बहुपद क्या हैं? (परिभाषा, प्रकार और उदाहरण)

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आप जानते हैं कि बीजगणितीय व्यंजक गणितीय कथन होते हैं जिनमें चर, स्थिरांक और संक्रियाएँ होते हैं। आप इन बीजगणितीय व्यंजकों पर चार गणितीय संक्रियाएँ – योग, व्यवकलन, गुणन और भाग कर सकते हैं।

बहुपद विशेष प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनका उपयोग गणित के लगभग हर क्षेत्र में संख्याओं को व्यक्त करने के लिए किया जाता है और गणित की कुछ शाखाओं जैसे कैलकुलस में बहुत महत्वपूर्ण माने जाते हैं। उदाहरण के लिए, $3x – 5$, $2x^{2} – 3x + 7$, $\frac{2}{9}u^{2} – 4$ बहुपद हैं। आइए समझते हैं कि बहुपद क्या हैं, और उनके विभिन्न प्रकार और गुण क्या हैं।

एक चर वाले बहुपद क्या हैं?

एक चर वाले बहुपद एक प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक हैं जिनमें $a x^{n}$ के रूप की पद शामिल होते हैं, जहां $a$ एक वास्तविक संख्या है, $x$ एक चर है और $n$ एक घनात्मक पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए। किसी भी बहुपद में चरों के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए। किसी भी बहुपद में स्थिरांक और चर होते हैं।

उदाहरण के लिए, बहुपद $2x + 9$ में, चर $x$  है, जहां $2$ एक गुणांक है और $9$ एक स्थिरांक है, जो दोनों वास्तविक संख्याएं हैं। $x$ की घात $1$ है, जो एक घनात्मक पूर्णांक है।

इसी प्रकार, $5x^{3} + 7x^{2} – 2x + 8$ के सन्दर्भ में, चर $x$ है, गुणांक $5$, $7$, $-2$ सभी वास्तविक संख्याएं हैं, स्थिरांक पद $8$  भी एक वास्तविक संख्या है और चर $x$ की घात, अर्थात, $3$, $2$ और $1$ सभी घनात्मक पूर्णांक हैं।

एक चर वाले बहुपद का मानक रूप

बहुपद का मानक रूप चर की अवरोही घात में बहुपद लिखने को संदर्भित करता है। बहुपद का सामान्य तरीका या मानक रूप $a_{n}x^{n} + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + a_ है {n – 3}x^{n – 3} + … + a_{1}x + a_{0}$ है, जहां

• $a_{n}$, $a_{n – 1}$, $a_{n – 2}$, $a_{n – 3}$, …, $a_{1}$ गुणांक कहलाते हैं और ये सभी वास्तविक संख्याएँ हैं
• $a_{0}$ एक स्थिरांक है और एक वास्तविक संख्या है
• $n$ एक घनात्मक पूर्णांक है

नोट: किसी भी पद के चर की घात ऋणात्मक संख्या या भिन्नात्मक या दशमलव संख्या नहीं हो सकती।

बहुपद लिखने की पद्धति

एक बहुपद को कोष्ठक में चर के बाद एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $p \left(x \right) = x^{2} – 5x + 9$, $q \left(x \right) = 7x – 2$, $r \left(t \right) = \frac{3}{2} t^{3} – 5t + 7$, आदि।

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित में से कौन-से व्यंजक बहुपद हैं?

• $2x^{2} – 5x + 9$
• $t^{2} + \sqrt{3}$
• $3\sqrt{y} + y \sqrt{2}$
• $5x – \frac{5}{y}$
• $3s^{2} – 0.5s + 12$
• $x^{0.5} – 2x + 7$

$2x^{2} – 5x + 9$ एक चर $x$ वाला बहुपद है, जहां गुणांक $2$ और $-5$ वास्तविक संख्याएं हैं, स्थिरांक $9$ एक वास्तविक संख्या है और चर की घात $2$ और $1$ घनात्मक पूर्णांक हैं।

$t^{2} + \sqrt{3}$ एक चर $t$ वाला बहुपद है, जहां गुणांक $1$ एक वास्तविक संख्या है, स्थिरांक $\sqrt{3}$ एक वास्तविक संख्या है और इसकी चर की घात $2$ एक घनात्मक पूर्णांक है।

