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बिंदु गणित में बुनियादी और मौलिक आकृतियों में से एक है। अन्य बिंदुओं या आकृतियों के सापेक्ष अपनी स्थिति के आधार पर एक बिंदु विभिन्न प्रकार का हो सकता है। बिंदुओं की ऐसी ही एक श्रेणी संरेखी बिंदु है।
आइए समझते हैं कि ज्यामिति में संरेखी बिंदु क्या हैं और उदाहरण के साथ उनके गुण क्या हैं।
ज्यामिति में संरेखी बिंदु क्या हैं?
संरेख (अंग्रेजी में कोलीनियर ) शब्द दो लैटिन शब्दों ‘कोल’ और ‘रैखिक’ से बना है। ‘कोल’ का अर्थ है एक साथ और ‘रैखिक’ का अर्थ है रेखा। इसलिए, संरेखी बिंदु वे बिंदु होते हैं जो एक रेखा पर स्थित होते हैं।
आप संरेखता के कई वास्तविक जीवन उदाहरण पा सकते हैं जैसे छात्रों का एक समूह एक सीधी रेखा में खड़ा है, एक पुस्तकालय में एक पंक्ति में रखी किताबें, एक किराने की दुकान में एक पंक्ति में रखी हुई वस्तुएँ, आदि।
ज्यामिति में, दो या दो से अधिक बिंदुओं को संरेखी कहा जाता है, यदि वे एक ही रेखा पर स्थित हों। अतः संरेख बिंदु उन बिंदुओं का समुच्चय होता है जो एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।
उदाहरण
नीचे दिए गए चित्र में, तीन बिंदुओं $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ को संरेखी बिंदु कहा जाता है क्योंकि ये सभी एक रेखा पर स्थित हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि हम तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाली एक रेखा खींच सकते हैं।
नोट:
- दो बिंदु हमेशा संरेखी बिंदु होते हैं।
- तीन संरेखी बिंदुओं का उपयोग करके एक त्रिभुज नहीं बनाया जा सकता है।
आइए नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।
उपरोक्त चित्र में, बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$, और $\text{R}$ असंरेखी बिंदु हैं, क्योंकि ये तीनों एक ही रेखा पर स्थित नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि हम तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा नहीं खींच सकते।
नोट: तीन असंरेखी बिंदु हमेशा एक त्रिभुज बनाते हैं।
कैसे जांचें कि तीन बिंदु संरेखी हैं?
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, तीन बिंदुओं को संरेखी बिंदु कहा जाता है, यदि वे सभी एक ही रेखा पर स्थित हों। यह जाँचने के लिए कि दिए गए तीन बिंदु संरेखी हैं या नहीं, निम्नलिखित तीन विधियों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है।
- दूरी सूत्र विधि
- ढाल सूत्र विधि
- त्रिभुज का क्षेत्रफल विधि
दूरी सूत्र विधि
इस विधि में हम पहले और दूसरे बिंदु के बीच की दूरी और फिर दूसरे और तीसरे बिंदु के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं। इसके बाद, हम जाँचते हैं कि क्या इन दोनों दूरियों का योग पहले और तीसरे बिंदु के बीच की दूरी के बराबर है। यह तभी संभव होगा जब तीन बिंदु संरेखी बिंदु हों।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए जिनके निर्देशांक हमें ज्ञात हैं, हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं।
दो बिंदुओं $\text{A} \left(x_1, y_1 \right)$ और $\text{B} \left(x_2, y_2 \right)$ के बीच की दूरी $\sqrt{\left(x_2 – x_1 \right)^2 + \left(y_2 – y_1 \right)^2}$।
इसलिए, यदि हमारे पास $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ के क्रम में तीन संरेखी बिंदु हैं, तो ये बिंदु संरेखी होंगे यदि $\text{AB} + \text{BC} = \text{CA}$।
आइए विधि को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
