This post is also available in: English
त्रि-आयामी वस्तु का सतह क्षेत्रफल उसके सभी फलकों (सपाट और घुमावदार सहित) का कुल क्षेत्रफल होता है। क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों द्वारा घेरा गया कुल क्षेत्रफल होता है और यह इसके आधार के आकार पर निर्भर करता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल को $m^{2}$, $cm^{2}$, $in^{2}$, $ft^{2}$ जैसी वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
आइए जानें कि क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसकी विधियों और सूत्रों को कैसे ज्ञात किया जाए।
क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होता है?
किसी क्रकच आयत की सतह/सीमा द्वारा घेरा गया क्षेत्र को क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में जाना जाता है। इसे हमेशा वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। एक क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल को “वर्ग इकाइयों की संख्या” ($cm^{2}$, $m^{2}$, $in^{2}$, $ft^{2}$), आदि के रूप में मापा जाता है)।
चूंकि एक क्रकच आयत के दो आधार होते हैं और $n$ क्रकच आयत के क्रॉस-सेक्शन के आधार पर समानांतर चतुर्भुज फलकों की संख्या होती है, एक क्रकच आयत के दो प्रकार के पृष्ठीय क्षेत्रफल होते हैं
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
एक क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके ऊर्ध्वाधर फलकों (या पार्श्व फलकों, जो समानांतर चतुर्भुज होते हैं) का क्षेत्रफल है, यदि किसी क्रकच आयत के आधार ऊपर और नीचे होते हैं। इस प्रकार, एक क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = एक क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके ऊर्ध्वाधर फलकों (या पार्श्व फलकों, जो समानांतर चतुर्भुज होते हैं) का क्षेत्रफल है, यदि किसी क्रकच आयत के आधार ऊपर और नीचे होते हैं। इस प्रकार, एक क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $ \left( \text{Base Perimeter} \right) \times \left( \text{Height} \right)$.
एक $n$-पक्षीय बहुभुज क्रकच आयत के लिए, आधार का परिमाप $n \times s$ है, जहाँ $n$ एक बहुभुज आधार के किनारों (या भुजाओं) की संख्या है और $s$ प्रत्येक किनारे की लंबाई है।
इसलिए, क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $n \times s \times h$ द्वारा दिया जाता है,
जहाँ $n$ बहुभुज शीर्ष या आधार के किनारों (या भुजाओं) की संख्या है
$s$ बहुभुज शीर्ष या आधार के प्रत्येक किनारे (या किनारे) की लंबाई है
$h$ क्रकच आयत की ऊंचाई है
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
- क्रकच आयत का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रकच आयत के सभी फलकों का योग है। क्रकच आयत में दो प्रकार के फलक होते हैं।
- आधार और शीर्ष फलक ($n$-पक्षीय बहुभुज आकार)
- पार्श्व फलक (समानांतर चतुर्भुज आकार )
$\text{The total surface area of a Prism} = \left( \text{Lateral surface area of a prism} \right) + \left( \text{Area of the two bases} \right) $
$= \left( \text{Lateral surface area} \right) + \left(2 \times \text{Base Area} \right) \text{ or} \left(2 \times \text{Base Area} \right) + \left( \text{Base perimeter} \times \text{height} \right)$.
एक $n$-पक्षीय बहुभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है $\text{Area} = \frac {ns^{2}}{4 \tan \frac {180}{n}}$, इसलिए, प्रिज्म के दो आधारों के क्षेत्रफल की गणना $2 \times \frac {ns^{2}}{4 \tan \frac {180}{n}}$ के रूप में की जाती है
जहाँ $n$ एक बहुभुज शीर्ष या आधार के किनारों (या भुजाओं) की संख्या है
$s$ एक बहुभुज शीर्ष या आधार के प्रत्येक किनारे (या किनारे) की लंबाई है
इसलिए, क्रकच आयत के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \times \frac {ns^{2}}{4 \tan \frac {180}{n}} + n \times \times h = ns \left(\frac{2s}{4 \tan \frac {180}{n}} + h\right)$ है।
जहाँ $n$ बहुभुज शीर्ष या आधार के किनारों (या भुजाओं) की संख्या है
$s$ बहुभुज शीर्ष या आधार के प्रत्येक किनारे (या किनारे) की लंबाई है
$h$ क्रकच आयत की ऊंचाई है
उदाहरण
Ex 1: क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दिया गया क्रकच आयत एक त्रिभुजाकार क्रकच आयत है। त्रिभुजाकार आधार की भुजाएँ $5 m$, $13 m$, और $12 m$ हैं।
आधार का परिमाप = $5 + 13 + 12 = 30 m$।
क्रकच आयत की ऊँचाई h = 3 m
इसलिए, क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $30 \times 3 = 90 m^{2}$।
Ex 2: क्रकच आयत का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दिया गया क्रकच आयत एक त्रिभुजाकार क्रकच आयत है। त्रिभुजाकार आधार की भुजाएँ $3 cm$, $4 cm$, और $5 cm$ हैं।
आधार का परिमाप = $3 + 4 + 5 = 12 cm$।
क्रकच आयत की ऊँचाई h = 4 सेमी.
