बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन (विधियों और उदाहरणों के साथ)

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गणित में, योग, वयकलन, गुणन और भाग चार बुनियादी संक्रियाएँ हैं। जैसे हम संख्याओं को घटाते हैं, वैसे ही हम बीजगणितीय व्यंजकों का घटाव भी कर सकते हैं। दो बीजगणितीय व्यंजकों को घटाने के लिए, हम समान पदों को घटाते हैं और फिर उन्हें एक साथ लिखते हैं।

आइए चरणों और उदाहरणों के साथ बीजगणितीय व्यंजकों के व्यवकलन की विधियों को समझते हैं।

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन क्या है?

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन संख्याओं के व्यवकलन के काफी समान है। हालाँकि, बीजगणितीय व्यंजकों को घटाते समय, आपको समान पदों को एकत्रित करना होता है और फिर उन्हें घटाना होता है। समान पदों के बीच का अंतर समान पद होगा जिसका गुणांक समान पदों के गुणांकों के समान चरों के बीच का अंतर।

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन

क्या हम $5$ पुस्तकों से $2$ कलम घटा सकते हैं? उत्तर नहीं है। हम $5$ पुस्तकों से $2$ कलम नहीं घटा सकते, क्योंकि वे दो अलग-अलग वस्तुएँ हैं। इसी प्रकार, एक बीजगणितीय व्यंजक में पदों की स्थिति में, हम दो या अधिक असमान पदों को घटा नहीं सकते।

बीजगणितीय व्यवकलन की दो विधियाँ हैं।

  • बीजगणितीय व्यवकलन की क्षैतिज विधि
  • बीजगणितीय व्यवकलन की स्तंभ विधि

बीजगणितीय व्यवकलन की क्षैतिज विधि

इस विधि में, हम सभी व्यंजकों को एक क्षैतिज रेखा में लिखते हैं और फिर समान पदों के सभी समूहों को एकत्रित करने के लिए पदों को व्यवस्थित करते हैं। इन समान पदों को फिर घटाया जाता है।

बीजगणितीय व्यवकलन की क्षैतिज विधि के स्टैप्स

ये क्षैतिज विधि का उपयोग करके दो बीजगणितीय व्यंजकों को घटाने के स्टैप्स हैं।

आइए दो बीजगणितीय व्यंजकों के द्वारा इसे समझते हैं $7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9$ और $2x^{4} + 6x^{2} + 9x – 3$ और हम $7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9$ में से $2x^{4} + 6x^{2} + 9x – 3$ को घटाना चाहते हैं, अर्थात, हम यह संक्रिया करना चाहते हैं $\left(7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9 \right) – \left(2x^{4} + 6x^{2} + 9x – 3 \right)$

स्टैप 1: दिए गए बीजगणितीय व्यंजकों को व्यवकलन चिह्न का प्रयोग करते हुए लिखिए।

$\left(7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9 \right) – \left(2x^{4} + 6x^{2} + 9x – 3 \right)$

स्टैप 2: कोष्ठक खोलिए और चिह्नों का गुणा कीजिए (कोष्ठक खोलने के लिए नियमों का प्रयोग कीजिए)।

$7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9 – 2x^{4} – 6x^{2} – 9x + 3 $

स्टैप 3: अब समान पदों को मिलाइए।

$\left(7x^{4} – 2x^{4} \right) – 2x^{3} – 6x^{2} + \left(5x – 9x \right) + \left(9 + 3 \right) $

स्टैप 4: गुणांक जोड़ें। चरों और घातांकों को समान रखें।

$5x^{4} – 2x^{3} – 6x^{2} – 4x + 12$

स्टैप 5: पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके उत्तर को पुनः लिखें।

$5x^{4} – 2x^{3} – 6x^{2} – 4x + 12$

अतः,  $\left(7x^{4} – 2x^{3} + 5x + 9 \right) – \left(2x^{4} + 6x^{2} + 9x – 3 \right) = 5x^{4} – 2x^{3} – 6x^{2} – 4x + 12$।

