गोलार्ध का आयतन – सूत्र, व्युत्पत्ति और उदाहरण

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गोलार्द्ध एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार है जो एक गोले का आधा भाग होता है जिसमें एक तरफ सपाट और दूसरी तरफ एक गोलाकार कटोरा होता है। जब त्रि-आयामी संरचनाओं के रूप में देखा जाता है, तो गोलाकार आकार एक गोलार्ध का आकार लेते हैं, उदाहरण के लिए, एक कटोरा या मशरूम का शीर्ष। गोलार्द्ध द्वारा घेरा गया स्थान गोलार्द्ध का आयतन या धारिता कहलाता है। अर्धगोले का आयतन इसकी त्रिज्या पर निर्भर करता है। गोलार्द्ध का आयतन घन इकाइयों के रूप में मापा जाता है, जैसे $cm^{3}$, $m^{3}$, $mm^{3}$, $in^{3}$, $ft^{ 3}$, आदि।

आइए जानें कि गोलार्ध का आयतन और उसका सूत्र कैसे ज्ञात करें।

गोलार्ध – एक त्रि-आयामी ठोस आकार

गोलार्द्ध एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार है जो एक गोले का आधा भाग है जिसमें एक तरफ सपाट और दूसरी तरफ एक गोलाकार कटोरा है। एक गोलार्द्ध तब बनता है जब एक गोले को उसके व्यास के साथ ठीक केंद्र में काटा जाता है और दो बराबर भागों को पीछे छोड़ देता है। गोलार्द्ध के समतल भाग को गोलार्द्ध का आधार या फलक कहा जाता है।

गोलार्ध के महत्वपूर्ण तत्व इस प्रकार हैं:

• त्रिज्या: अर्धगोले के केंद्र के बीच उसकी सतह के किसी भी बिंदु तक खींचे गए रेखाखंड की लंबाई। यदि $O$ गोलार्ध का केंद्र है और $A$ इसकी सतह पर कोई बिंदु है, तो दूरी $OA$ इसकी त्रिज्या है।
• व्यास: अर्धगोले की सतह पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक, जो इसके ठीक विपरीत है, केंद्र से होकर गुजरने वाले रेखाखंड की लंबाई को गोलार्ध का व्यास कहा जाता है। व्यास की लंबाई त्रिज्या की लंबाई से बिल्कुल दोगुनी है।
• परिमाप: गोलार्ध के महान अर्धवृत्त की लंबाई को इसका परिमाप कहा जाता है।

गोलार्ध के गुण

चूँकि एक गोलार्द्ध एक गोले का ठीक आधा भाग होता है, एक गोलार्द्ध और एक गोले में काफी समान गुण होते हैं। गोलार्ध के गुण हैं

• एक गोलार्ध में एक घुमावदार सतह क्षेत्र होता है।
• एक गोले की तरह, गोलार्द्ध में कोई किनारा और कोई शीर्ष नहीं होता है।
• यह पॉलीहेड्रॉन नहीं है क्योंकि पॉलीहेड्रॉन बहुभुज से बने होते हैं, लेकिन एक गोलार्ध में एक गोलाकार आधार और एक घुमावदार सतह होती है।
• गोलार्ध का व्यास एक रेखा खंड है जो केंद्र से होकर गुजरता है और गोलार्ध के आधार पर दो विपरीत बिंदुओं को छूता है।
• अर्धगोले की त्रिज्या केंद्र से गोलार्द्ध की वक्र सतह पर एक बिंदु तक एक रेखा खंड है।

गोलार्ध का आयतन

गोलार्द्ध का आयतन उसमें फिट होने वाले इकाई घनों की संख्या है। आयतन की इकाई घन इकाई है, जैसे $m^{3}$, $cm^{3}$, $ft^{3}$, $in^{3}$, इत्यादि।

एक अर्धगोले का आयतन $\pi$ और इसकी त्रिज्या के घन के गुणनफल का दो-तिहाई है, यानी गोलार्द्ध का आयतन = $\frac {2}{3} \pi r^{3} $, जहाँ $r$ गोलार्द्ध की त्रिज्या है।

