त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड – SSS, SAS, AA

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सामान्य तौर पर दो वस्तुएं समान होती हैं यदि वे एक जैसी दिखती हैं। आम आदमी के शब्दों में, समान आकार वाली वस्तुएं, चाहे उनका आकार समान हो या न हो, आमतौर पर समान कहलाती हैं। गणित में, यह काफी भिन्न है। गणित में, दो वस्तुएं समान होती हैं जब उनके आकार समान होते हैं परन्तु उनके माप भिन्न होते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड

आइए त्रिभुजों की समरूपता क्या है और त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड को उदाहरणों सहित समझते हैं।

समरूप त्रिभुज क्या हैं?

दो त्रिभुज समरूप होंगे यदि संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समान अनुपात या समानुपात में हों। समरूप त्रिभुजों में त्रिभुजों की भुजाओं की अलग-अलग लंबाई हो सकती है परन्तु उनके कोण बराबर होने चाहिए और भुजाओं की लंबाई का उनका संगत अनुपात समान होना चाहिए। यदि दो त्रिभुज समरूप हैं तो इसका अर्थ है,

  • त्रिभुजों के सभी संगत कोण युग्म बराबर होते हैं।
  • त्रिभुजों की सभी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड

उपरोक्त चित्र में, दो त्रिभुज $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{XYZ}$ समरूप हैं। समरूपता दर्शाने के लिए हम ‘$\sim$’ चिह्न का उपयोग करते हैं। इसलिए, यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो हम इसे $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ}$ के रूप में दिखाते हैं।

समरूप त्रिभुज सूत्र

दो शर्तें हैं जिनका उपयोग करके हम सत्यापित कर सकते हैं कि दिया गया त्रिभुजों का समूह समरूप है या नहीं। इन शर्तों के अनुसार, दो त्रिभुजों को समरूप कहा जा सकता है यदि या तो उनके संगत कोण बराबर या सर्वांगसम हों या यदि उनकी संगत भुजाएँ समानुपात में हों। इसलिए, दो त्रिभुज $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{XYZ}$ को समरूप सिद्ध किया जा सकता है $\left( \triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ} \right) $ समान त्रिभुज सूत्रों के निम्नलिखित सेट के बीच किसी भी स्थिति का उपयोग करके

  • AA (कोण कोण): यदि त्रिभुज के कोई भी दो कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं।
  • SAS (भुजा कोण भुजा): यदि दो त्रिभुजों की भुजाओं के दो युग्म समान अनुपात में हों और उनमें सम्मिलित कोण भी बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
  • SSS (भुजा भुजा भुजा): यदि दो त्रिभुजों की भुजाओं के तीन युग्म समान अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

AA (या AAA) या कोण-कोण समरूपता मानदंड

AA समरूपता कसौटी बताती है कि यदि एक त्रिभुज में कोई दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के किन्हीं दो कोणों के बराबर हैं, तो वे समरूप त्रिभुज होने चाहिए। AA समरूपता नियम तब लागू होता है जब हमें केवल कोणों की माप पता होती है और त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के बारे में कोई जानकारी नहीं होती है।

त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड

उपरोक्त चित्र में, यदि यह ज्ञात है कि $\angle \text{A} = \angle \text{D}$, और $\angle \text{B} = \angle \text{E}$.

तो हम कह सकते हैं कि AA समरूपता मानदंड के अनुसार, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DEF}$ समरूप हैं या $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{ABC} $।

इसका अर्थ है, $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{BC}}{\text{EF}} = \frac{\text{CA}}{\text {FD}}$ और $\angle \text{C} = \angle \text{F}$।

SAS या भुजा-कोण-भुजा समरूपता मानदंड

SAS समरूपता मानदंड बताता है कि यदि पहले त्रिभुज की कोई भी दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के सटीक अनुपात में हैं और अलग-अलग त्रिभुजों की इन दोनों भुजाओं द्वारा निर्मित कोण बराबर हैं, तो वे समान त्रिभुज होने चाहिए। यह नियम आम तौर पर तब लागू होता है जब हम क्रमशः दोनों त्रिभुजों में केवल दो भुजाओं का माप और उन दोनों भुजाओं के बीच बने कोण को जानते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड

उपरोक्त चित्र में यदि यह ज्ञात है कि $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{CA}}{\text{FD}}$, और $\angle \text{A} = \angle \text {D} $।

और हम कह सकते हैं कि SAS समरूपता मानदंड के अनुसार, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DEF}$ समरूप हैं या $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{DEF} $।