क्रकच आयत का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $12 \times 4 = 48 cm^{2}$।
त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल = $\frac {1}{2} \times 3 \times 4 = 6 cm^{2}$
दोनों आधारों के क्षेत्रफल का योग = $2 \times 6 = 12 cm^{2}$
इसलिए, क्रकच आयत का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $48 + 12 = 60 cm^{2}$।
Ex 3: क्रकच आयत का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दिए गए आधार का आधार एक समानांतर चतुर्भुज है।
समानांतर चतुर्भुज की लंबाई $l = 4 m$ और समानांतर चतुर्भुज की चौड़ाई $w = 2.5 m$।
समानांतर चतुर्भुज के आधार का परिमाप = $2 \left(l + w \right) = 2 \left(4 + 2.5\right) = 2 \times 6.5 = 13 m$।
क्रकच आयत की ऊँचाई $h = 2 m$
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $13 \times 2 = 26 m^{2}$।
समानांतर चतुर्भुज के आधार का क्षेत्रफल = $ \text{side} \times \text{ height} = 4 \times 2 = 8 m^{2}$।
दो आधारों के क्षेत्रफल का योग = $2 \times 8 = 16 m^{2}$.
इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $26 + 16 = 42 m^{2}$।
क्रकच आयत – एक 3D ठोस आकार
क्रकच आयत पॉलीहेड्रॉन परिवार का एक महत्वपूर्ण सदस्य है जिसके आधार और शीर्ष पर सर्वांगसम बहुभुज होते हैं। क्रकच आयत के अन्य फलक समानांतर चतुर्भुज होते हैं जिन्हें पार्श्व फलक कहा जाता है। इसका मतलब है कि क्रकच आयत का चेहरा घुमावदार नहीं होता है। एक क्रकच आयत की लंबाई के साथ एक ही अनुप्रस्थ काट (क्रॉस-सेक्शन) होता है। क्रकच आयत का नाम उनके क्रॉस-सेक्शन के आधार पर रखा गया है। क्रकच आयत का सबसे सामान्य उदाहरण धात्विक नट है।
क्रकच आयत के प्रकार
क्रकच आयतों को निम्नलिखित कारकों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है
- आधार के बहुभुज के प्रकार पर आधारित क्रकच आयत
- समान आधारों के संरेखण पर आधारित क्रकच आयत
- आधारों के आकार के आधार पर क्रकच आयत
आधार के बहुभुज के प्रकार पर आधारित क्रकच आयत निम्न दो प्रकार के हो सकते हैं।
- सम क्रकच आयत: यदि क्रकच आयत का आधार सम बहुभुज के आकार में है, तो क्रकच आयत एक सम क्रकच आयत है।
- विषम क्रकच आयत: यदि क्रकच आयत का आधार विषम बहुभुज के आकार में है, तो क्रकच आयत एक विषम क्रकच आयत है।
समान आधारों के संरेखण पर आधारित क्रकच आयत निम्नलिखित दो प्रकार के हो सकते हैं
- समकोण क्रकच आयत: एक समकोण क्रकच आयत के दो सपाट सिरे होते हैं जो आयत के आकार में सभी पार्श्व फलक के साथ पूरी तरह से संरेखित होते हैं।
- अलंबवत क्रकच आयत: एक अलंबवत क्रकच आयत झुका हुआ प्रतीत होता है जिसके दो सपाट सिरे संरेखित नहीं होते हैं और पार्श्व फलक समानांतर चतुर्भुज होते हैं।
क्रकच आयत के अनुप्रस्थ काट(क्रॉस-सेक्शन) द्वारा प्राप्त आकृति के आधार पर एक क्रकच आयत का नामकरण किया जाता है और यह निम्न प्रकारों में से कोई भी हो सकता है
- त्रिभुजाकार क्रकच आयत: जिस क्रकच आयत का आधार त्रिभुजाकार होता है वह त्रिभुजाकार क्रकच आयत कहलाता है।
- वर्गाकार क्रकच आयत: जिस क्रकच आयत के आधार वर्गाकार होते हैं, उसे वर्गाकार क्रकच आयत कहते हैं। (एक आयताकार क्रकच आयत आकार में घनाकार है)
- आयताकार क्रकच आयत: एक क्रकच आयत जिसका आधार आकार में आयताकार होता है, एक आयताकार क्रकच आयत (एक आयताकार क्रकच आयत आकार में घनाभ होता है) माना जाता है।
- समलम्बाकार क्रकच आयत: एक क्रकच आयत जिसका आधार आकार में समलम्बाकार होता है, उसे समलम्बाकार क्रकच आयत माना जाता है।
- पंचकोणीय क्रकच आयत: एक ऐसा क्रकच आयत जिसका आधार पंचकोणीय आकार का हो, पंचकोणीय क्रकच आयत कहलाता है।
- षट्कोणीय क्रकच आयत: जिस क्रकच आयत के आधार षट्कोणीय आकार के होते हैं, उसे षट्कोणीय क्रकच आयत कहते हैं।
- अष्टकोणीय क्रकच आयत: एक ऐसा क्रकच आयत जिसका आधार अष्टकोणीय आकार का हो, अष्टकोणीय क्रकच आयत कहलाता है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित क्रकच आयतों का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- उपरोक्त आकृति में क्रकच आयतों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होता है?
