द्विघात समीकरणों को हल करना – सूत्र, ट्रिक्स और उदाहरण

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द्विघात समीकरण घात $2$ वाले बहुपद समीकरण हैं जो $p\left(x \right) = ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होते हैं जहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \ne 0$ हैं। द्विघात समीकरणों में दो शून्य या जड़ें होती हैं जो वास्तविक संख्या, काल्पनिक संख्या या दोनों हो सकती हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियाँ हैं। सबसे लोकप्रिय विधि गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरणों को हल कर रही है। आइए उदाहरणों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की इन विभिन्न विधियों को समझते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

समीकरण को हल करना एक समीकरण के शुन्यंक (या मूल) ज्ञात करने की एक प्रक्रिया है। शुन्यंक (या मूल) को समीकरण के हल के रूप में भी जाना जाता है। ये चर के मान हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

चूंकि एक द्विघात समीकरण घात-$2$ का समीकरण है, इसमें अधिकतम $2$ वास्तविक मूल हो सकते हैं, अर्थात, एक द्विघात समीकरण में निम्नलिखित में से कोई एक हो सकता है

• शुन्य वास्तविक मूल 
• एक वास्तविक मूल (या दो बराबर वास्तविक मूल)
• दो वास्तविक मूल (या दो असमान वास्तविक मूल)

नोट: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ या ‘एक वास्तविक मूल’ शब्दों का अर्थ यह नहीं है कि द्विघात समीकरण में $0$ या $1$ मूल हो सकते हैं। एक द्विघात समीकरण में हमेशा $2$ के मूल होते हैं, जहाँ

• दोनों वास्तविक हैं
• एक वास्तविक है और एक अवास्तविक है
• दोनों अवास्तविक हैं

द्विघात समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियां हैं। सबसे आम विधियाँ हैं:

• ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना
• गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना
• पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरणों को हल करना
• द्विघात समीकरणों को द्विघात सूत्र द्वारा हल करना

इन विधियों के अलावा, कुछ अन्य विधियाँ भी हैं जिनका उपयोग केवल विशिष्ट मामलों में किया जाता है (जब द्विघात समीकरण में पद गायब होते हैं) जिनकी चर्चा बाद के खंडों में की जाती है।

ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

समीकरण के $x$-अवरोधन बिंदु हैं, जहां इसकी वक्र $x$-अक्ष को पार करती है। इन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $x$ के मान हैं जिसके लिए $y$ $0$ है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि $x$- $x$-इंटरसेप्ट के $x$-निर्देशांक शुन्याँक या समीकरण के मूल हैं।

इस प्रकार किसी भी समीकरण के मूल या शुन्याँक ज्ञात करने के लिए, हम उस समीकरण को ग्राफ़ कर सकते हैं और इसके $x$-अवरोधन को नोट कर सकते हैं।

ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, हमें पहले द्विघात व्यंजक (जब समीकरण मानक रूप में हो) का आलेख मैन्युअल रूप से या ग्राफीय कैलकुलेटर का उपयोग करके करना होगा। तब आलेख का $x$-अवरोधन नोट किया जाता है।

ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के ये स्टैप्स हैं।

स्टैप 1: समीकरण को $y = ax^{2} + bx + c$ के रूप में व्यक्त करें

स्टैप 2: द्विघात व्यंजक का आलेख बनाएँ

स्टैप 3: $x$-अवरोधन की पहचान करें

स्टैप 4: द्विघात समीकरण के मूल $x$-अवरोधन हैं

उदाहरण

Ex 1: ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ को हल करें।

समीकरण को मानक रूप में लिखिए $x^{2} + 10  = 7x => x^{2} – 7x + 10  = 0$

अब, इसे फलन $f\left(x \right) = x^{2} – 7x + 10$ के रूप में व्यक्त करके और इसका ग्राफ बनाइये

उपरोक्त छवि से हमें पता चलता है कि द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ के $x$-अवरोधन $\left( 2, 0 \right)$ और $\left(5, 0 \right)$ हैं, इसलिए, द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ के मूल $2$ और $5$ हैं।

नोट: द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ के दो वास्तविक असमान मूल हैं।

Ex 2: ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरण $x^{2} – 8x + 16$ को हल करें।

दिए गए समीकरण को फलन $f\left(x \right) = x^{2} – 8x + 16$ के रूप में व्यक्त करें और इसका ग्राफ बनाइये।