$3\sqrt{y} + y \sqrt{2}$ बहुपद नहीं है। हालांकि गुणांक $3$ एक वास्तविक संख्या है परन्तु चर $y$ की घात $\frac{1}{2}$ है जो एक घनात्मक पूर्णांक नहीं है।

नोट: $\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} = y^{0.5}$

$5x – \frac{5}{x}$ बहुपद नहीं है। हालांकि गुणांक $5$ एक वास्तविक संख्या है लेकिन चर $x$ की घात $-1$ है जो एक घनात्मक  पूर्णांक नहीं है।

नोट: $\frac{5}{x} = 5 x^{-1}$

$3s^{2} – 0.5s + 12$ एक चर $s$ वाला बहुपद है, जहां गुणांक $3$ और $-0.5$ वास्तविक संख्याएं हैं, स्थिरांक $12$ एक वास्तविक संख्या है और चर की घात $2$ एक घनात्मक पूर्णांक है।

$x^{0.5} – 2x + 7$ बहुपद नहीं है। हालांकि गुणांक $1$ और $-2$ वास्तविक संख्या हैं और स्थिरांक $7$ भी एक वास्तविक संख्या है परन्तु चर $x$ की घात $0.5$ है जो एक घनात्मक पूर्णांक नहीं है।

बहुपद के पद

गणितीय संक्रियाओं “$+$” या “$-$” द्वारा पृथक किए गए बहुपद के छोटे भागों को बहुपद के पद कहा जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद व्यंजक $9x^{3} – 3x^{2} + 2x – 7$ में चार पद हैं। बहुपद के चार पद $9x^{3}$, $- 3x^{2}$, $2x$, और $- 7$ हैं।

समान और असमान पद

समान चर और समान घात वाले पद समान पद कहलाते हैं और वे पद जिनके भिन्न चर और/या भिन्न घात होते हैं, असमान पद कहलाते हैं। इसलिए, यदि एक बहुपद में दो चर हैं, तो किसी एक चर की सभी समान घातों को समान पद के रूप में जाना जाएगा।

उदाहरण के लिए, $2x$ और $7x$ समान पद हैं। जबकि, $3y^{4}$ और $4x^{5}$ असमान पद हैं।

नोट:

• दो पदों को तभी जोड़ा या घटाया जा सकता है जब दो पद समान पद हों।
• दो शब्दों को दोनों मामलों में गुणा या विभाजित किया जा सकता है, अर्थात, समान या असमान

बहुपद की घात

बहुपद में चर के उच्चतम या सबसे बड़े घातांक को बहुपद की घात के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए

बहुपद $p \left(x \right) = 2x – 5$ की घात $1$ है

बहुपद $q \left(x \right) = \frac{3}{5}x^{2} – 2x + 7$ की घात $2$ है

बहुपद $p \left(x \right) = 2x – 5$ की घात $1$ है

बहुपद $p \left(x \right) = 2x – 5$ की घात $1$ है  

उदाहरण

Ex 1: बहुपद $p \left(m \right) = 3m^{4} – 5m^{2} + 6m + 4$ की घात ज्ञात कीजिए।

बहुपद $p \left(m \right)$ में चर की उच्चतम घात $4$ है, इसलिए, बहुपद $p \left(m \right)$ की घात $4$ है।

Ex 2: बहुपद $p \left(x \right) = \frac {3}{7} x + 9$ की घात ज्ञात कीजिए।

बहुपद $p \left(x \right)$ में चर की उच्चतम घात $1$ है, इसलिए, बहुपद $p \left(x \right)$ की घात $1$ है।

Ex 3: बहुपद $p \left(x \right) = 12$ की घात ज्ञात कीजिए।

बहुपद $p \left(x \right)$ में केवल एक पद है और यह बिना चर वाला एक स्थिरांक है। इसलिए, बहुपद $p \left(x \right)$ की घात $0$ है।