किसी क्रकच आयत द्वारा अधिकृत क्षेत्र की मात्रा को क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में संदर्भित किया जाता है। क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रकच आयत के आधार क्षेत्रफल और क्रकच आयत के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल की इकाई $m^{2}$, $cm^{2}$, $in^{2}$, या $ft^{2}$ में व्यक्त की जाती है।
क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
क्रकच आयत में दो प्रकार के पृष्ठीय क्षेत्रफल होते हैं।
a) पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र $\text{Perimeter of Base} \times \text{Height}$ है।
b) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र है $\left(\text{Perimeter of Base} \right) \times \text{Height} + 2 \times \left(\text{Area of the Base} \right)$
यदि क्रकच आयत का प्रकार बदल जाता है तो क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे बदल जाता है?
क्रकच आयत का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रकच आयत के आधार क्षेत्रफल और क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। विभिन्न प्रकार के क्रकच आयतों के अलग-अलग आधार होते हैं, इसलिए जैसे-जैसे क्रकच आयत का प्रकार बदलता है, क्रकच आयत का आधार बदल जाता है। यह क्रकच आयत के आधार क्षेत्रफल को बदल देता है जो बदले में क्रकच आयत के पृष्ठीय क्षेत्रफल को बदल देता है।
निष्कर्ष
एक 3D आकार (ठोस वस्तु) का पृष्ठीय क्षेत्रफल उस कुल क्षेत्रफल का एक माप है जो वस्तु की सतह घेरती है। एक क्रकच आयत में दो प्रकार के पृष्ठीय क्षेत्रफल होते हैं, अर्थात पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना $n \times s \times h$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $ ns \left(\frac{2s}{4) \tan \frac {180}{n}} + h\right)$ सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है, जहाँ क्रकच आयत के क्रमशः $n$, $s$ और $h$ किनारों की संख्या (भुजा), प्रत्येक किनारे की लंबाई और ऊंचाई हैं।
अनुशंसित पठन
- त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड – SSS, SAS, AA
- त्रिभुजों की सर्वांगसमता मानदंड – SSS, SAS, ASA, RHS
- त्रिभुज का शीर्षलंब (परिभाषा और गुण)
- त्रिभुज की माध्यिका (परिभाषा और गुण)
- त्रिभुज की रचना कैसे करें (चरण, आरेखों और उदाहरणों के साथ)
- त्रिभुज के गुण – प्रमेय और उदाहरण
- त्रिभुज के प्रकार – परिभाषा, गुण और उदाहरण
- ज्यामिति में त्रिभुज क्या है – परिभाषा, आकार और गुण
- कोणों का युग्म – परिभाषा, आरेख, प्रकार और उदाहरण
- कोणों की रचना (चांदा और परकार का उपयोग करके)
- गणित में कोणों के प्रकार (न्यूनकोण, समकोण, अधिककोण, ऋजुकोण और वृहत्तकोण)
- ज्यामिति में कोण क्या है – परिभाषा, गुण और माप
- वृत्त की स्पर्शरेखा – अर्थ, गुण, उदाहरण
- वृत्त में कोण – अर्थ, गुण और उदाहरण
- वृत्त की जीवा – परिभाषा, गुण और उदाहरण
- वृत्त कैसे बनाएं (चरणों और चित्रों के साथ)
- वृत्त क्या है – भाग, गुण और उदाहरण
- लंब समद्विभाजक की रचना कैसे करें (चरणों और उदाहरणों के साथ)
- लंब रेखा की रचना कैसे करें (चरणों और उदाहरणों के साथ)
- समानांतर रेखाएँ कैसे बनाएँ (चरणों और उदाहरणों के साथ)
- रेखा खंड की रचना कैसे करें (चरणों और उदाहरणों के साथ)
- ज्यामिति में संरेखी बिंदु क्या हैं – परिभाषा, गुण और उदाहरण
- ज्यामिति में तिर्यक रेखा क्या है – परिभाषा, गुण और उदाहरण
- ज्यामिति में समानांतर रेखाएँ क्या हैं – परिभाषा, गुण और उदाहरण
- ज्यामिति में समवर्ती रेखाएँ क्या हैं – परिभाषा, स्थितियाँ और उदाहरण
- अभिगृहीत, अवधारणा और प्रमेय के बीच अंतर
- ज्यामिति में रेखाएँ (परिभाषा, प्रकार और उदाहरण)
- 2D आकृतियाँ क्या हैं – नाम, परिभाषाएँ और गुण
- 3D आकृतियाँ – परिभाषाएँ, गुण और प्रकार
- ज्यामिति में अर्ध रेखा क्या है – परिभाषा, गुण और उदाहरण
