शंकु के छिन्नक का आयतन – अर्थ, सूत्र और उदाहरण

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जब एक ठोस (आमतौर पर एक शंकु या पिरामिड) को इस तरह से काटा जाता है कि ठोस का आधार और ठोस को काटने वाला तल एक दूसरे के समानांतर हो, तो ठोस का वह हिस्सा जो समानांतर काटने वाले ताल और आधार के बीच रहता है उस ठोस को छिन्नक के रूप में जाना जाता है। शंकु के छिन्नक के कुछ सामान्य उदाहरण टेबल लैंप शेड, बाल्टी, गिलास आदि हैं।

छिन्नक का आयतन मूल रूप से छिन्नक द्वारा घेरा गया स्थान है और इसे घन इकाइयों में मापा जाता है जैसे $m^{3}$, $cm^{3}$, $ft^{3}$, $in^{3}$ , आदि।

आइए जानें कि शंकु के छिन्नक का आयतन कैसे ज्ञात करें और इसकी विधियाँ और सूत्र।

शंकु का छिन्नक – एक 3डी ठोस आकार

शंकु का छिन्नक शंकु का वह भाग होता है जिसमें शीर्ष नहीं होता है जब शंकु को दो भागों में विभाजित किया जाता है जो शंकु के आधार के समानांतर होता है।

शंकु के छिन्नक के गुण

शंकु के छिन्नक के निम्नलिखित गुण आपको इसे आसानी से पहचानने में मदद करेंगे।

• एक शंकु के छिन्नक में संबंधित शंकु का शीर्ष नहीं होता है बल्कि शंकु का आधार होता है।
• एक शंकु का छिन्नक इसकी ऊंचाई और दो त्रिज्याओं (दो आधारों के अनुरूप) से निर्धारित होता है।
• एक शंकु के छिन्नक की ऊँचाई छिन्नक के दो आधारों के केंद्रों के बीच की लंबवत दूरी है।
• यदि शंकु एक लम्ब वृत्तीय शंकु है, तो इससे बनने वाले छिन्नक भी लम्ब-वृत्ताकार होगा।

शंकु के छिन्नक का आयतन

शंकु के छिन्नक के आयतन की गणना उसकी ऊँचाई और उसके आधारों के क्षेत्रफलों का उपयोग करके की जा सकती है।

आइए हम ऊंचाई $h$ के शंकु के एक छिन्नक और दो आधारों की त्रिज्या $r$ और $\text{R}$ को लें।

शंकु के छिन्नक के आयतन की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है  $\text{V} = \frac {\pi}{3}h(\text{R}^{2} + \text{R}r + r^{2})$

जहाँ $h$ शंकु के छिन्नक की ऊँचाई है (दो आधारों के बीच लंबवत दूरी)

$r$ छोटे आधार की त्रिज्या है

$\text{R}$ बड़े आधार की त्रिज्या है

शंकु के छिन्नक के आयतन के सूत्र व्युत्पादन

एक शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र निकालने की दो विधियाँ हैं। सूत्र प्राप्त करने के लिए आप इनमें से किसी भी विधि का उपयोग कर सकते हैं।

विधि 1 शंकु के छिन्नक का आयतन व्युत्पन्न करने के लिए सूत्र

इस विधि में, हम शंकु के छिन्नक का आयतन निकालने के लिए एक सामान्य छिन्नक के आयतन के सूत्र का उपयोग करेंगे। यदि $s_{1}$ और $s_{2}$ एक छिन्नक के दो आधारों के पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं, और $h$ छिन्नक की ऊँचाई है, तो शंकु के छिन्नक का आयतन सूत्र होता है

$\text{V} = \frac {h}{3}\left(s_{1} + s_{2} + \sqrt{s_{1}s_{2}} \right)$ ————————– (1)

यदि $r$ और $\text{R}$ शंकु के छिन्नक के दो आधारों की त्रिज्याएँ हैं, तो $s_{1} = \pi r^{2}$ और $s_{2} = \pi \text{R}^{2}$। 

$s_{1}$ और $s_{2}$ के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\text{V} = \frac {h}{3}\left(\pi r^{2} + \pi \text{R}^{2} + \sqrt{\pi r^{2} \times \pi \text{R}^{2}} \right)$

$=>\text{V} = \frac {h}{3}\left(\pi r^{2} + \pi \text{R}^{2} + \sqrt{(\pi r \text{R})^{2}} \right)$

$=>\text{V} = \frac {h}{3}\left(\pi r^{2} + \pi \text{R}^{2} + \pi r \text{R} \right)$

$=>\text{V} = \frac {\pi h}{3}\left( r^{2} + \text{R}^{2} + r\text{R} \right)$

जहाँ $h$ छिन्नक की ऊँचाई है (एक छिन्नक के दो आधारों के बीच लंबवत दूरी)

$r$ छिन्नक के एक छोटे आधार की त्रिज्या है

$\text{R}$ छिन्नक के बड़े आधार की त्रिज्या है

विधि 2 शंकु के छिन्नक का आयतन व्युत्पन्न करने के लिए सूत्र

इस विधि में, हम एक शंकु के छिन्नक के आयतन के सूत्र को प्राप्त करने के लिए एक शंकु के आयतन के सूत्र का उपयोग करेंगे। ऊंचाई $h$ और आधार $r$ की त्रिज्या वाले शंकु का आयतन $V = \frac {1}{3}\pi r^{2} h$ द्वारा दिया जाता है।

अब ऊंचाई $\text{H} + h$ के शंकु पर ध्यान दें, जहां $h$ एक छिन्नक की ऊंचाई और आधार $\text{R}$ की त्रिज्या है, तो एक शंकु का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है $\frac {1}{3}\pi \text{R}^{2} \left(\text{H} + h \right)$।

