प्राकृतिक संख्या किसे कहते हैं? (परिभाषा, सूत्र और गुणधर्म)

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गिनती के बिना गणित अधूरा है। जितनी संख्याओं को गिनती के लिए आप इस्तेमाल करते है, उन्हें विभिन्न प्रकार में विभाजित किया गया है। कुछ ऐसी संख्या जिन्हें सबसे पहले खोजा गया ताकि गणना करना आसान हो सके, उसे प्राकृतिक संख्या कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वस्तुओं की गिनती करते समय, हम कहते हैं $10$ पुस्तकें, $5$ बच्चे, $23$ पेन्सिलें, आदि। ये सभी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। 

आइये जानते हैं कि प्राकृतिक संख्या किसे कहते हैं।

प्राकृतिक संख्या का परिचय

प्राकृतिक संख्याओं के द्वारा ही हम किसी वस्तु की संख्या को गिनते हैं। इन संख्याओं का उपयोग दैनिक जीवन में तो हम रोज करते हैं, और साथ ही इसका उपयोग विज्ञान के क्षेत्र में, खगोल शास्त्र के क्षेत्र में, कंप्यूटर के क्षेत्र में और यहां तक कि मेडिकल के क्षेत्र में भी इन संख्याओं का उपयोग किया जाता है. यदि प्राकृतिक संख्याएँ न बनी होती तो जीवन जीने में कई प्रकार की समस्याओं का सामना करना पड़ता। 

तो आइये सरल भाषा में प्राकृतिक संख्या किसे कहते हैं समझते हैं। 

प्राकृतिक संख्या किसे कहते हैं – प्राकृतिक संख्या की परिभाषा

गिनती की संख्या को प्राकृतिक संख्या कहते हैं। अर्थात् जिस संख्या का उपयोग हम लोग वस्तुओं के गिनती करने में करते हैं, उन्हें ‘प्राकृतिक संख्या’ कहा जाता है। प्राकृतिक संख्या को $N$ से सूचित किया जाता है।

प्राकृतिक संख्या को और दूसरे तरीके से परिभाषित करें तो कुछ इस प्रकार भी लिखा जा सकता है – वह सभी पूर्णांक जो $0$ से बड़े हैं, उन्हें प्राकृतिक संख्या कहा जाता है। धनात्मक संख्या जो $1$ आरंभ से होकर अनंत $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…\}$ तक जाएं, प्राकृतिक संख्या कहलाती है। इनका प्रयोग संख्याओं को एक व्यवस्थित क्रम में सजाने के लिए किया जाता है। $0$ (शून्य) प्राकृतिक संख्याओं के परिवार में नहीं आता है।

प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दो प्रकार से निरूपित किया जा सकता है।

• कथन के रूप में: $N = 1$ से शुरू होने वाली संख्याओं का समूह।
• समुच्चय के रूप में: $N = \{1, 2, 3, 4,… \}$

क्या 0 एक प्राकृतिक संख्या है?

जैसा कि ऊपर देखा गया है, प्राकृतिक संख्याओं का एक समुच्चय $N$ $1$ से शुरू होता है ($1$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है) और $0 \lt 1$ इसलिए, $0$ प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित नहीं है। $0$ सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या)

चूँकि प्राकृतिक संख्याएँ $1$ से शुरू होती हैं, इसलिए $1$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में अनगिनत (अनंत) संख्याएँ होती हैं, इसलिए कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

यदि आप कोई बड़ी प्राकृतिक संख्या चुनते हैं, तब भी आप उस संख्या से बड़ी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या $1000000000$ के लिए, $1000000001 \left(1000000000 + 1 \right)$ अभी भी अधिक है या $999999999999$ की संख्या के लिए, $1000000000000 \left(999999999999 + 1\right)$ और अधिक है।

प्राकृतिक संख्याओं और पूर्ण संख्याओं के बीच अंतर

प्राकृतिक संख्याएँ $1$ से आरंभ होकर अनंत तक जाती हैं, जबकि पूर्ण संख्याएँ $0$ से से आरंभ होकर अनंत तक जाती हैं। 

प्राकृतिक संख्याओं के सूत्र

प्राकृतिक संख्या से जुड़े विभिन्न प्रकार के प्रश्न अलग-अलग क्षेत्र में पूछे जाते हैं, जिस कारण आपको प्राकृतिक संख्या से जुड़े कुछ महत्वपूर्ण सूत्रों  की जानकारी होनी चाहिए, जिसकी सूची नीचे प्रस्तुत की गई है। 

