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एक चतुर्भुज एक बंद आकार और एक प्रकार का बहुभुज है जो चार असंरेखी बिंदुओं से बनता है जिसमें चार भुजाएँ, चार शीर्ष और चार कोण होते हैं। गुणों के आधार पर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं। समचतुर्भुज, आयत, समांतर चतुर्भुज और रोम्बस कुछ प्रकार के चतुर्भुज हैं।
आइए विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों और उनके गुणों के बारे में उनके उदाहरणों से जानें।
विभिन्न प्रकार के चतुर्भुज
चतुर्भुजों को मोटे तौर पर दो प्रकारों में बांटा गया है।
- अवतल चतुर्भुज
- उत्तल चतुर्भुज
अवतल चतुर्भुज: अवतल चतुर्भुजों में, एक आंतरिक कोण $180^{\circ}$ से बड़ा होता है। किसी चतुर्भुज को अवतल चतुर्भुज कहा जाता है यदि कम से कम एक विकर्ण, यानी शीर्षों को जोड़ने वाला रेखा खंड चतुर्भुज के आंतरिक क्षेत्र का हिस्सा नहीं है।
उत्तल चतुर्भुज: उत्तल चतुर्भुज में, प्रत्येक आंतरिक कोण $180^{\circ}$ से कम होता है। एक चतुर्भुज उत्तल होता है यदि दोनों विकर्ण चतुर्भुज के एक ही क्षेत्र (आतंरिक क्षेत्र) में स्थित होते हैं।
उत्तल चतुर्भुजों को आगे छह प्रकारों में विभाजित किया गया है। ये छह प्रकार के चतुर्भुज हैं
- समानांतर चतुर्भुज
- समलंब
- विषमकोण
- आयत
- समचतुर्भुज
- पतंग
आइए इनके बारे में विस्तार से जानें।
समानांतर चतुर्भुज
एक चतुर्भुज जिसमें विपरीत भुजाएँ एक-दूसरे के समानान्तर और लम्बाई में समान हों, समांतर चतुर्भुज कहलाता है। समांतर चतुर्भुज में इसके आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ के बराबर है। समानान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को मध्यबिंदु पर काटते हैं।
समानान्तर चतुर्भुज के उदाहरण मेज, डेस्क आदि की सपाट सतह हैं।
समानान्तर चतुर्भुजों के कुछ गुण निम्नलिखित हैं।
- समानांतर भुजाओं के दो युग्म
- समान लंबाई की विपरीत भुजाएँ
- विपरीत कोण जो बराबर हों
- दो विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अर्थात एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को ठीक दो हिस्सों में विभाजित करता है
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ $\text{AB} || \text{CD}$ और $\text{BC} || \text{DA}$। विकर्ण मध्य बिंदु $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं जहां $\text{AO} = $\text{OC}$ और $\text{BO}$ = $\text{OD}$।
क्षेत्रमिति में, एक समांतर चतुर्भुज में दो प्रकार के माप होते हैं।
- समानांतर चतुर्भुज की परिधि
- समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
समलंब
एक चतुर्भुज जिसमें विपरीत भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है, समलंब कहलाता है। समलंब में आसन्न कोणों के चार युग्मों में से दो युग्म पूरक होते हैं। जो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं उन्हें आधार कहा जाता है और जो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर नहीं होती हैं उन्हें पाद कहा जाता है।
एक समलंब के उदाहरण पुलों, हैंडबैग आदि के चित्र हैं।
समलंब के कुछ गुण निम्नलिखित हैं।
- विपरीत भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है
- आसन्न कोणों के दो युग्मों का योग $180^{\circ}$ होता है
उपरोक्त चित्र में, $\text{PQRS}$ एक समलंब है, जहाँ $\text{PQ} || \text{RS}$, $\angle \text{P} + \angle \text{S} = 180^{\circ}$, और $\angle \text{Q} + \angle \text{R} = 180^{\circ}$.