Ex 1: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{P}(−3,−1)$, $\text{Q}(−1,0)$, और $\text{R}(1,1)$ संरेखी हैं।
बिंदुओं $\text{P}$ और $\text{Q}$ के बीच की दूरी $ = |PQ| = \sqrt{\left( -1 – (-3)\right)^2 + \left(0 – (-1) \right)^2}$
$= \sqrt{\left( -1 + 3\right)^2 + \left(0 + 1 \right)^2}$
$= \sqrt{2^2 + 1^2}$
$= \sqrt{4 + 1}$
$= \sqrt{5} \text{ units}$
बिंदुओं $\text{Q}$ और $\text{R}$ के बीच की दूरी $= |QR| = \sqrt{\left(1 – (-1)\right)^2 + \left(1 – 0 \right)^2}$
$= \sqrt{\left(1 + 1\right)^2 + \left(1 – 0 \right)^2}$
$= \sqrt{2^2 + 1^2}$
$= \sqrt{4 + 1}$
$= \sqrt{5} \text{ units}$
बिंदुओं $\text{P}$ और $\text{R}$ के बीच की दूरी $= |PR| = \sqrt{\left(1 – (-3)\right)^2 + \left(1 – \left(-1 \right) \right)^2}$
$= \sqrt{\left(1 + 3\right)^2 + \left(1 + 1 \right)^2}$
$= \sqrt{\left(4\right)^2 + \left(2 \right)^2}$
$= \sqrt{16 + 4}$
$= \sqrt{20}$
$= 2\sqrt{5} \text{ units}$
ध्यान दें कि $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$, इसलिए, $\text{PQ} + \text{QR} = \text{PR}$, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$ और $\text{R}$ संरेखी बिंदु हैं।
Ex 2: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{A}(1,0)$, $\text{B}(0,0)$, और $\text{C}(0,1)$ संरेखी हैं।
बिंदुओं $\text{A}$ और $\text{B}$ के बीच की दूरी $= |\text{AB}| = \sqrt{\left( 0 – 1\right)^2 + \left(0 – 0 \right)^2}$
$ = \sqrt{\left(- 1\right)^2 + 0^2}$
$ = \sqrt{1 + 0}$
$ = \sqrt{1}$
$ = 1 \text{ units}$
बिंदुओं $\text{B}$ और $\text{C}$ के बीच की दूरी $= |\text{BC}| = \sqrt{\left(0 – 0\right)^2 + \left(1 – 0 \right)^2}$
$= \sqrt{0^2 + 1^2}$
$= \sqrt{0 + 1}$
$= \sqrt{1}$
$ = 1 \text{ units}$
बिंदुओं $\text{A}$ और $\text{C}$ के बीच की दूरी $= |\text{AC}| = \sqrt{\left(0 – 1\right)^2 + \left(1 – 0 \right)^2}$
$=\sqrt{\left(- 1\right)^2 + 1^2}$
$=\sqrt{1 + 1}$
$=\sqrt{2} \text{ units}$
चूँकि लंबाई $\text{AC}$ अन्य दो से अधिक है, इसलिए, हम अन्य दो दूरियों, अर्थात् $\text{AB}$ और $\text{BC}$ को जोड़ेंगे।
AB + BC = $1 + 1 = 2 \text{ units}$
चूँकि, $\sqrt{2} \ne 2$ और इसलिए, $\text{AB} + \text{BC} $\ne$ \text{AC}$, इसलिए, बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$, और $\text{C}$ संरेखी बिंदु नहीं हैं। बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ असंरेखी बिंदु हैं।
ढाल सूत्र विधि
तीन या अधिक बिंदुओं को संरेखी कहा जाता है यदि बिंदुओं के किन्हीं दो युग्मों का ढलान समान है। रेखा का ढलान मूल रूप से रेखा की स्थिरता को मापता है।
मान लीजिए, $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ तीन बिंदु हैं, जिसके साथ हम युग्मों के तीन समुच्चय बना सकते हैं, जैसे कि, $\text{AB}$, $\text{BC}$, और $\text{CA}$ बिंदुओं के तीन युग्म हैं। फिर, ढाल सूत्र के अनुसार,
यदि $\text{AB}$ का ढाल = $\text{BC}$ का ढाल = $\text{CA}$ का ढाल, तो बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ संरेखी हैं।
दो बिंदुओं $\left(x_1, y_1 \right)$ और $\left(x_2, y_2 \right)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का ढलान सूत्र $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ द्वारा दिया जाता है .
