त्रिभुज के गुण – प्रमेय और उदाहरण

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त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन कोण, तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष होते हैं। त्रिभुज के गुण दिए गए आकृतियों के समूह से त्रिभुज को आसानी से पहचानने में हमारी मदद करते हैं।

आइए त्रिभुजों के उन गुणों को समझते हैं जो उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।

त्रिभुज के गुण

त्रिभुज के गुण हमें त्रिभुज की विभिन्न भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों की पहचान करने में मदद करते हैं। त्रिभुज के कुछ महत्वपूर्ण गुण इस प्रकार हैं।

• कोण योग गुण
• त्रिभुज असमानता गुण 
• पाइथागोरस गुण 
• बाह्य कोण गुण 
• सर्वांगसम गुण
• समरूपता गुण

कोण योग गुण

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। कोण योग गुण का उपयोग अज्ञात आंतरिक कोण की माप ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब अन्य दो कोणों के मान ज्ञात होते हैं।

किसी भी बहुभुज के लिए कोण योग गुण सूत्र $\text{S} = \left(n − 2 \right) \times 180^{\circ}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां $n$ बहुभुज में भुजाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है . बहुभुज का यह गुण बताता है कि बहुभुज में आंतरिक कोणों का योग उसके अंदर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या की सहायता से पाया जा सकता है।

त्रिभुज के सन्दर्भ में, $n = 3$, इसलिए त्रिकोण के लिए सूत्र बन जाता है $\text{S} = \left(3 – 2 \right) \times 180^{\circ} = 1 \times 180^ {\circ} = 180^{\circ}$।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{LMN}$ में, $\angle \text{L} + \angle \text{M} + \angle \text{N} = 180^{\circ}$।

त्रिभुज असमानता गुण

त्रिभुज असमानता प्रमेय कहता है, “त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा से अधिक होता है और किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर उसकी तीसरी भुजा से कम होता है।” यह प्रमेय हमें यह पहचानने में मदद करता है कि दिए गए मापों के साथ एक त्रिभुज बनाना संभव है या नहीं, वास्तव में रचना किए बिना।

भुजाओं की लंबाई $a$, $b$ और $c$ वाले त्रिभुज के लिए, 

• $a + b \gt c$
• $b + c \gt a$
• $c + a \gt b$
• $|a – b| \lt c$
• $|b – c| \lt a$
• $|c – a| \lt b$

पाइथागोरस गुण

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। गणितीय रूप से, इसे $\left( \text{Hypotenuse} \right)^{2}= \left( \text{Base} \right)^{2} + \left( \text{Altitude} \right)^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है, $\text{B}$ पर समकोण है, जहाँ

• $\text{CA}$ कर्ण है
• $\text{BC}$ आधार है
• $\text{AB}$ ऊँचाई है

इसलिए, पाइथागोरस गुण के अनुसार, $\text{CA}^{2} = \text{BC}^{2} + \text{AB}^{2}$।

बाह्य कोण गुण

बाह्य कोण प्रमेय कहता है कि एक बाह्य कोण का माप त्रिभुज के दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। किसी भी आंतरिक कोण का बाह्य कोण और आंतरिक कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

उपरोक्त चित्र में, त्रिभुज के आंतरिक कोण $\angle \text{A}$, $\angle \text{B}$, और $\angle \text{C}$ हैं, और उनके संबंधित बाहरी कोण $ हैं \text{Ext} \angle \text{A}$, $\text{Ext} \angle \text{B}$, और $\text{Ext} \angle \text{C}$।

नोट: आंतरिक कोण और इसके संगत बाह्य कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

सर्वांगसम गुण

सर्वांगसमता गुण के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम (समान) कहलाते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हों।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DEF}$ में, यदि $\text{AB} = \text{EF}$, $\text{BC} = \text {FD}$, $\text{CA} = \text{DE}$ और $\angle \text{C} =\angle \text{D}$, $\angle \text{A} =\angle \text {E}$, $\angle \text{B} =\angle \text{F}$, तो हम कहते हैं कि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{DEF}$ या $\triangle \text{ABC}$, $\triangle \text{DEF}$ के अनुरूप है।

समरूपता गुण

समरूपता गुण के अनुसार, दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके सभी संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{DEF}$ में, यदि $\frac{\text{AB}}{\text{EF}} =\frac{\text {BC}}{\text{FD}} = \frac{\text{CA}}{\text{DE}}$ और $\angle \text{C} =\angle \text{D}$, $\ angle \text{A} =\angle \text{E}$, $\angle \text{B} =\angle \text{F}$, तो हम कहते हैं कि $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{DEF}$ या $\triangle \text{ABC}$, $\triangle \text{DEF}$ के समरूप है। 

अभ्यास के लिए प्रश्न

त्रिभुज के निम्नलिखित गुणों की व्याख्या कीजिए

• कोण योग गुण 
• त्रिभुज असमानता गुण
• पाइथागोरस गुण
• बाह्य कोण गुण
• सर्वांगसम गुण
• समरूपता गुण

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

तीन भुजाओं वाली एक आकृति जिसे आमतौर पर त्रिभुज कहा जाता है, में तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं। सभी त्रिभुज पाँच गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो कोण योग गुण, त्रिभुज असमानता गुण, बाह्य कोण गुण, सर्वांगसम गुण और समरूपता गुण हैं। समकोण त्रिभुज पाइथागोरस के गुण को भी प्रदर्शित करते हैं। 

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