नोट: एक समतल द्वारा काटे गए छोटे शंकु का आयतन $\frac {1}{3}\pi r^{2} h$ होता है।

अब, हमारे पास शंकु के छिन्नक का आयतन है, $\text{V}$ = (पूर्ण शंकु का आयतन) – (काटे गए शंकु का आयतन), जिसका अर्थ है  $\text{V} = \frac {1}{3}\pi \text{R}^{2} \left(\text{H} + h \right) – \frac {1}{3}\pi r^{2} h$. ————– (1)

त्रिभुज $\text{OBC}$ और $\text{PQC}$ समान हैं (समानता के AA गुण द्वारा) और इसलिए,

$\frac {\text{H} + h}{h} = \frac {\text{R}}{r}$ —————————— (2)

$\text{H} + h = \frac {\text{R}h}{r}$ ——————————— (3)

(3) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\text{V} = \pi \text{R}^{2} \times \frac{\text{R}h}{3r} – \frac{\pi r^{2} h}{3}$

$=>\text{V} = \frac{\pi h \left(\text{R}^{3} – r^{3} \right)}{3r}$

अब (2) पर विचार करें

$\frac {H + h}{h} = \frac {\text{R}}{r} => \frac{\text{H}}{h} + 1 = \frac{\text{R}}{r} => \frac{\text{H}}{h} = \frac{\text{R}}{r} – 1 => \frac{\text{H}}{h} = \frac{\text{R} – r}{r}$

दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर

$\frac{h}{\text{H}} = \frac{r}{\text{R} – r} =>h = \frac{\text{H}r}{\text{R} – r}$

$h$ के इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\text{V} = \frac{\pi}{3} \times \frac{\text{H}r}{\text{R} – r} \times \frac{\text{R}^{3} – r^{3}}{r}$

अब, बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} – b^{3} = \left(a – b \right) \left(a^{2} + ab + b^{2} \right)$ का उपयोग करके प्रतिस्थापित करने के लिए $\left(\text{R}^{3} – r^{3} \right)$, हमें मिलता है

$\text{V} = \frac{\pi}{3} \times \frac{\text{H}r}{\text{R} – r} \times \frac{\left(\text{R} – r \right) \left(R^{2} + \text{R}r + r^{2} \right)}{r}$

$=> \text{V} = \frac{\pi H}{3}\left(\text{R}^{2} + \text{R}r + r^{2} \right)$

जहाँ $H$ छिन्नक की ऊँचाई है (एक छिन्नक के दो आधारों के बीच लंबवत दूरी)

$r$ छिन्नक के एक छोटे आधार की त्रिज्या है

$\text{R}$ छिन्नक के बड़े आधार की त्रिज्या है

उदाहरण

Ex 1: यदि एक छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्या $28 cm $ और $7 cm $ और ऊँचाई $45 cm $ है, तो छिन्नक का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक छिन्नक की ऊँचाई $h = 45 cm$।

निचले आधार की त्रिज्या $r = 7 cm$।

ऊपरी आधार की त्रिज्या $\text{R} = 28 cm$।

एक छिन्नक का आयतन =  $\frac {\pi h}{3}\left( r^{2} + \text{R}^{2} + r\text{R} \right) = \frac {\frac{22}{7} \times 45}{3}\left( 7^{2} + 28^{2} + 7 \times 28 \right) = \frac {\frac{990}{7}}{3}\left(49 + 784 + 196 \right) = \frac {\frac{990}{7}}{3}\times 1029 = 48510 cm^{3}$।

Ex 2: एक खुली प्लास्टिक की बाल्टी जिसकी ऊँचाई $63 cm$ है, जिसमें निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्या क्रमशः $15 cm$ और $25 cm$ है, दूध से भरा है। दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए जो ₹45$ प्रति लीटर की दर से बाल्टी को पूरी तरह से भर सकता है।

कंटेनर की ऊंचाई (छिन्नक) $h = 63 सेमी$।

निचले आधार की त्रिज्या $r = 15 cm$।

ऊपरी आधार की त्रिज्या $\text{R} = 25 cm$।

एक छिन्नक का आयतन = $\frac {\pi h}{3}\left( r^{2} + \text{R}^{2} + r\text{R} \right) = \frac {\frac{22}{7}\times 63}{3}\left( 15^{2} + 25^{2} + 15 \times 25 \right) = \frac {198}{3}\left( 225 + 625 + 375 \right) = \frac {198}{3} \times 1225 = 80850 cm^{3} = 80.85 \text{L}$।

दूध की दर = ₹45$ प्रति लीटर

अतः दूध का मूल्य = $80.85 \times 45 = $ ₹ $3638.25$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. यदि एक छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्या, जो $60 cm$ ऊँचा है, $20 cm$ और $10 cm$ हैं, तो छिन्नक का आयतन ज्ञात कीजिए।
2. एक शंकु के छिन्नक के दोनों सिरों की परिधि क्रमशः $66 cm$ और $132 cm$ है और इसकी ऊँचाई $25 cm$ है, छिन्नक का आयतन ज्ञात कीजिए।
3. एक शंकु के छिन्नक के रूप में एक बाल्टी का अंतिम व्यास $1 ft$ और $1.5 ft$ है और ऊंचाई $2.5 ft$ है, बाल्टी में भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

एक शंकु का एक छिन्नक इसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा एक शंकु को बीच में काटकर प्राप्त किया जाता है। छिन्नक का आयतन विभिन्न मापों की दो त्रिज्याओं के बीच छिन्नक द्वारा घेरा गया स्थान है। शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र किसके द्वारा दिया गया है $V =\frac {\pi h}{3}\left( r^{2} + \text{R}^{2} + r\text{R} \right)$ होता है।

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