SSS या भुजा-भुजा-भुजा समरूपता मानदंड

SSS समरूपता कसौटी बताती है कि दो त्रिभुज एक दूसरे के समरूप होंगे यदि दोनों त्रिभुजों की सभी भुजाओं का संगत अनुपात बराबर हो। इस मानदंड का आमतौर पर उपयोग तब किया जाता है जब हमारे पास केवल त्रिभुज की भुजाओं का माप होता है और त्रिभुज के कोणों के बारे में कम जानकारी होती है।

त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड

उपरोक्त चित्र में यदि यह ज्ञात है कि $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{BC}}{\text{EF}} = \frac{\text{ CA}}{\text{FD}}$, तो हम कह सकते हैं कि SSS समरूपता मानदंड के अनुसार, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DEF}$ समरूप हैं या $\triangle \text {ABC} \sim \triangle \text{DEF}$।

समरूप त्रिभुज और सर्वांगसम त्रिभुज के बीच अंतर

समरूपता और  सर्वांगसमता त्रिभुजों के दो अलग-अलग गुण हैं। समरूप त्रिभुजों और सर्वांगसम त्रिभुजों में निम्नलिखित अंतर हैं।

समरूप त्रिभुजसर्वांगसम त्रिभुज
समान त्रिभुजों का आकार समान होता है लेकिन आकार में भिन्न हो सकते हैं। आवर्धित या विवर्धित होने पर वे एक-दूसरे पर आरोपित हो जाते हैं।सर्वांगसम त्रिभुज आकार और आकार में समान होते हैं। वे अपने मूल आकार में एक दूसरे को आरोपित करते हैं।
उन्हें प्रतीक $’\sim’$ का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, समरूप त्रिभुज $\text{ABC}$ और $\text{XYZ}$ को $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ}$ के रूप में दर्शाया जाएगा।उन्हें प्रतीक $’\cong’$ का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, सर्वांगसम त्रिभुज $\text{ABC}$ और $\text{XYZ}$ को $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ के रूप में दर्शाया जाएगा।
समरूप त्रिभुजों में सभी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इस उभयनिष्ठ अनुपात को समरूप त्रिभुजों में ‘स्केल गुणक’ भी कहा जाता है।सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 1 के बराबर होता है।

मुख्य बिंदु

  • यदि दो त्रिभुज समरूप हैं या उपरोक्त किसी भी मानदंड से समरूप सिद्ध होते हैं, तो उनमें समरूप त्रिभुजों के कुछ गुण होते हैं। समरूप त्रिभुजों के निम्नलिखित गुण हैं
  • समरूप त्रिभुजों का आकार समान परन्तु माप भिन्न होता है।
  • समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं।
  • समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
  • समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के किसी युग्म के वर्ग के अनुपात के समान होता है। 

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. गणित में आकृतियों की समरूपता का क्या अर्थ है?
  2. त्रिभुजों की समरूपता का क्या अर्थ है?
  3. AA समरूपता कसौटी को समझाइए।
  4. SAS समरूपता कसौटी को समझाइए।
  5. SSS समरूपता कसौटी को समझाइए। 

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

ज्यामिति में समरूप त्रिभुजों का क्या अर्थ है?

ज्यामिति में, समरूप त्रिभुज ऐसे त्रिभुज होते हैं जो आकार में समान होते हैं, परन्तु माप में समान नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, सभी समबाहु त्रिभुज समरूप त्रिभुज होते हैं क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज में $60^{\circ}$ के तीन कोण होते हैं परन्तु भुजाओं की लंबाई अलग होती है। 

तीन समरूपता के त्रिभुज प्रमेय कौन से हैं?

त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करने के लिए जिन तीन प्रमेयों का प्रयोग किया जाता है, वे हैं
a) AA (या AAA) या कोण-कोण समरूपता प्रमेय
b) SAS या भुजा-कोण-भुजा समरूपता प्रमेय
c) SSS या भुजा-भुजा-भुजा समरूपता प्रमेय

समरूप त्रिभुजों के गुण क्या हैं?

दो समरूप त्रिभुजों के महत्वपूर्ण गुण हैं
a) दो समरूप त्रिभुजों का आकार समान होता है परन्तु उनके माप भिन्न हो सकते हैं।
b) समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं।
c) समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।

निष्कर्ष

ज्यामिति में, समरूप त्रिभुज ऐसे त्रिभुज होते हैं जो आकार में समान होते हैं, परन्तु माप में समान नहीं होते हैं। जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करने के लिए जिन तीन नियमों का प्रयोग किया जाता है वे हैं AA, SAS और SSS समरूपता नियम।

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