गोलार्द्ध सूत्र के आयतन की व्युत्पन

आइए देखें कि अर्धगोले के आयतन का सूत्र कैसे प्राप्त होता है। चूंकि एक गोलार्द्ध एक गोले का आधा है, इसलिए हम एक गोले के आयतन को $2$ से विभाजित करके उसके गोलार्द्ध का आयतन प्राप्त कर सकते हैं।

अब यह देखते हुए कि एक गोले की त्रिज्या $r$ है।

फिर गोले का आयतन $V = \frac {4}{3} \pi r^{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। तो, गोलार्द्ध के आयतन का सूत्र बन जाएगा $\frac {4}{3} \pi r^{3}$ का आधा, अर्थात $\frac {1}{2} \times \frac {4}{3} \pi r^{3} = \frac {2}{3} \pi r^{3}$।

गोलार्द्ध का आयतन = $\frac {2}{3} \pi r^{3}$।

एक खोखले गोलार्ध का आयतन

एक खोखले गोलार्ध पर विचार करें जैसे कि बाहरी क्षेत्र की त्रिज्या $R$ है और आंतरिक क्षेत्र की त्रिज्या $r$ है, जैसे कि एक गोले की परत की मोटाई $R – r$ है।

(एक गोलार्द्ध की परत का आयतन) = (बाहरी गोलार्ध का आयतन) $-$ (आंतरिक गोलार्ध का आयतन) $ = \frac {2}{3} \pi R^{3} – \frac {2}{3} \pi r^{3} = \frac {2}{3} \pi (R^{3} – r^{3})$।

उदाहरण

Ex 1: $7 cm$ त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $r = 7 cm$

अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन = $\frac {2}{3} \pi r^{3} = \frac {2}{3} \times \frac {22}{7} \times 7^{3} = 718.67 cm^{3}$.

Ex 2: एक अर्धगोलाकार बर्तन का आयतन $19404 c.c.$ है। बर्तन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

अर्धगोलाकार बर्तन का आयतन = $19404 cm^{3}$।

माना अर्धगोलाकार बर्तन की त्रिज्या = $r$।

अर्धगोले का आयतन = $\frac {2}{3} \pi r^{3}$।

इसलिए, $\frac {2}{3} \pi r^{3} = 19404 => \frac {2}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{3} = 19404 => \frac{44}{21} \times r^{3} = 19404$

$ => r^{3} = 19404 \times \frac{21}{44} => r^{3} = 9261 => r^{3} = \sqrt[3]{9261} =>r = 21 cm$.

Ex 3: एक अर्धगोलाकार कटोरे के किनारे की परिधि $132 cm$ है। कटोरे का आयतन ज्ञात करें।

माना अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या = $r$।

एक अर्धगोलाकार कटोरे की परिधि = $2 \pi r$.

इसलिए, $2 \pi r = 132 => 2 \times \frac{22}{7} \times r = 132 => \frac{44}{7} \times r = 132$

$ => r = 132 \times \frac{7}{44} =>r = 21 cm$

अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन = $2 \pi r^{3} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7^{3} = 2156 c.c.$

Ex 4: एक अर्धगोले का आयतन क्या है जिसका व्यास $10 cm$ है?

एक अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास $d = 10 cm$।

एक अर्धगोले का आयतन द्वारा दिया जाता है $V = \frac {1}{12} \pi d^{3}$।

अतः, $V = \frac {1}{12} \times \frac{22}{7} \times 10^{3} =  261.91 cm^{3}$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. $6 cm$ त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
2. $40mm$ के व्यास वाले गोलार्द्ध का आयतन क्या है?
3. यदि किसी अर्धगोले की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन कितना बढ़ जाएगा?
4. एक गोलार्द्ध का आयतन $261.5$ घन मीटर है। अर्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
5. आंतरिक त्रिज्या $5 cm$ का एक गोलार्द्ध का कटोरा $0.25 cm$ मोटाई की धातु की शीट से बना है। कटोरे में प्रयुक्त धातु की मात्रा ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

गोलार्ध का आयतन घन इकाइयों की संख्या है, जो गोलार्द्ध द्वारा पूरी तरह से कब्जा कर लिया गया है और इसकी त्रिज्या का उपयोग करके गणना की जाती है। यदि $r$ एक अर्धगोले की त्रिज्या है, तो इसके आयतन की गणना का सूत्र $\frac {2}{3} \pi r^{3}$ है।

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