किसी संख्या का वर्गमूल (अर्थ, सूत्र और उदाहरण)

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आप एक वर्ग का क्षेत्रफल जानते हैं जो $\left(\text{side} \right) \times \left(\text{side} \right)$, जहां $\text{side}$ किनारे(या भुजा) की लंबाई है। यदि आप एक वर्ग के किनारे की लंबाई ज्ञात करना चाहते हैं जिसका क्षेत्रफल ज्ञात है। आप वो कैसे करेंगे? ऐसे मामलों में, हम एक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग का क्षेत्रफल $256 \text{cm}^2$ है, तो उसके किनारे (या भुजा) की लंबाई $16 \text{cm}$ है।

आइए समझते हैं कि किसी संख्या का वर्गमूल क्या होता है, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें और किसी संख्या के वर्गमूल के गुण क्या होते हैं।

वर्गमूल क्या है?

किसी संख्या का वर्गमूल संख्या का वह गुणनखंड होता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। वर्ग और वर्गमूल विशेष घातांक हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या $25$। जब $5$ को अपने आप से गुणा किया जाता है, तो यह गुणनफल के रूप में $25$ देता है। इसे $5 \times 5$ या $5^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ, घातांक $2$ है, और हम इसे एक वर्ग कहते हैं। अब जब घातांक $\frac{1}{2}$ है, तो इसे संख्या का वर्गमूल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\sqrt{n}=n^\frac{1}{2}$, जहां $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

किसी संख्या का वर्गमूल किसी संख्या का वर्ग करने का व्युत्क्रम संक्रिया है। किसी संख्या का वर्ग वह मान होता है जो उस संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त होता है, जबकि किसी संख्या का वर्गमूल उस संख्या को ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है जिसे वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

यदि किसी संख्या $a$ का वर्ग $b$ है, तो संख्या $b$ का वर्गमूल $a$ है।

किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें?

एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल निकालना बहुत आसान है। पूर्ण वर्ग वे धनात्मक संख्याएँ हैं जो

किसी संख्या के गुणनफल के रूप में स्वयं व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, पूर्ण वर्ग वे संख्याएँ हैं जिन्हें किसी भी पूर्णांक की पॉवर $2$ के मान के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, $9$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है, क्योंकि $3^{2} = 9$। संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हम इन चार विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।

• दोहराई गए घटाव विधि
• अभाज्य गुणनफल विधि 
• आकलन विधि

दोहराई गए घटाव विधि

यह एक बहुत ही सरल तरीका है। इस मामले में, हम वर्ग संख्याओं के गुणों में से एक का उपयोग करते हैं। इस गुण में कहा गया है कि “पहले $n$ विषम संख्याओं का योग $n^{2}$ के बराबर है“।

हम उस संख्या में से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते हैं जिसके लिए हम वर्गमूल निकाल रहे हैं, जब तक कि हम 0 तक नहीं पहुंच जाते। जितनी बार हम घटाते हैं, वह दी गई संख्या का वर्गमूल होता है। यह विधि केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं के लिए कार्य करती है। 

आइए इस विधि का उपयोग करके $36$ का वर्गमूल ज्ञात करें।

$36 – 1 = 35$

$35 – 3 = 32$

$32 – 5 = 27$

$27 – 7 = 20$

$20 – 9 = 11$

$11 – 11 = 0$

आप देख सकते हैं कि हमने $6$ बार घटाया है। इस प्रकार, $\sqrt{36} = 6$।

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा वर्गमूल

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा किसी दी गई संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करते हैं:

स्टैप 1: दी गई संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

स्टैप 2: समान गुणनखंडों के युग्म इस प्रकार बनाइए कि प्रत्येक युग्म के दोनों गुणनखंड बराबर हों।

स्टैप 3: युग्म में से एक गुणनखंड लीजिए।

स्टैप 4: प्रत्येक युग्म से एक गुणनखंड लेकर प्राप्त गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

स्टैप 5: वह गुणनफल दी गई संख्या का वर्गमूल होता है।

आइए प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखें।

उदाहरण

उदाहरण 1: $144$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

$144 का अभाज्य गुणनखंड = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{4} \times 3^{2} = \left(2^{2} \right)^{2} \times 3^{2} = 4^{2} \times 3^{2} = (4 \times 3)^{2} = 12^{2}$।

$=>\sqrt{144} = 12$।

उदाहरण 2: $324$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

$324 का अभाज्य गुणनखंड = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^{2} \times 3^{4} = 2^{2} \times (3 {2})^{ 2} = 2^{2} \times 9^{2} = \left(2 \times 9 \right)^{2} = 18^{2}$।