क्षेत्रमिति में, एक समलंब में दो प्रकार के माप होते हैं।
विषमकोण
विषमकोण को एक समबाहु चतुर्भुज या एक हीरे के रूप में भी जाना जाता है जिसकी चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। विषमकोण में विपरीत भुजाएँ समान्तर होती हैं और विपरीत कोण बराबर होते हैं।
उदाहरण हैं दर्पणों की समतल सतहें, खंड-आधारित फुटबॉल मैदान, आदि।
विषमकोण के गुण निम्नलिखित हैं।
- चारों भुजाओं की लम्बाई बराबर होती है
- विपरीत कोण बराबर होते हैं
- विकर्ण एक दूसरे के लिए असमान और लंबवत होते हैं
- विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
- विपरीत भुजाएँ समान और समांतर होती होती हैं
उपरोक्त चित्र में $\text{PQRS}$ विषमकोण है, जहाँ $\text{PQ} || \text{RS}$ और $\text{PS} || \text {QR} $। सभी भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर हैं, अर्थात $\text{PQ} = \text{QR} = \text{RS} = \text{SP}$।
क्षेत्रमिति में, एक विषमकोण के दो प्रकार के माप होते हैं।
आयत
एक आयत में विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और एक दूसरे के समानांतर होती हैं। एक आयत के कोण माप में बराबर होते हैं और समकोण होते हैं यानी वे $90^{\circ}$ माप के होते हैं।
आयत के उदाहरण ताश, बोर्ड की सपाट सतह आदि हैं।
आयत के गुण निम्नलिखित हैं।
- समानांतर भुजाओं के दो युग्म
- चारों कोण समकोण, अर्थात इनकी माप $90^{\circ}$
- विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं
- दो समान विकर्ण
- दो विकर्ण एक दूसरे को बराबर हिस्सों में काटते हैं
उपरोक्त चित्र में, $\text{ABCD}$ एक आयत है जहाँ, $\text{AB} || \text{CD}$, $\text{AB} = \text{CD}$, $\text{BC} || \text{DA}$, और $\text{BC} = \text{DA}$. सभी कोण $90^{\circ}$ हैं, यानी, $\angle \text{A} = \angle \text{B} = \angle \text{C} = \angle \text{D} = 90^{ \circ}$।
क्षेत्रमिति में, एक आयत में दो प्रकार के माप होते हैं।
समचतुर्भुज
एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं और सभी कोण समान माप के होते हैं, जो प्रत्येक $90^{\circ}$ होते हैं।
समचतुर्भुज का एक उदाहरण शतरंज की बिसात है।
समचतुर्भुज के गुण निम्नलिखित हैं।
- सभी भुजाएँ लंबाई में समान हैं
- चारों आंतरिक कोण $90^{\circ}$ माप के होते हैं
- विकर्ण एक दूसरे के बराबर और लंबवत होते हैं
उपरोक्त चित्र में $\text{PQRS}$ एक समचतुर्भुज है, जहाँ $\text{PQ} = \text{QR} = \text{RS} = \text{SP}$, और $\text{PQ} | | \text{RS}$ और $\text{PS} || \text {QR} $। सभी कोण $90^{\circ}$ हैं, यानी $\angle \text{P} = \angle \text{Q} = \angle \text{R} = \angle \text{S} = 90^{ \circ}$।
क्षेत्रमिति में, एक वर्ग में दो प्रकार के माप होते हैं।
पतंग
एक पतंग में आसन्न भुजाओं के दो जोड़े समान लंबाई के होते हैं। पतंग को इसके आकार के कारण डार्ट या एरोहेड भी कहा जाता है।
एक वास्तविक जीवन का उदाहरण स्वयं एक पतंग है।
पतंग के गुण निम्नलिखित हैं।
- आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर हैं
- विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं
उपरोक्त चित्र में $\text{ABCD}$ एक पतंग है जहाँ, $\text{AB} = \text{DA}$, और $\text{BC} = \text{CD}$।
क्षेत्रमिति में, एक पतंग के दो प्रकार के माप होते हैं।
मुख्य बिंदु
| चतुर्भुज का नाम | चतुर्भुज का आकार | चतुर्भुज के गुण |
| समानांतर चतुर्भुज |  | विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैंविपरीत भुजाएँ बराबर होती हैंविपरीत कोण बराबर होते हैंआसन्न कोण पूरक होते हैं |
| समलंब |  | विपरीत भुजाओं का एक युग्म समांतर होता हैआसन्न कोणों के दो युग्म पूरक होते हैं |
| विषमकोण |  | सभी भुजाएँ समान होती हैंविपरीत भुजाएँ बराबर होती हैंविकर्ण असमान हैंविकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं |
| आयत |  | विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैंविपरीत भुजाएँ समांतर होती हैंविकर्ण बराबर हैंप्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ है |
| समचतुर्भुज |  | सभी भुजाएँ समान हैंविपरीत भुजाएँ समांतर होती हैंप्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ हैविकर्ण बराबर होते हैंविकर्ण एक दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं |
| पतंग |  | आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर होती हैंविपरीत कोणों का एक युग्म बराबर होता है |
अभ्यास के लिए प्रश्न
- उत्तल चतुर्भुज क्या है?
- अवतल चतुर्भुज क्या है?
- निम्नलिखित के महत्वपूर्ण गुण लिखिए
- समानांतर चतुर्भुज
- समलंब
- विषमकोण
- आयत
- समचतुर्भुज
- पतंग
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
चतुर्भुज के 6 प्रकार क्या हैं?
6 प्रकार के चतुर्भुज समानांतर चतुर्भुज, समलंब, विषमकोण, आयत, समचतुर्भुज और पतंग हैं।
किस चतुर्भुज की चार बराबर भुजाएँ होती हैं?
जिन चतुर्भुजों की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, वे समचतुर्भुज और विषमकोण हैं।
किस प्रकार के चतुर्भुज में 4 बराबर भुजाएँ और 4 समकोण होते हैं?
एक चतुर्भुज जिसकी 4 बराबर भुजाएँ और 4 समकोण हों, समचतुर्भुज होता है।
क्या पतंगों की समानांतर भुजाएँ होती हैं?
नहीं, पतंग की कोई समानांतर भुजाएँ नहीं होती हैं।
निष्कर्ष
चतुर्भुजों को मोटे तौर पर अवतल और उत्तल चतुर्भुजों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उत्तल चतुर्भुजों को आगे छह प्रकारों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक का अपना विशिष्ट आकार और गुण हैं। छह प्रकार के चतुर्भुज समानांतर चतुर्भुज, समलंब, विषमकोण, आयत, समचतुर्भुज और पतंग हैं।
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