बहुपद के प्रकार

बहुपदों को निम्नलिखित तरीकों में से किसी एक में वर्गीकृत किया गया है।

• बहुपद के पदों की संख्या के आधार पर
• बहुपद की घात के आधार पर

पदों की संख्या के आधार पर बहुपदों के प्रकार

बहुपद के पदों की संख्या के आधार पर, यह हो सकता है

• एकपदी: एकपदी वे बहुपद होते हैं जिनमें केवल एक पद होता है। उदाहरण के लिए $2x$, $3y$, $5x{^3}$ सभी एकपदी हैं।
• द्विपद: द्विपद वे बहुपद होते हैं जिनमें दो पद होते हैं। उदाहरण के लिए $5x^{2} + 7$, $3x^{3} + 9$, $5x{^5} – 11$ सभी द्विपद हैं।
• त्रिपद: त्रिपद तीन पदों वाले बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए $x^{2} – 2x + 1$, $5x^{3} + 7x^{2} + 9$ सभी त्रिपद हैं।

बहुपद की घात के आधार पर बहुपदों के प्रकार

बहुपद की घात के आधार पर, बहुपदों को पाँच प्रमुख प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• शून्य बहुपद: एक बहुपद को शून्य बहुपद कहा जाता है यदि इसमें केवल एक पद होता है और वह शून्य ($0$) है।
• स्थिरांक बहुपद (Constant Polynomial): जिस बहुपद में केवल एक ही पद होता है जिसमें एक स्थिरांक या एक संख्या होती है, उसे स्थिरांक बहुपद कहते हैं। सभी संख्याएँ स्थिरांक बहुपद हैं। स्थिरांक बहुपद के उदाहरण $5$, $-9$, $\frac {7}{9}$, आदि हैं।
• रैखिक बहुपद: जिस बहुपद की घात $1$ होती है, उसे रैखिक बहुपद कहते हैं। जब ऐसे बहुपद का आलेखन किया जाता है तो हमें एक सरल रेखा प्राप्त होती है। यही कारण है कि हम ऐसे बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। इन बहुपदों को घात-$1$ बहुपद भी कहा जाता है।
• द्विघात बहुपद: जिस बहुपद की घात $2$ होती है, उसे द्विघात बहुपद कहते हैं। जब ऐसे बहुपद का रेखांकन किया जाता है तो हमें एक परवलय प्राप्त होता है। इन बहुपदों को घात-$2$ बहुपद भी कहा जाता है।
• त्रिघात बहुपद: बहुपद जिसकी घात $3$ है, त्रिघात बहुपद कहलाता है। इन बहुपदों को घात-$3$ बहुपद भी कहा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: दिए गए बहुपदों को एकपदी, द्विपद, या त्रिपद के रूप में वर्गीकृत करें। यह भी ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सा स्थिरांक और शून्य बहुपद है।

$2x^{3} + 3x^{2} + 2$, $6x + 7$, $92$, $2x^2 + 5x + 3$, $7x$, $-\frac{1}{2} x ^{2} + 11$, $0$, $\frac{x}{2}$

$2x^{3} + 3x^{2} + 2$ में $3$ पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपद है।

$6x + 7$ में $2$ पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

$92$ में केवल एक पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

$2x^2 + 5x + 3$ में $3$ पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपद है।

$7x$ में केवल $1$ पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

$-\frac{1}{2} x^{2} + 11$ में केवल $1$ पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

$0$ में केवल $1$ पद है और वह $0$ है, इसलिए यह एक शून्य बहुपद है।

$\frac{x}{2}$ में केवल $1$ पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

बहुपद की विशेषताएँ

एक बहुपद गणितीय संक्रियाओं “$ + $”, या “$ – $” से जुड़ा एक बीजगणितीय व्यंजक है। बहुपद के प्रकार और की गई संक्रिया के आधार पर बहुपद के विभिन्न गुण होते हैं। बहुपदों के कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएँ हैं

विशेषता 1: यदि $p(x)$ और $q(x)$ दो दिए गए बहुपद हैं, तो,

$ \text{deg} ⁡(p(x) \pm q(x) ) \le \text{max}(\text{deg}⁡ (p(x)), \text{deg}(⁡q(x) )))$, समानता के साथ अगर $ \text{deg }⁡ p(x) \ne \text{deg } q(x)⁡$ 