उपरोक्त छवि से हम देखते हैं कि द्विघात समीकरण $x^{2} – 8x + 16$ का $x$-अवरोधन $\left(4, 0 \right)$ है, इसलिए, द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ का मूल $4$ है।

नोट: द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ के दो वास्तविक समान मूल हैं।

Ex 3: ग्राफीय विधि द्वारा द्विघात समीकरण $2x^{2} – 3x + 3$ को हल करें।

दिए गए समीकरण को फलन $f\left(x \right) = 2x^{2} – 3x + 3$ के रूप में व्यक्त करें और इसका ग्राफ बनाइये।

उपरोक्त छवि से हम देखते हैं कि द्विघात समीकरण $2x^{2} – 3x + 3$ का कोई $x$-अवरोधन नहीं है, इसलिए, द्विघात समीकरण $x^{2} + 10 = 7x$ $4$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

गुणनखंड द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

गुणनखंड द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली लोकप्रिय विधियों में से एक है। ये गुणनखंडन विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के स्टैप्स हैं।

स्टैप 1: समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित करें। यानी, समीकरण के एक तरफ (आमतौर पर बाईं तरफ) की सभी पदों को लिखें और दूसरी दूसरी ओर $0$ 

स्टैप 2: द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन करें

स्टैप 3: प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके समीकरण बनायें 

स्टैप 4: प्राप्त समीकरणों में से प्रत्येक को हल करें

उदाहरण

Ex 1: द्विघात समीकरण $x^{2} – 2x – 24$ को गुणनखंड विधि से हल करें।

$x^{2} – 2x – 24 = 0$

समीकरण के LHS का गुणनखण्ड करने पर, हम पाते हैं

$x^{2} + 4x – 6x – 24 = 0$

$=>x\left(x + 4 \right) – 6\left(x + 4 \right) = 0$

$=>\left(x + 4 \right) \left(x – 6 \right) = 0$

$=>x + 4 = 0 \text{ or } x – 6 = 0$

$=>x = -4 \text{ or } x = 6$

इसलिए, द्विघात समीकरण $x^{2} – 2x – 24$ के मूल $-4$ और $6$ हैं।

नोट: द्विघात समीकरण $x^{2} – 2x – 24$ के दो वास्तविक समान मूल हैं।

Ex 2: गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण $x^{2} – 10x + 25$ को हल करें।

$x^{2} – 10x + 25$

समीकरण के LHS का गुणनखण्ड करने पर, हम पाते हैं

$x^{2} – 5x – 5x + 25 = 0$

$=>x\left(x – 5 \right) -5\left(x – 5\right) = 0$

$=>\left(x – 5\right) \left(x – 5 \right) = 0$

$=>\left(x – 5\right)^{2} = 0$

$=>x – 5 = 0 => x = 5$

इसलिए, द्विघात समीकरण $x^{2} – 10x + 25$ का मूल $5$ है।

नोट: द्विघात समीकरण $x^{2} – 10x + 25$ के दो वास्तविक समान मूल हैं।

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरणों को हल करना

वर्ग को पूरा करने का अर्थ है द्विघात व्यंजक $ax^{2} + bx + c$ को $a \left(x – h \right)^{2} + k$ (जिसे शीर्ष रूप भी कहा जाता है) के रूप में लिखना। जहां $x = h$ को $ax^{2} + bx + c$ में प्रतिस्थापित करके $h = -\frac{b}{2a}$ और $k$ प्राप्त किया जा सकता है। ये गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के स्टैप्स हैं।

स्टैप 1: समीकरण को मानक रूप में प्राप्त करें।

स्टैप 2: बाईं ओर के वर्ग को पूरा करें।

स्टैप 3: दोनों तरफ वर्गमूल लेकर $x$ के लिए इसे हल करें।

उदाहरण

Ex 1: पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण $x^{2} + 5x – 7$ को हल करें।

$x^{2} + 5x – 7 = 0$

$=>x^{2} + 2  \times x \times \frac{5}{2} – 7 = 0$

$=>x^{2} + 2  \times x \times \frac{5}{2} + \left( \frac{5}{2}\right)^{2} – \left( \frac{5}{2}\right)^{2} – 7 = 0$