$=>\sqrt{324} = 18$।

आकलन विधि द्वारा वर्गमूल

अनुमान और सन्निकटन गणना को आसान और अधिक यथार्थवादी बनाने के लिए वास्तविक मूल्य के उचित अनुमान को संदर्भित करता है। यह विधि किसी दी गई संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने और उसका अनुमान लगाने में मदद करती है। इस पद्धति का उपयोग उन संख्याओं के लिए किया जाता है जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

आइए प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण

उदाहरण 1: $\sqrt{15}$ ज्ञात करें।

सबसे पहले, निकटतम पूर्ण वर्ग संख्याएं ज्ञात करें, जो $15$ से कम और अधिक हों।

ये संख्याएं हैं

$9$ नीचे की ओर से, $3 \times 3 = 9$

$16$ से ऊपर की ओर, $4 \times 4 = 16$

इसका अर्थ है कि $\sqrt{15}$ $3$ और $4$ के बीच है।

अब, हमें यह देखने की आवश्यकता है कि $\sqrt{15}$ $3$ या $4$ के करीब है या नहीं।

चूँकि, $3^{2} = 9$ और $4^{2} = 16$, इसलिए, $\sqrt{15}$ $3.5$ और $4$ के बीच है और $4$ के करीब है।

आइए हम $3.8$ और $3.9$ ($4$ के करीब की संख्या) के वर्गों को ज्ञात करें।

चूंकि $3.8^{2} = 14.44$ और $3.9^{2} = 15.21$। इसका मतलब है कि $\sqrt{15}$ $3.8$ और $3.9$ के बीच है।

अब, प्रक्रिया को दोहराएं और $3.85$ और $3.9$ के बीच जाँच करें।

इस तरह से आगे बढ़ते हुए, हम देख सकते हैं कि $\sqrt{15} = 3.872$।

नोट:

• प्रक्रिया को कितनी बार दोहराया जाता है यह आवश्यक दशमलव स्थानों की संख्या पर निर्भर करता है।
• यह एक बहुत लंबी प्रक्रिया और समय लेने वाली है।

वर्गमूल सूत्र

किसी संख्या के वर्गमूल का घातांक $\frac{1}{2}$ होता है। किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए वर्गमूल सूत्र का प्रयोग किया जाता है। हम घातांक सूत्र जानते हैं: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$।

जब $n= 2$, हम इसे वर्गमूल कहते हैं। हम वर्गमूल ज्ञात करने के लिए उपरोक्त विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि अभाज्य गुणनखंड, लंबा विभाजन, इत्यादि।

उदाहरण के लिए, $16^{\frac{1}{2}} =\sqrt{16} = \sqrt{4 \times 4} = 3$। अतः, किसी संख्या का वर्गमूल लिखने का सूत्र $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ है।

एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल

एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं हो सकता, क्योंकि एक वर्ग या तो एक धनात्मक संख्या या शून्य होता है। लेकिन सम्मिश्र संख्याओं में ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का हल होता है।

$-x$ का मूल वर्गमूल है: $\sqrt{-x} = i\sqrt{x}$। यहाँ, $i$ $-1$ का वर्गमूल है और इसे एक काल्पनिक इकाई कहा जाता है।

आइए प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण

उदाहरण 1: $-16$ का वर्गमूल।

$-16 = 16 \times\left(-1 \right)$

$\sqrt{-16} \sqrt{16 \times \left(-1 \right)} = \sqrt{16} \times i = 4i$.

उदाहरण 2: $-\frac{25}{36}$ का वर्गमूल।

$-\frac{25}{36} = \frac{25}{36} \times \left(-1 \right)$

इसलिए, $\sqrt{-\frac{25}{36}} = \sqrt{-1 \times \frac{25}{36}} = \sqrt{-1} \times \sqrt{25}{36} = i \times \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = i \times \frac{5}{6} = \frac{5}{6}i$.

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. दोहराई गए घटाव विधि का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए:
   • $25$
   • $121$
   • $196$
2. अभाज्य गुणनखंडन विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
   • $196$
   • $1296$
   • $784$
3. सन्निकटन विधि द्वारा निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
   • $31$
   • $53$
   • $90$

निष्कर्ष

किसी संख्या का वर्गमूल किसी संख्या का वह गुणनखंड होता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की $3$ विधियाँ हैं – वर्गमूल की बार-बार घटाव विधि, अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा वर्गमूल, और अनुमान विधि द्वारा वर्गमूल।

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