उदाहरण

Ex 1: $s^{2} – 5s + 13$ में से $3s^{2} – 4s + 8$ घटायें।

$\left(s^{2} – 5s + 13 \right) – \left(3s^{2} – 4s + 8 \right)$

$=s^{2} – 5s + 13 – 3s^{2} + 4s – 8$

$=\left(s^{2} – 3s^{2} \right) + \left(- 5s + 4s \right) + \left(13 – 8 \right)$

$=- 2s^{2} – 1s + 5 =- 2s^{2} – s + 5$

Ex 2: $x^{4} – 5x^{3}y + 2y^{3} – 6x^{2} + 7xy + 8$ से $8x^{4} + 8x^{3} + 6y^{3} + 9xy + 12$ को घटायें

$\left(8x^{4} + 8x^{3} + 6y^{3} + 9xy + 12 \right) – \left(x^{4} – 5x^{3}y + 2y^{3} – 6x^{2} + 7xy + 8 \right)$

$= 8x^{4} + 8x^{3} + 6y^{3} + 9xy + 12 – x^{4} + 5x^{3}y – 2y^{3} + 6x^{2} – 7xy – 8$

$= \left(8x^{4} – x^{4} \right) + 8x^{3} + \left(6y^{3} – 2y^{3} \right) + \left(9xy – 7xy \right) + \left(12 – 8 \right) + 5x^{3}y + 6x^{2}$

$= 7x^{4} + 8x^{3} + 4y^{3} + 2xy + 4 + 5x^{3}y + 6x^{2}$

$= 7x^{4} + 5x^{3}y + 8x^{3} + 4y^{3} + 6x^{2} + 2xy + 4$

Ex 3: $\left(10.9x^{2} – 5x – 3 \right)$ से $\left(13.8x^{2} + 6.2x + 5 \right)$ को घटायें

$\left(10.9x^{2} – 5x – 3 \right) – \left(13.8x^{2} + 6.2x + 5 \right)$

$= 10.9x^{2} – 5x – 3 – 13.8x^{2} – 6.2x – 5$

$= \left(10.9x^{2} – 13.8x^{2} \right) + \left(- 5x – 6.2x \right) + \left(- 3 – 5 \right)$

$= -2.9x^{2} – 11.2x – 8$

बीजगणितीय व्यवकलन की स्तम्भ विधि

इस विधि में, हम प्रत्येक व्यंजक को एक अलग पंक्ति में इस प्रकार लिखते हैं कि उनके समान पद कॉलम में एक के नीचे एक व्यवस्थित होते हैं। फिर आपको प्रत्येक स्तम्भ के पदों को घटाना है।

बीजगणितीय व्यवकलन की स्तम्भ विधि के स्टैप्स

स्तंभ विधि का उपयोग करके दो बीजगणितीय व्यंजकों के व्यवकलन के लिए ये स्टैप्स हैं।

आइए दो बीजगणितीय व्यंजकों को लेते हैं $5a^{4} + 6a^{3}b^{2} – 8b^{3} + 9a^{2}b^{2} + 12$ और $7a^{4} + 2a^{3}b^{2} + 4a^{3} – 2a^{2}b^{2} + 18$ और हम $7a^{4} + 2a^{3}b^{2} + 4a^{3} – 2a^{2}b^{2} + 18$ से $5a^{4} + 6a^{3}b^{2} – 8b^{3} + 9a^{2}b^{2} + 12$ को घटाना चाहते हैं, अर्थात, $\left(7a^{4} + 2a^{3}b^{2} + 4a^{3} – 2a^{2}b^{2} + 18 \right) – \left(5a^{4} + 6a^{3}b^{2} – 8b^{3} + 9a^{2}b^{2} + 12 \right)$

स्टैप 1: सभी व्यंजकों को एक के नीचे एक लिखें। एक स्तम्भ में सामान पद सुनिश्चित करें। यदि कोई ऐसा पद है जिसका समान पद दूसरे व्यंजक में नहीं है, तो उस स्तम्भ को खाली छोड़ दें।

स्टैप 2: प्रत्येक स्तम्भ (समान पदों) के संख्यात्मक गुणांक को घटाएं और उसके नीचे उसी कॉलम में सामान चर के बाद लिखें।

स्टैप 3: पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके उत्तर को दोबारा लिखें।