(जोड़ें और घटाएं) $+ \left( \frac{5}{2}\right)^{2}$)

$=>\left(x^{2} + 2  \times x \times \frac{5}{2} + \left( \frac{5}{2}\right)^{2} \right) – \left( \frac{5}{2}\right)^{2} – 7 = 0$

$=>\left(x + \frac{5}{2} \right)^{2} – \frac{53}{4} = 0$

$=>\left(x + \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{53}{4}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करें

$=>x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{53}{4}}$

$=>x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{53}}{2}$

$=>x  = – \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{53}}{2}$

$=> x = \frac{5 \pm \sqrt{53}}{2}$

अतः, $x = \frac{5 + \sqrt{53}}{2}$, $x = \frac{5 – \sqrt{53}}{2}$

Ex 2: पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण $x^{2} – 2x – 24$ को हल करें।

$x^{2} – 2x – 24 = 0$

$=>x^{2} – 2 \times x \times 1 – 24 = 0$

$=>x^{2} – 2 \times x \times 1 + 1^{2} – 1^{2} – 24 = 0$

$=>\left(x^{2} – 2 \times x \times 1 + 1^{2} \right) – 1 – 24 = 0$

$=>\left(x – 1\right)^{2} – 25 = 0$

$=>\left(x – 1\right)^{2} = 25$

दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करें

$x – 1 = \pm \sqrt{25}$

$=> x – 1 = \pm 5$

$=> x = 1 \pm 5$

$=> x = 1 + 5$ or $=> x = 1 – 5$

$=> x = 6$ or $=> x = -4$

Ex 3: पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण $2x^{2} + 8x + 3 = 0$ को हल करें।

$2x^{2} + 8x + 3 = 0$

$=>2\left(x^{2} + 4x \right) + 3 = 0$

$=>2\left(x^{2} + 2 \times x  \times 2\right) + 3 = 0$

$=>2\left(x^{2} + 2 \times x  \times 2 + 2^{2} – 2^{2}\right) + 3 = 0$

$=>2\left(x^{2} + 2 \times x  \times 2 + 2^{2} \right) – 2 \times 2^{2} + 3 = 0$

$=>2\left(x + 2\right)^{2} – 8 + 3 = 0$

$=>2\left(x + 2\right)^{2} – 5 = 0$

$=>2\left(x + 2\right)^{2} = 5$

$=>\left(x + 2\right)^{2} = \frac {5}{2}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करें

$=>x + 2 = \pm \sqrt{\frac {5}{2}}$

$=>x + 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$=>x + 2 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$=>x = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$=>x = -2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$, $=>x = -2 – \frac{\sqrt{10}}{2}$

$=> x = \frac{-4 + \sqrt{10}}{2}$, $=> x = \frac{-4 – \sqrt{10}}{2}$

द्विघात सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

जैसा कि ऊपर देखा गया है कि द्विघात समीकरणों को हल करने की अन्य विधियों की कुछ सीमाएँ हैं जैसे कि गुणनखंड विधि तभी उपयोगी होती है जब द्विघात व्यंजक गुणनखंडनीय हो, रेखांकन विधि तभी उपयोगी होती है जब द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हों, आदि।

परन्तु द्विघात समीकरणों को द्विघात सूत्र द्वारा हल करना इन सभी सीमाओं को पार कर जाता है और किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए उपयोगी है। ये द्विघात समीकरणों को द्विघात सूत्र द्वारा हल करने के स्टैप्स हैं।

स्टैप 1: दिए गए समीकरण को मानक रूप में प्राप्त करें।

स्टैप 2: $ax^{2} + bx + c = 0$ के साथ समीकरण की तुलना करें और $a$, $b$, और $c$ के मान ज्ञात करें।

स्टैप 3: मानों को द्विघात सूत्र में प्रतिस्थापित करें जो कहता है $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$।

स्टैप 4: सरल करें और $x$ का मान प्राप्त करें 

द्विघात सूत्र की व्युत्पत्ति

द्विघात समीकरण का मानक रूप है $ax^{2} + bx + c = 0$.