आइए विधि को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
Ex 1: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{P}(−3,−1)$, $\text{Q}(−1,0)$, और $\text{R}(1,1)$ संरेखी हैं।
रेखा $\text{PQ}$ का ढाल = $\frac{0 – (-1)}{-1 – (-3)} = \frac{0 + 1}{-1 + 3} = \frac{1}{2}$
रेखा $\text{QR}$ का ढाल = $\frac{1 – 0}{1 – (-1)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
चूंकि रेखाओं $\text{PQ}$ और $\text{QR}$ के ढाल बराबर हैं, इसलिए बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$ और $\text{R}$ संरेखी बिंदु हैं।
Ex 2: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{A}(1,0)$, $\text{B}(0,0)$, और $\text{C}(0,1)$ संरेखी हैं।
रेखा $\text{AB}$ का ढाल = $\frac{0 – 0}{0 – 1} = \frac{0}{-1} = 0$
रेखा $\text{BC}$ का ढाल = $\frac{1 – 0}{0 – 0} = \frac{1}{0} = \text{ undefined}$
चूँकि रेखा $\text{AB}$ और $\text{BC}$ के ढाल बराबर नहीं हैं, इसलिए बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ असंरेखी बिंदु हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल विधि
यह जाँचने के लिए कि क्या तीन बिंदु संरेखी हैं, हम तीन बिंदुओं का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। यदि
- त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है, तो तीन बिंदु संरेखी हैं
- त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है, तो तीन बिंदु असंरेखी हैं
$\text{A}\left(x_1, y_1 \right)$, $\text{B}\left(x_2, y_2 \right)$, और $\text{C}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $\left(x_3, y_3 \right)$, हम सूत्र $\frac{1}{2} \left(x_1 \left(y_2 – y_3\right) + x_2 \left(y_3 – y_1\right) + x_3 \left(y_1 – y_2\right) \right)$ का उपयोग करते हैं।
नोट: जब तीन बिंदु असंरेखी होते हैं, तो एक त्रिभुज नहीं बनाया जा सकता है, और इसलिए, इस मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है।
आइए विधि को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
Ex 1: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{P}(−3,−1)$, $\text{Q}(−1,0)$, और $\text{R}(1,1)$ संरेखी हैं।
बिंदुओं $\text{P}(−3,−1)$, $\text{Q}(−1,0)$, और $\text{R}(1,1)$ का उपयोग करके बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है $\frac{1}{2} \left(-3 \left(0 – 1\right) + (-1) \left(1 – (-1)\right) + 1 \left(-1 – 0\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left(-3 \left(-1\right) + (-1) \left(1 + 1\right) + 1 \left(-1 – 0\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left(-3 \times \left(-1\right) + (-1) \times 2 + 1 \times \left(-1\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left(3 – 2 – 1 \right) = 0 \text{ sq units}$.
चूंकि, $\text{P}(−3,−1)$, $\text{Q}(−1,0)$, और $\text{R}(1, 1) $ $\text{sq units}$ है, इसलिए बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$ और $\text{R}$ संरेखी हैं।
Ex 2: जांच कीजिये कि क्या बिंदु $\text{A}(1,0)$, $\text{B}(0,0)$, और $\text{C}(0,1)$ संरेखी हैं।
बिंदुओं $\text{A}(1,0)$, $\text{B}(0,0)$, और $\text{C}(0,1)$ का उपयोग करके बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है $\frac{1}{2} \left(1 \left(0 – 1\right) + 0 \left(1 – 0\right) + 0 \left(0 – 0\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left(1 \times \left(- 1\right) + 0 \times 1 + 0 \times 0 \right)$
$= \frac{1}{2} \left(-1 + 0 \times 1 + 0 \times 0 \right)$
$= \frac{1}{2} \left(-1 + 0 + 0 \right)$
$= \frac{1}{2} \left(-1 \right)$
$= -\frac{1}{2}$
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल $1 \text{ sq unit}$ है।
चूंकि, बिंदुओं $\text{A}(1,0)$, $\text{B}(0,0)$, और $\text{C}(0,1)$ द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है, इसलिए बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ असंरेखी हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- संरेखी बिंदु क्या होते हैं?
- असंरेखी बिंदु क्या होते हैं?
- तीन बिंदु संरेखी हैं या नहीं, यह जांचने की तीन विधियाँ कौन सी हैं?
- जांचें कि बिंदु $\text{P} (1, 2)$, $\text{Q} (2, 3)$, और $\text{R} (3, 4)$ संरेखी बिंदु हैं या नहीं
- दूरी सूत्र विधि
- ढाल सूत्र विधि
- त्रिभुज क्षेत्रफल विधि
- जांचें कि बिंदु $\text{P}(-3, -1)$, $\text{Q}(-1, 2)$, और $\text{R}(1, 1)$ संरेखी बिंदु हैं या नहीं
- दूरी सूत्र विधि
- ढाल सूत्र विधि
- त्रिभुज क्षेत्रफल विधि
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
ज्यामिति में संरेखी बिंदु क्या होते हैं?
संरेखी बिंदु तीन या अधिक बिंदुओं का एक समूह है जो एक ही सीधी रेखा पर मौजूद होते हैं। संरेखी बिंदु अलग-अलग तलों पर मौजूद हो सकते हैं लेकिन अलग-अलग रेखाओं पर नहीं।
संरेखी बिंदु कैसे ज्ञात करें?
तीन बिंदु संरेखी हैं या नहीं, यह ज्ञात करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है। बिंदुओं की संरेखता ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली तीन सबसे आम विधियाँ दूरी सूत्र, ढाल सूत्र और त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करना है। इन सूत्रों का उपयोग करके, हम ज्ञात कर सकते हैं कि बिंदु संरेखी हैं या नहीं।
निष्कर्ष
संरेखी बिंदु तीन या अधिक बिंदुओं का एक समूह है जो एक ही सीधी रेखा पर मौजूद होते हैं। वे बिंदु जो संरेखी नहीं होते हैं असंरेखी बिंदु कहलाते हैं। तीन बिंदुओं की संरेखता की जांच करने के तीन विधियाँ हैं – दूरी सूत्र, ढलान सूत्र और त्रिकोण क्षेत्रफल सूत्र।
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