$\text{deg }⁡(p(x)⋅q(x)) = \text{deg⁡ }p(x) + \text{deg⁡ }q(x)$

विशेषता 2: $a(x) = b(x)q(x) + r(x)$ और $\text{deg } r(x) \lt \text{deg } b(x)$, जहाँ $a(x)$ और $b(x) \ne 0$, और $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (अवशेष) हैं

विशेषता 3 (बेज़ाउट की प्रमेय): बहुपद $p(x)$ द्विपद $x – a$ से विभाज्य है, यदि और केवल $p(a) = 0$। इसे गुणनखंड प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

विशेषता 4: यदि बहुपद $p(x)$ एक अन्य बहुपद $q(x)$ से विभाज्य है, तो $q(x)$ का प्रत्येक शून्यांक भी $p(x)$ का शून्यांक है।

विशेषता 5: बहुपद $p(x)$ घात $n \gt 0$ के रूप का एक अनूठा प्रतिनिधित्व है $p(x) = k(x – x_1)(x – x_2)…(x – x_n) $, जहां $k \ne 0$ और $x_1$,…,$x_n$ समिश्र संख्याएं हैं, आवश्यक नहीं कि अलग हों।

इसलिए, $p(x)$ में अधिक से अधिक डिग्री $⁡p(x) = n$ विभिन्न शून्य हैं।

विशेषता 6: $n^{th}$ घात के बहुपद में उनकी बहुलताओं के साथ बिल्कुल n समिश्र/वास्तविक मूल होते हैं।

विशेषता 7: यदि एक बहुपद $p(x)$ दो कोप्राइम बहुपदों $q(x)$ और $r(x)$ से विभाज्य है, तो यह $q(x)⋅r(x)$ से विभाज्य है।

विशेषता 8: यदि $\beta$ एक वास्तविक बहुपद $p(x)$ का एक समिश्र शून्यांक है, तो $\overline{\beta}$ ($\beta$ का समिश्र संयुग्म) भी शून्यांक है।

विशेषता 9: एक वास्तविक बहुपद $p(x)$ के रूप का अद्वितीय गुणनखंड है, $p(x) = (x – r_1)…(x – r_k)(x_2 – p_1x + q_1)…(x_2 – p_1x + q_1)$, जहां $r_i$ और $p_j$, $q_j$ $p_i^2 \lt 4q_i$ और $k + 2l = n$ वास्तविक संख्याएं हैं।

शेषता 10 (शेषफल प्रमेय): जब एक बहुपद $p(x)$ को $(x – a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. इनमें से कौन सा बहुपद हैं: $2x – 6$, $\frac{7x^2 + 3x – 2}{5}$, $2x^{0.5} – 7x$, $x + \frac{1}{x}$, $x^3 – 2x^2 + 5x + 11$, $\sqrt{x} + 4$
2. दिए गए बहुपदों की घात ज्ञात करें: $2x^2 + 9x + 7$, $3x^6$, $6x – 9$, $5$, $0$
3. सही या गलत बताएं
   • आप दो समान पद जोड़ सकते हैं।
   • आप दो आसमान पद जोड़ सकते हैं।
   • आप दो समान पदों को घटा सकते हैं।
   • आप दो असमान पदों को घटा सकते हैं।
   • आप दो समान पदों का गुणा कर सकते हैं।
   • आप दो असमान पदों का गुणा कर सकते हैं।
   • आप दो समान पदों को विभाजित कर सकते हैं।
   • आप दो असमान पदों को विभाजित कर सकते हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

$a_{n}x^{n} + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + a_{n – 3 }x^{n – 3} + … + a_{1}x + a_{0}$, जहां $a_{n}$, $a_{n – 1}$, $a_{n – 2}$, … , $a_{0}$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे बहुपद कहा जाता है। चर की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहा जाता है। घात के आधार पर, एक बहुपद रैखिक, द्विघात, या त्रिघात हो सकता है, और बहुपद में पदों की संख्या के आधार पर, यह एकपदी, द्विपद, या त्रिपद हो सकता है।

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