से समाप्त होगी। उदाहरण के लिए, $4$ का वर्गमूल $16$ है और $16$ का वर्ग $256$ है।

गुण 5: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है और सम संख्या का वर्ग हमेशा कारण होता है। उदाहरण के लिए, $13$ का वर्ग $169$ है और $12$ का वर्ग $144$ है।

गुण 6: वर्ग संख्या एक धनात्मक है क्योंकि दो ऋणात्मक चिह्नों को एक दूसरे से गुणा करने पर धनात्मक चिह्न प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए $-7\times \left(-7 \right) = 49$।

गुण 7: एक वर्ग संख्या का वर्गमूल एक पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $441$ का वर्गमूल $21$ है इसलिए आपका $441$ एक वर्ग संख्या है। यदि किसी संख्या का वर्ग भिन्न संख्या का दशमलव है तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती है। उदाहरण के लिए, $\sqrt{56} = 7.48$, इसलिए आपका $56$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

गुण 8: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$  के लिए, $\left(n + 1 \right)^{2} – n^{2} = \left(n + 1 \right)+n$।

गुण 9: पहली $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग एक संख्या $n$ के वर्ग के बराबर होता है।

गुण 10: किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $m \gt 1$, $\left(2m, m^{2} – 1, m^{2} + 1 \right)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

पूर्ण वर्ग

पूर्ण वर्ग एक सकारात्मक पूर्णांक है जो एक पूर्णांक को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। सरल शब्दों में, हम कह सकते हैं कि पूर्ण वर्ग वे संख्याएँ हैं जो स्वयं पूर्णांकों के गुणनफल हैं। आम तौर पर, हम एक पूर्ण वर्ग को $x^{2}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां $x$ एक पूर्णांक है और $x^{2}$ का मान एक पूर्ण वर्ग है।

आइए पूर्ण वर्ग संख्याओं के बाद पैटर्न का विश्लेषण करें। हम $4$ कंचों के साथ एक वर्ग बना सकते हैं जैसे कि $ 2$ पंक्तियाँ हों, प्रत्येक पंक्ति में $ 2$ कंचे हों। इसी तरह, हम $9$ कंचों के साथ एक वर्ग बना सकते हैं जैसे कि $ 3$ पंक्तियाँ हों, प्रत्येक पंक्ति में $3$ कंचे हों। और, हम $16$ कंचों के साथ एक वर्ग बना सकते हैं जैसे कि $4$ पंक्तियाँ हों, प्रत्येक पंक्ति में $4$ कंचे हों।

अब, यदि हम एक पूर्ण वर्ग की परिभाषा को देखें, तो यह बताती है, “एक पूर्ण वर्ग एक संख्या है जो एक पूर्णांक का वर्ग करके प्राप्त की जाती है।”

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. बीजगणितीय व्यंजक विधि का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए।

• $14$
• $23$
• $58$
• $79$

2. $0$ से $9$ तक का कौन सा अंक एक पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई स्थान हो सकता है?
3. निम्नलिखित में से कौनसा सही है?
   • क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है
   • क्रमागत विषम संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है
   • क्रमागत सम संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है
   • क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है
4. $n^{2}$ और $\left(n + 1 \right)^{2}$ के बीच गैर-वर्ग संख्याओं की संख्या है 

• $2n + 1$
• $2n$
• $2n – 1$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

जब किसी पूर्णांक को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणामी संख्या को वर्ग संख्या के रूप में जाना जाता है। एक पूर्ण वर्ग एक सकारात्मक पूर्णांक है जो एक पूर्णांक को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक वर्ग संख्या को पूर्ण वर्ग संख्या भी कहते हैं। वर्ग संख्याएँ बहुत ही रोचक पैटर्न प्रदर्शित करती हैं।

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