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वह रेखा जो वृत्त को उसकी परिधि पर ठीक एक बिंदु पर काटती है और कभी भी वृत्त के आंतरिक भाग में प्रवेश नहीं करती है, एक स्पर्शरेखा है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि एक रेखा जो वृत्त को स्पर्श करती है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।
वृत्त की स्पर्श रेखा क्या होती है और इसके गुणों को उदाहरण सहित समझते हैं।
वृत्त की स्पर्शरेखा क्या है?
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। आप एक वृत्त के एक बिंदु पर केवल एक स्पर्श रेखा खींच सकते हैं। जिस बिंदु पर स्पर्शरेखा वृत्त को छूती है उसे स्पर्शरेखा बिंदु (या संपर्क बिंदु) कहा जाता है। स्पर्शरेखा बिंदु(या संपर्क बिंदु) पर वृत्त की स्पर्शरेखा और त्रिज्या एक दूसरे के लंबवत होती हैं।
उपरोक्त आकृति में, रेखा खंड $\text{AB}$ केंद्र $\text{O}$ वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है। वृत्त की त्रिज्या $\text{OP}$, स्पर्शरेखा $\text{AB}$ पर लंब है, यानी $\angle \text{APO} = \angle \text{BPO} = 90^{\circ} $।
आइए अब सिद्ध करें कि स्पर्शरेखा $\text{AB}$ त्रिज्या $\text{OP}$ पर लंबवत है।
स्पर्शरेखा पर केंद्र $\text{O}$ से कुछ और रेखा खंड बनाते हैं, जो $\text{B}$ और $\text{C}$ पर मिलाती हैं।
ध्यान दें कि बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ और $\text{D}$ सभी वृत्त के बाहर स्थित हैं (बाह्य बिंदु हैं), जबकि बिंदु $ \text{P}$ वृत्त पर स्थित है।
इसलिए, $\text{OA} \gt \text{OP}$, $\text{OB} \gt \text{OP}$, $\text{OC} \gt \text{OP}$, और $\text{OD} \gt \text{OP}$, क्योंकि किसी भी बाह्य बिंदु की दूरी हमेशा वृत्त के केंद्र से एक वृत्त पर स्थित बिंदु की दूरी से अधिक होती है।
चूँकि $\text{OP}$ सभी रेखा खंडों में सबसे छोटा है, इसलिए, $\text{OP} \perp \text{AB}$।
उपरोक्त विवेचन से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
नोट: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशेष स्थिति होती है जब उसकी संगत जीवा के दो सिरे संपाती होते हैं।
स्पर्शरेखा के गुण
स्पर्शरेखा के तीन महत्वपूर्ण गुण हैं:
- स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
- स्पर्शरेखा एक ऐसी रेखा है जो वृत्त के आंतरिक भाग में कभी प्रवेश नहीं करती है।
- स्पर्शरेखा एक समकोण पर स्पर्शरेखा के बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या को स्पर्श करती है।
उपरोक्त सूचीबद्ध गुणों के अलावा, वृत्त की स्पर्शरेखा में गणितीय प्रमेय जुड़े होते हैं और उन प्रमेयों का उपयोग ज्यामिति में प्रमुख गणना करते समय किया जाता है।
किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
आइए एक वृत्त बनाएं और उसके अंदर एक बिंदु $\text{P}$ लें। क्या आप इस बिन्दु से होकर वृत्त पर स्पर्श रेखा खींच सकते हैं? आप देखेंगे कि इस बिंदु से होकर जाने वाली रेखाएँ वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं। इसलिए, किसी वृत्त के अंदर किसी बिंदु से होकर उस पर कोई स्पर्श रेखा खींचना संभव नहीं है।
इसके बाद, वृत्त पर एक बिंदु $\text{P}$ लें और इस बिंदु से होकर स्पर्श रेखाएँ खींचें। आप ऊपर देख चुके हैं कि ऐसे बिंदु पर वृत्त की केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
अंत में, बिंदु $\text{P}$ को वृत्त के बाहर ले जाएँ और इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचने का प्रयास करें। आप क्या देखते हैं? आप पाएंगे कि आप इस बिंदु से होकर वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं।
इसलिए, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ देखि गयी हैं:
- वृत्त के भीतर स्थित किसी बिंदु से गुजरने वाले वृत्त की कोई स्पर्श रेखा नहीं होती है।
- वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से गुजरने वाली वृत्त की एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
- वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से होकर वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
दो स्पर्शरेखा प्रमेय
आइए बाह्य बिंदु $\text{C}$ से एक वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें। मान लें कि संपर्क बिंदु $\text{A}$ और $\text{B}$ हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
प्रमेय कहता है कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
आइए अब उपरोक्त प्रमेय को सिद्ध करें। इसके लिए आइए $\text{C}$ को $\text{P}$ के साथ जोड़ें
$\triangle \text{OAC}$ और $\triangle \text{OBC}$ में,
$\text{OA} = \text{OA}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\text{OC} = \text{OC}$ (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = 90^{\circ}$ (संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा और त्रिज्या के बीच का कोण)
इसलिए, $\triangle \text{OAC} \cong \triangle \text{OBC}$।
अतः, $\text{AC} = \text{BC}$ (CPCT)।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- वृत्त की स्पर्श रेखा क्या होती है?
- वृत्त की छेदक रेखा क्या होती है?
- किसी बिंदु से एक वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं जब बिंदु स्थित हो
- वृत्त के अंदर
- वृत्त पर
- वृत्त के बाहर
- स्पर्श बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच के कोण का माप क्या होता है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
वृत्त की स्पर्शरेखा क्या होती है?
स्पर्शरेखा एक ऐसी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है और वृत्त के आंतरिक भाग में कभी प्रवेश नहीं करती है। एक स्पर्श रेखा और एक वृत्त की त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर एक दूसरे के लंबवत होती हैं।
वृत्त की स्पर्श रेखा के दो प्रमुख प्रमेय कौन से हैं?
वृत्त प्रमेयों के स्पर्शरेखा के दो प्रमुख प्रमेय हैं
a) वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
b) किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।
वृत्त की स्पर्श रेखाओं के गुण क्या हैं?
वृत्त की स्पर्श रेखा के प्रमुख गुण हैं
a) स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
b) स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा और त्रिज्या लंबवत होती हैं।
c) वृत्त के अंदर कभी प्रवेश नहीं करती है।
c) एक ही बाह्य बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती हैं।
निष्कर्ष
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। आप एक वृत्त के एक बिंदु पर केवल एक स्पर्शरेखा खींच सकते हैं और इस बिंदु को स्पर्शरेखा बिंदु (या संपर्क बिंदु) के रूप में जाना जाता है। वृत्त के भीतर स्थित किसी बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती और वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से समान लंबाई की दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
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