शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्थ, सूत्र और उदाहरण

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जब एक ठोस (आमतौर पर एक शंकु या एक पिरामिड) को इस तरह से काटा जाता है कि ठोस का आधार और ठोस को काटने वाला तल एक दूसरे के समानांतर हो, तो ठोस का वह हिस्सा जो समानांतर काटने वाले विमान और आधार के बीच रहता है उस ठोस के छिन्नक के रूप में जाना जाता है। एक शंकु के छिन्नक के कुछ सामान्य उदाहरण टेबल लैंप, बाल्टी, गिलास आदि की छाया हैं।

एक छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल रूप से उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है और इसे किसी अन्य आकार के क्षेत्रफल की तरह वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। यानी, इसे $m^{2}$, $cm^{2}$, $ft^{2}$, $in^{2}$, आदि में मापा जाता है।

आइए जानें कि एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें और इसकी विधियाँ और सूत्र।

शंकु का छिन्नक – एक त्रि-आयामी ठोस आकार

एक शंकु का छिन्नक एक शीर्ष के बिना शंकु का हिस्सा होता है जब शंकु को दो भागों में विभाजित किया जाता है जो शंकु के आधार के समानांतर होता है।

शंकु के छिन्नक के गुण

शंकु के छिन्नक के निम्नलिखित गुण आपको आसानी से एक गोले की पहचान करने में मदद करेंगे।

• एक शंकु के छिन्नक में संबंधित शंकु का शीर्ष नहीं होता है बल्कि शंकु का आधार होता है।
• एक शंकु का छिन्नक इसकी ऊंचाई और दो त्रिज्याओं (दो आधारों के अनुरूप) से निर्धारित होता है।
• एक शंकु के छिन्नक की ऊँचाई छिन्नक के दो आधारों के केंद्रों के बीच की लंबवत दूरी है।
• यदि शंकु एक लम्ब वृत्तीय शंकु है, तो इससे बनने वाले छिन्नक भी लम्ब-वृत्ताकार होंगे।

शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई

ऊंचाई $h$ कटे हुए शंकु के एक छिन्नक और ऊपरी (छोटे) और निचले (बड़े) आधारों की त्रिज्या को क्रमशः $r$ और $R$ के रूप में मानें।

अब एक समकोण $\triangle \text{ABC}$ पर विचार करें, जिसमें $\text{B} = 90^{\circ}$, और जहाँ, $\text{AB} = h$ (छिन्नक की ऊंचाई), $\text{BC} = \text{R} – \text{r}$ and $\text{AC} = l$।

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $l = \sqrt{\text{AB}^{2} + \text{BC}^{2}} = h^{2} + \left(\text{R} – \text{r} \right)^{2} $।

शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक शंकु के छिन्नक की सतह/सीमा द्वारा घेरा गया क्षेत्र शंकु के छिन्नक के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में जाना जाता है। इसे हमेशा वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। चूंकि इसके दो समतल आधार हैं, इस प्रकार इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के साथ-साथ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल भी है।

एक शंकु के छिन्नक के सतह क्षेत्र को “वर्ग इकाइयों की संख्या” के रूप में मापा जाता है ($cm^{2}$, $m^{2}$, $in^{2}$, $ft^{2}$, आदि।)। छिन्नक के दो प्रकार के सतह क्षेत्र होते हैं एक शंकु

• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र फलक का क्षेत्रफल होता है।

आइए शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें।

विधि 1 शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पादन   

हम एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए छिन्नक सूत्र के पृष्ठीय क्षेत्रफल (पिछले भाग से) का उपयोग करेंगे। उपरोक्त आकृति से शंकु के छिन्नक की आधार के परिमाप (वृत्तों की परिधि) हैं:

$C_{1}  = 2 \pi R$ और $C_{2} = 2 \pi r$

इन मानों को छिन्नक सूत्र के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिस्थापित करने पर,

CSA = $\frac {1}{2} \times \left(C_{1} + C_{2} \right) \times L$

CSA = $\frac {1}{2} \times \left(2 \pi \times R + 2 \pi r \right) × L$

CSA = $ \pi L \left(R + r \right)$

विधि 2 शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पादन

पुरे शंकु के वक्र का पृष्ठीय क्षत्रफल होता है  $\pi R \left(L + l \right)$।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उस छोटे शंकु का जो काटा गया है $\pi rl$।

शंकु के एक छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = पूर्ण शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – कटे हुए शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, इसलिए,   

CSA = $ \pi R \left(L + l \right) – \pi rl$ ———————————– (1)

त्रिभुज OBC और PQC समरूप हैं (समरूपता के नियम AA द्वारा) तो इसलिए,

$\frac {L + l}{l} = \frac {R}{r}$ ———————————————- (2)

$L + l = \frac {Rl}{r}$ ——————————————————— (3)

इसे (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

CSA = $\pi R \frac{Rl}{r} – \pi rl$

हमने शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक सूत्र निकाला है। अब हम इससे एक और सूत्र प्राप्त करेंगे।