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन

अतः, उत्तर है $2a^{4} – 4a^{3}b^{2} + 4a^{3} + 8b^{3} – 11a^{2}b^{2} + 6$

पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर उत्तर होता है $- 4a^{3}b^{2} + 2a^{4} – 11a^{2}b^{2} + 4a^{3} + 8b^{3} + 6$

उदाहरण

Ex 1: $\left(13x^{2} – 4x + 8 \right)$ में से $\left(5x^{2} + 2x – 9 \right)$ घटाएं

$\left(13x^{2} – 4x + 8 \right)$ और $\left(5x^{2} + 2x – 9 \right)$ को एक के नीचे एक लिखिए।

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन

अतः, $\left(13x^{2} – 4x + 8 \right) – \left(5x^{2} + 2x – 9 \right) = 8x^{2} – 6x + 17$.

Ex 2: $\left(9m^{3} + 2mn^{2} + mn – 1 \right)$ में से $\left(2m^{3} + 3m^{2}n + 2mn – 1 \right)$ घटाएं

$\left(9m^{3} + 2mn^{2} + mn – 1 \right)$ और $\left(2m^{3} + 3m^{2}n + 2mn – 1 \right)$ को एक के नीचे एक लिखिए।

बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन

अतः, $\left(9m^{3} + 2mn^{2} + mn – 1 \right) – \left(2m^{3} + 3m^{2}n + 2mn – 1 \right) = 7m^{3} + 2mn^{2} – 3m^{2}n – mn$

बीजगणितीय व्यंजकों के व्यवकलन के लिए युक्तियाँ

  • हम एक बीजगणितीय व्यंजक में समान पदों में चरों के क्रम की अवहेलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $3a + 2b$, और, $9b + a$ दोनों समान पद हैं।
  • हम किसी भी पद के संख्यात्मक गुणांक के रूप में $1$ लिखने की उपेक्षा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $xy$ $1xy$ के समान है।
  • हम समान चरों के साथ एक लापता पद को $0$ से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, लापता पद के चर के आधार पर एक लापता पद को $0x$, $0y$, या $0xy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. निम्न बीजगणितीय व्यंजक को क्षैतिज विधि से घटाइए।
  • $-4x^{2} + xy + 8y^{2}$ में से $2x^{2} + 3xy + 5y^{2}$
  • $6x^{2} + 4xy – 2y^{2}$ में से $x^{2} + 7xy – 2y^{2}$
  • $9xy – 12y^{2}$ में से $-5x^{2} – 6y^{2}$
  • $12x^{2} + 2xy $ में से $9x^{2} – xy + 5y^{2}$
  1. स्तंभ विधि का उपयोग करके निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजक को घटाइए।
  • $-x^{2} + 5xy – 7y^{2}$ में से $6x^{2} + 13xy + 12y^{2}$
  • $2xy + 7y^{2}$ में से $x^{2} – y^{2}$
  • $15x^{2} + 10xy + 8y^{2}$ में से $10xy – y^{2}$
  • $4x^{2} + 8xy $ में से $3x^{2} + 15xy – 8y^{2}$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

बीजगणितीय पदों को घटाने का नियम क्या है?

बीजगणितीय पदों को घटाने का मूल नियम केवल समान पदों को घटाना है।

क्या हम बीजगणितीय व्यंजकों के असमान पदों को घटा सकते हैं?

नहीं, हम बीजगणितीय व्यंजकों के असमान पदों को घटा नहीं सकते। उदाहरण के लिए, $2x^{2} – y^{3}$ को और सरल नहीं किया जा सकता है।

आप समान पदों को कैसे एक साथ लिखकर और सरल करते हैं?

सभी समान पदों को एक साथ समूहित करें, समान पदों के संख्यात्मक गुणांकों को जोड़ें या घटाएं और इसके साथ सामान चर संलग्न करें।

निष्कर्ष

जैसे आप संख्याओं को घटाते और सरल करते हैं, वैसे ही बीजगणितीय व्यंजकों को भी घटाया और सरल बनाया जा सकता है। दो बीजगणितीय व्यंजकों को घटाने के लिए, हम सभी समान पदों को एक साथ लिखते हैं और फिर उन्हें घटाते हैं और फिर पदों को चरों के घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।

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