ज्यामिति में समानांतर रेखाएँ क्या हैं – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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ज्यामिति में, आप विभिन्न प्रकार की रेखाओं का अध्ययन करते हैं जैसे कि प्रतिच्छेदी रेखाएँ, अप्रतिच्छेदी रेखाएँ, समवर्ती रेखाएँ, लंब रेखाएँ, अर्ध रेखाएँ आदि। समानांतर रेखाएँ ज्यामिति में एक ऐसी रेखा होती हैं जिसका कई अन्य विषयों में अनुप्रयोग होता है।

आइए ज्यामिति में समांतर रेखाएँ क्या होती हैं और उनके गुणों को उदाहरण सहित समझते हैं।

ज्यामिति में समानांतर रेखाएँ क्या हैं?

दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं जब वे किसी तल में किसी बिंदु पर नहीं मिलती हैं। समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता है और वे कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। समानांतर रेखाओं को दर्शाने का प्रतीक ‘||’ है।

दो समानांतर रेखाओं को $\overleftrightarrow{\text{AB}} || \overleftrightarrow{\text{CD}}$ के रूप में दर्शाया गया है।  

इसका अर्थ है कि रेखा AB, CD के समान्तर है।

दो समान्तर रेखाओं के बीच की लम्बवत् दूरी सदैव स्थिर रहती है।

उपरोक्त चित्र में, $\overleftrightarrow{\text{AB}}$ और $\overleftrightarrow{\text{CD}}$ दो समानांतर रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं क्योंकि उनके पास दिए गए समतल में कोई सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। हम दिए गए तल में $\overleftrightarrow{\text{AB}}$ और $\overleftrightarrow{\text{CD}}$ की अनंत समानांतर रेखाएँ खींच सकते हैं।

समानांतर रेखाओं के गुण

समानांतर रेखाओं के मूल गुण निम्नलिखित हैं जो उन्हें पहचानने में मदद करते हैं।

• समानांतर रेखाएँ वे सीधी रेखाएँ होती हैं जो एक दूसरे से हमेशा समान दूरी पर होती हैं।
• समानांतर रेखाएँ कभी भी नहीं मिलती हैं, चाहे उन्हें किसी भी दिशा में कितना ही क्यों न बढ़ाया जाए।

तिर्यक रेखा क्या है?

तिर्यक रेखा को एक रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ज्यामिति में दो अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही समतल में दो रेखाओं से होकर गुजरती है। दो रेखाओं के साथ एक तिर्यक विभिन्न प्रकार के कोणों का निर्माण करती है, जैसे आंतरिक कोण, संगत कोण और अन्तः कोण।

रेखाओं के युग्म (समानांतर रेखाएँ या प्रतिच्छेदी रेखाएँ) के लिए एक तिर्यक रेखा आठ कोण बनाती है जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

समानांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

जब किन्हीं दो समानांतर रेखाओं को एक अन्य रेखा जिसे तिर्यक रेखा कहते हैं, प्रतिच्छेद करती है, तो अनेक कोणों के युग्म बनते हैं। जबकि कुछ कोण सर्वांगसम (बराबर) हैं, अन्य पूरक होते हैं।

निम्नलिखित समानांतर रेखाओं $l_1$ और $l_2$ पर विचार करें जो एक तिर्यक रेखा $t$ द्वारा काटे गए हैं। ऐसी स्थिति में दो समांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा से आठ कोण बनते हैं।

उपरोक्त आकृति में, कोणों के निम्नलिखित जोड़े मौजूद हैं

• शीर्षाभिमुख कोण: शीर्षाभिमुख कोण तब बनते हैं जब दो सीधी रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं और माप में बराबर होती हैं। यहाँ, शीर्षाभिमुख कोणों के युग्म हैं $\angle 1$ & $\angle 3$, $\angle 2$ & $\angle 4$, $\angle 5$ & $\angle 7$, और $\angle 6 $ और $\angle 8$
• संगत कोणः संगत कोण तिर्यक रेखा के एक ही ओर बनते हैं। यहाँ, संगत कोणों के युग्म हैं $\angle 1$ & $\angle 5$, $\angle 2$ & $\angle 6$, $\angle 3$ & $\angle 7$, और $\angle 4$ और $ \angle 8 $
• तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण: तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण या सह-आंतरिक कोण अनुप्रस्थ के अंदर बनते हैं। यहाँ, तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों के युग्म हैं $\angle 3$ & $\angle 6$, $\angle 4$ & $\angle 5$
• एकांतर अंतः कोण: एकांतर अंतः कोण दो समानांतर रेखाओं के अंदर बनते हैं जो एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होते हैं। यहाँ, एकांतर अंतः कोण के युग्म हैं $\angle 3$ & $\angle 5$, $\angle 4$ & $\angle 6$
• एकांतर बाह्य कोण: तिर्यक रेखा के दोनों ओर एकांतर बाह्य कोण बनते हैं। यहाँ, वैकल्पिक बाहरी कोणों के युग्म हैं $\angle 1$ & $\angle 7$, $\angle 2$ & $\angle 8$

समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा के गुण

यदि एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, तो प्रत्येक बिंदु पर चार कोण बनते हैं। तिर्यक रेखाओं के संबंध में समांतर रेखाओं के निम्नलिखित गुण हैं।

• संगत कोण बराबर होते हैं।
• शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
• एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।
• एकांतर बाह्य कोण बराबर होते हैं।
• तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का युग्म संपूरक होता है।

आइए फिर से उपरोक्त चित्र पर विचार करें।

उपरोक्त चित्र में,

• $\angle 1$ & $\angle 3$, $\angle 2$ & $\angle 4$, $\angle 5$ और $\angle 7$, और $\angle 6$ और $\angle 8$ शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए, $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$, $\angle 5 = \angle 7$, और $\angle 6 = \angle 8$
• $\angle 1$ और $\angle 5$, $\angle 2$ और $\angle 6$, $\angle 3$ और $\angle 7$, और $\angle 4$ और $\angle 8$ संगत हैं कोण, इसलिए, $\angle 1 = \angle 5$, $\angle 2 = \angle 6$, $\angle 3 = \angle 7$, और $\angle 4 = \angle 8$
• $\angle 3$ & $\angle 6$ and $\angle 4$ & $\angle 5$ तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के आंतरिक कोण हैं, इसलिए, $\angle 3 + \angle 6 = 180^{\circ }$, $\angle 4 + \angle 5 = 180^{\circ}$
• $\angle 3$ & $\angle 5$ और $\angle 4$ & $\angle 6$ आंतरिक एकांतर कोण हैं, इसलिए, $\angle 3 = \angle 5$, $\angle 4 = \angle 6$
• $\angle 1$ & $\angle 7$ और $\angle 2$ & $\angle 8$ एकांतर बाह्य कोण हैं, इसलिए, $\angle 1 + \angle 7 = 180^{\circ}$ और $\angle 2 + \angle 8 = 180^{\circ}$

आप कैसे ज्ञात करेंगे कि रेखाएँ समानांतर हैं?

यह जाँचने के लिए कि दी गई दो रेखाएँ समानांतर हैं या नहीं, आप निम्न में से किसी भी मापदंड का उपयोग कर सकते हैं।

• कोई भी दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि इस प्रकार बने संगत कोण बराबर हों।
• किन्हीं भी दो रेखाओं को समानांतर कहा जाता है यदि इस प्रकार बने एकांतर आंतरिक कोण बराबर हों।
• कोई भी दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि इस प्रकार बने एकांतर बाह्य कोण बराबर हों।
• किन्हीं भी दो रेखाओं को समानांतर कहा जाता है यदि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण संपूरक हों।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. समानांतर रेखाएँ क्या होती हैं?
2. समांतर रेखाओं के एक युग्म को एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित करने पर कितने कोण बनते हैं?
3. जब एक तिर्यक रेखा समांतर रेखाओं के एक युग्म को काटती है तो बनने वाले कोणों के युग्म का नाम लिखिए।
4. वे कौन सी विभिन्न स्थितियाँ हैं जिनका उपयोग आप यह जाँचने के लिए कर सकते हैं कि रेखाओं का एक युग्म समानांतर है या नहीं?

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता है और वे कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। जब किन्हीं दो समानांतर रेखाओं को एक दूसरी रेखा तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित करती है, तब बने कोणों का युग्म युग्म संगत कोण, शीर्षाभिमुख कोण, एकांतर बाह्य कोण, एकांतर अंतः कोण और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण होते हैं।इन युग्मों में कुछ समान होते हैं और कुछ पूरक होते हैं और इन गुणों का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि दी गई रेखाओं का युग्म समानांतर है या नहीं।

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