(2) से, हम प्राप्त करते हैं 

 $\frac {L}{l} + 1 = \frac {R}{r} => \frac {L}{l} = \frac {R}{r} – 1 => \frac {L}{l} = \frac {R – r}{r}$

दोनों ओर का व्युत्क्रम लेने पर हमें प्राप्त होता है

$\frac {l}{L} = \frac{r}{R – r} => l = \frac {Lr}{R – r}$

इसे उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

CSA = $\pi \frac {Lr}{R – r} \times \frac {R^{2} – r^{2}}{r}$

बीजीय सूत्रों में से एक का उपयोग करना, $a^{2} – b^{2} = \left(a – b \right) \left(a + b \right)$। इस सूत्र को $R^{2} – r^{2}$ पर लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

CSA = $ \pi \frac {Lr}{R – r} \times \frac {\left(R – r \right) \left(R + r \right)}{r}$

$\text{CSA} = \pi L \left(R + r \right)$

शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

किसी शंकु या पिरामिड के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। एक शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़कर प्राप्त किया जाता है

• एक शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
• एक ऊपरी (छोटे) वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
• निचले (बड़े) वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल

जैसा कि ऊपर देखा गया है, शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है  $\pi l \left(R + r \right)$.

एक ऊपरी (छोटे) वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल = $\pi r^{2}$ और निचले (बड़े) वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल = $\pi R^{2}$।

इसलिए, एक शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है $\text{TSA} = \pi l \left(R + r \right) + \pi r^{2} + \pi R^{2}$

$\text{TSA} = \pi l \left(R + r \right) + \pi \left(r^{2} + R^{2} \right)$

उदाहरण

Ex 1: एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई $20 in$ है, बड़े आधार की त्रिज्या $25 in$ है, और तिर्यक  ऊँचाई $29 in$ है। उत्तर को $\pi$ के रूप में व्यक्त करें।

छिन्नक के बड़े आधार की त्रिज्या की लम्बाई है $R = 25 in$

मानें इसकी छोटे आधार के त्रिज्या की लम्बाई है $r$

शंकु के छिन्नक की ऊंचाई है $H = 20 in$

इसकी तिर्यक ऊँचाई है $L = 29 in$

हम जानते हैं कि, $L^{2} = H^{2} + \left(R – r \right)^{2}$

इसलिए, $29^{2} = 20^{2} + \left(25 – r \right)^{2} =>841 = 400 + \left(25 – r \right)^{2} => 441 = \left(25 – r \right)^{2}$

दोनों ओर वर्गमूल लेने पर

$21 = 25 – r => r = 4$

इस प्रकार, एक लम्ब वृत्तीय शंकु के दिए गए छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है,

TSA = $\pi L \left(R + r \right) + \pi \left(R^{2} + r^{2} \right)$

= $\pi \times 29 \times \left(25 + 4 \right) + \pi \times \left(25^{2} + 4^{2} \right) = 1482 \pi$

इसलिए, शंकु के एक छिन्नक का TSA = $1482 \pi in^{2}$.

Ex 2: एक शंकु को एक समतल द्वारा क्षैतिज रूप से काटा जाता है। छिन्नक के वृत्ताकार शीर्ष और आधार की त्रिज्या क्रमशः $10m$ और $3m$ है। छिन्नक की ऊंचाई $24m$ है। यदि शंकु की ऊँचाई 28 मी है, तो एक छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

माना त्रिज्याएँ $r_{1} = 10m$ और $r_{2} = 3m$ हैं

ऊँचाई, $h = 24m$

सबसे पहले, हमें सूत्र द्वारा छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है:

$l = \sqrt{(r_{1} + r_{2})^{2} + h^{2}} = \sqrt{ \left(10 – 3 \right)^{2} + 24^{2}} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 m$

छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल  = $\pi \left(r_{1} + r_{2} \right)l$

LSA = $\pi \left(10+3 \right) \times 25 = 325 \pi$ sq.m.

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी बड़ी और छोटी त्रिज्या $12 cm$ और $8 cm$ है। शंकु की ऊंचाई $3 cm$ है।
2. एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी बड़ी और छोटी त्रिज्या $1.5 cm$ और $0.2 cm$ है। शंकु की तिर्यक ऊंचाई $2.5 cm$ है ($\pi = 3.14$ का प्रयोग करें)
3. एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी बड़ी और छोटी त्रिज्या $25 cm$ और $12 cm$ है। शंकु की तिर्यक ऊंचाई $30 cm$ है ($\pi = 3.14$ का प्रयोग करें)

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

एक शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल छिन्नक की वक्र सतह और त्रि-आयामी स्थान में दो समतल वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल है। एक शंकु के छिन्नक के सन्दर्भ में, दो प्रकार के पृष्ठीय क्षेत्रफल होते हैं, जैसे वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

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