दोनों पक्षों को $a$ से भाग देने पर, हम पाते हैं $x^{2} + \frac {b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$=>x^{2} + 2 \times x \times \frac {b}{2a} x + \frac{c}{a} = 0$

$=>x^{2} + 2 \times x \times \frac {b}{2a}  = – \frac{c}{a}$

$\left(\frac {b}{2a} \right)^{2}$ जोड़ने और घटाने पर

$=>x^{2} + 2 \times x \times \frac {b}{2a}  + \left(\frac {b}{2a} \right)^{2} = – \frac{c}{a} + \left(\frac {b}{2a} \right)^{2}$

$=> \left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} = \frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करने पर

$=> x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$

$=> x = – \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$

$=> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$, और यह द्विघात सूत्र है।

नोट: $b^{2} – 4ac$ को द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहा जाता है और इसे $\text{D}$ या $\triangle$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण

Ex 1: द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण $2x^{2} + 9x + 7$ को हल करें।

द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c$ के मानक रूप के साथ $2x^{2} + 9x + 7$ की तुलना करने पर, हमें $a = 2$, $b = 9$, और $c = 7$ मिलता है।

द्विघात सूत्र है $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$

 सूत्र में $a$, $b$, और $c$ के मानों को प्रतिस्थापित करें

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^{2} – 4 \times 2 \times 7}}{2 \times 2}$

$=>x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 – 56}}{4}$

$=>x = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{4}$

$=>x = \frac{-9 \pm 5}{4}$

$=>x = \frac{-9 + 5}{4}$, $=>x = \frac{-9 – 5}{4}$

$=>x = \frac{-4}{4}$, $=>x = \frac{-14}{4}$

$=>x = -1$, $=>x = -\frac{7}{2}$

द्वि-द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

द्वि-द्विघात समीकरण, जिसे चतुर्थांश समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0$ के रूप का एक समीकरण है। ऐसे समीकरणों की घात $4$ है।

एक द्वि-द्विघात समीकरण को हल करने की विधियों में से एक यह है कि इसे एक द्विघात समीकरण में घटा दिया जाए और फिर समीकरण को हल करने के लिए उपर्युक्त विधियों में से किसी का भी उपयोग किया जाए।

आइए एक द्विघात समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण

Ex 1: Solve $x^{4} – 2x^{2} – 24$

$x^{4} – 2x^{2} – 24$ एक द्वि-द्विघात समीकरण है क्योंकि समीकरण की घात $4$ है

दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है $\left(x^{2} \right)^{2} – 2x^{2} – 24$

$x^{2}$ को $u$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें $u^{2} – 2u – 24$ मिलता है

$u^{2} – 2u – 24$ एक द्विघात समीकरण है।

आइए इस समीकरण को गुणनखंडन विधि से हल करें।

$u^{2} – 2u – 24 = 0$

$=>u^{2} – 6u  + 4u – 24 = 0$

$=>u \left(u – 6 \right)  + 4 \left(u – 6 \right) = 0$

$=>\left(u – 6 \right) \left(u + 4 \right) = 0$

$=> u – 6 = 0$ or $u + 4 = 0$

$=> u = 6$ or $u = -4$

जब $u = 6$

$x^{2} = 6 => x = \pm \sqrt{6} => x = \sqrt{6}$, $x = -\sqrt{6}$

जब $u = -4$

$x^{2} = -4 => x = \pm \sqrt{-4}$ which are imaginary values

अतः, $x^{4} – 2x^{2} – 24$ has two real roots: $x = \sqrt{6}$, $x = -\sqrt{6}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. ग्राफीय विधि का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए

• $x^{2} – 2x + 35$
• $x^{2} – 18x + 81$
• $2x^{2} + x + 5$

2. निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को गुणनखंडन विधि से हल कीजिए

• $2x^{2} – x – 6$
• $3x^{2} – 7x – 6$

3. पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए

• $3x^{2} + 5x – 1$
• $x^{2} – 4x + 3$

4. द्विघात सूत्र का प्रयोग करके निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए

• $x^{2} – 7x + 9$
• $3x^{2} + 12x + 7$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

द्विघात समीकरणों को हल करने का अर्थ है उनके हल या मूल ज्ञात करना। मूलों को द्विघात समीकरण का शुन्याँक भी कहा जाता है। किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, हमेशा दो मूल होते हैं, जो वास्तविक, एक वास्तविक और एक अवास्तविक, या दोनों अवास्तविक हो सकते हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के सबसे लोकप्रिय तरीके ग्राफीय, गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करना और द्विघात सूत्र का उपयोग करना हैं।

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