• प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग = $\frac {n\left(n + 1 \right)}{2}$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का औसत = $\frac {n + 1}{2}$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक विषम संख्याओं का योग = $n^{2}$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक विषम संख्याओं का औसत = $n$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक सम संख्याओं का योग = $n\left(n + 1 \right)$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक सम संख्याओं का औसत = $\left(n + 1 \right)
• प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = $\frac {n \left( n + 1 \right) \left( 2n + 1 \right)}{6}$
• प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग = $\big[\frac {n \left(n + 1 \right)}{2} \big]^{2}$

संख्या रेखा पर प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। रेखा (वास्तव में एक किरण) $ 1 $ की संख्या से शुरू होती है और $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, और इसी तरह $ 1 $ के दाईं ओर चलती है।

प्राकृतिक संख्या रेखा (किरण) में एक प्रारंभिक बिंदु होता है जो संख्या $1$ को दर्शाता है और शेष संख्याएँ स्थिर अंतराल पर $1$ के दायीं ओर होती हैं। रेखा के दाईं ओर एक तीर द्वारा दिखाया गया है जिसका अर्थ है कि इसे अनंत तक बढ़ाया जा सकता है और इसमें अनंत (अनगिनत) संख्याएँ हो सकती हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के गुणधर्म

आप प्राकृतिक संख्याओं पर निम्नलिखित चार बुनियादी संक्रियाओं में से कोई भी कर सकते हैं।

• जोड़ 
• व्यवकलन
• गुणा
• भाग 

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणधर्म दिखाता है:

• संवृत गुणधर्म
• क्रमविनिमेय गुणधर्म
• साहचर्य गुणधर्म
• वितरकता गुणधर्म

आइए प्राकृतिक संख्याओं के इन गुणधर्मों को विस्तार से समझते हैं।

संवृत गुणधर्म

संवृत गुणधर्म कहता है कि यदि समुच्चय से कोई दो संख्याएँ एक अंकगणितीय ऑपरेशन द्वारा संचालित होती हैं तो उनका परिणाम भी उसी समुच्चय में होता है।

संवृत गुणधर्म को ऑपरेशंस जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग संवृत गुण नहीं दिखाते हैं।

जोड़ का संवृत गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि जब दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो उनका योग भी एक प्राकृतिक संख्या होता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in N$, तो $a + b \in N$। 

उदाहरण के लिए, $4$ और $9$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो उनका योग $4 + 9 = 13$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।

इसी तरह, $39$ और $52$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो उनका योग $39 + 52 = 91$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।

गुणन का संवृत गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि जब दो प्राकृतिक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उनका गुणनफल भी एक प्राकृतिक संख्या होती है।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in N$, तो $a \times b \in N$।

उदाहरण के लिए, $7$ और $11$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो उनका योग $7 \times 11 = 77$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।

इसी तरह, $16$ और $49$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो उनका योग $16 \times 49 = 784$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।

नोट: ऑपरेशन घटाव और भाग संवृत गुण नहीं दर्शाते हैं।

क्रमविनिमेय गुणधर्म

क्रमविनिमेय गुणधर्म एक ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

क्रमविनिमेय गुणधर्म को ऑपरेशंस जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग क्रमविनिमेय गुणधर्म का प्रदर्शन नहीं करते हैं। 

जोड़ का क्रमविनिमेय गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए उनका योग समान रहता है, भले ही संख्याओं के स्थान आपस में बदल दिए जाएं।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in N, \text {then } a + b = b + a$।

उदाहरण के लिए, $15$ और $7$ दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं। $15 + 7 = 22$ और $7 + 15 = 22$ भी।

इसी प्रकार, दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए, $43$ और $87$, $43 + 87 = 130$ और $87 + 43 = 130$।

गुणन का क्रमविनिमेय गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए उनका गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं की स्थिति आपस में बदली गई हो।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b \in N$, तो $a \times b = b \times a$।

उदाहरण के लिए, $9$ और $4$ दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं। $9 \times 4 = 36$ और साथ ही $4 \times 9 = 36$।

इसी तरह, दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए, $12$ और $15$, $12 \times 15 = 180$ और $15 \times 12 = 180$

साहचर्य गुणधर्म

साहचर्य गुणधर्म एक ऑपरेशन में संख्याओं के समूहन से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि ऑपरेशन करते समय संख्याओं के समूह को बदलने पर भी परिणाम वही रहता है।

साहचर्य गुणधर्म को संक्रिया जोड़ और गुणा द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। संक्रिया घटाव और भाग साहचर्य गुण का प्रदर्शन नहीं करते हैं।

जोड़ का साहचर्य गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन प्राकृतिक संख्याओं का योग समान रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे $a, b, c \in N, \text {then} \left (a + b \right) + c = a + \left(b + c \right)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, तीन प्राकृतिक संख्याओं $7$, $9$ और $11$ के लिए, $\left(7 + 9 \right) + 11 = 16 + 11 = 27$ और $7 + \left(9 + 11 \right) = 7 + 20 = 27$।

इसी तरह, तीन प्राकृतिक संख्याओं के लिए $21$, $48$ और $108$, $\left(12 + 48 \right) + 108 = 60 + 108 = 168 \text { और } 12 + \left(48 + 108 \right) = 12 + 156 = 168$।

गुणन का साहचर्य गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए।

गणितीय रूप से, इसे इस तरह दर्शाया जाता है जैसे कि $a, b, c \in N, \text {then } \left (a \times b \right) \times c = a \times \left(b \times c \right)$ .

उदाहरण के लिए, तीन प्राकृतिक संख्याओं के लिए $2$, $4$ और $7$, $\left(2 \times 4 \right) \times 7 = 8 \times 7 = 56$ और $2 \times \left(4 \times 7 \right) = 2 \times 28 = 56$।

इसी तरह, तीन प्राकृतिक संख्याओं के लिए $10$, $5$ और $12$, $\left(10 \times 5 \right) \times 12 = 50 \times 12 = 600 \text { और } 10 \times \left(5 \times 12 \right) = 10 \times 60 = 600$।

वितरकता गुणधर्म

प्राकृतिक संख्याओं का वितरकता गुणधर्म गुणन संक्रिया करते समय जोड़ और घटाव के माध्यम से प्राकृतिक संख्याओं के वितरण के विभाजन से संबंधित है।

प्राकृतिक संख्याओं के वितरकता गुणधर्म दो प्रकार के होते हैं।

• जोड़ पर गुणन का वितरकता गुणधर्म
• घटाव पर गुणन का वितरकता गुणधर्म

जोड़ पर गुणन का वितरकता गुणधर्म

यह बताता है कि किन्हीं तीन प्राकृतिक संख्याओं के लिए $\left(a + b \right) \times c$ के रूप का व्यंजक $a \times b + a \times c$ के रूप में हल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, $\left(2 + 4 \right) \times 8$ को $2 \times 8 + 4 \times 8 = 16 + 32 = 48$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(2 + 4 \right) \times 8$ हल करने पर $6 \times 8 = 48$ देता है।

इसी तरह, $\left(100 + 2 \right) \times 8$ को $100 \times 8 + 2 \times 8 = 800 + 16 = 816$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(100 + 2 \right) \times 8$ हल करने पर $102 \times 8 = 816$ देता है।

व्यवकलन पर गुणन का वितरकता गुणधर्म

इसमें कहा गया है कि किन्हीं तीन प्राकृतिक संख्याओं के लिए $\left (a – b \right) \times c$ के रूप का व्यंजक $a \times b – a \times c$ के रूप में हल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, $\left(12 – 5 \right) \times 4$ को $12 \times 4 – 5 \times 4 = 48 – 20 = 28$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(12 – 5 \right) \times 4$ हल करने पर $7 \times 4 = 28$ देता है।

इसी तरह, $\left(100 – 3 \right) \times 6$ को $100 \times 6 – 3 \times 6 = 600 – 18 = 582$ के रूप में हल किया जा सकता है।

यह भी $\left(100 – 3 \right) \times 6$ हल करने पर $97 \times 6 = 582$ देता है।

नोट: वितरकता गुणधर्म संक्रिया भाग के लिए नहीं है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

सही या गलत बताएं

• $1$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है।
• $0$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं की गणना की जा सकती है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं की गणना नहीं की जा सकती।
• सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या $999999999999$ है।
• कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $0$ शामिल करके आपको पूर्ण संख्याओं का एक समुच्चय प्राप्त होता है।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में से $0$ को हटाकर आपको पूर्ण संख्याओं का एक समुच्चय प्राप्त होता है।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

प्राकृतिक संख्याएँ जिन्हें काउंटिंग नंबर के रूप में भी जाना जाता है, वे संख्याएँ हैं जिन्हें $N = {1, 2, 3, 4,… }$ के रूप में दर्शाया जाता है। प्राकृतिक संख्याएँ चार मुख्य गुणों को दर्शाती हैं – संवृत गुणधर्म, क्रमविनिमेय गुणधर्म, साहचर्य गुणधर्म, और जोड़ और घटाव पर गुणन की वितरकता गुणधर्म।

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