प्रायिकता में पोइसन बंटन क्या है – परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

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कई वर्षों में, सांख्यिकीविदों ने देखा कि समिष्ट और न्यायदर्श के आंकड़े अक्सर बहुत समान पैटर्न बनाते हैं। उदाहरण के लिए, बंटन के बाहरी किनारों पर कम, अधिकाँश आंकड़ों का ‘मध्य’ मानों के आसपास समूहीकृत होना, आदि। इन पैटर्नों को ‘बंटन’ के रूप में जाना जाता है, क्योंकि वे वर्णन करते हैं कि संभावित मानों की सीमा में आँकड़े कैसे ‘वितरित’ किये जाते हैं।

किसी विशेष अनुप्रयोग या वातावरण के अनुकूल सांख्यिकी में कई प्रकार के बंटन होते हैं। सांख्यिकी में कुछ सबसे सामान्य प्रकार के बंटन  नॉर्मल या गॉसियन बंटन, बर्नौली बंटन, द्विपद बंटन, पोइसन बंटन, घातीय बंटन, गामा बंटन और वीबुल बंटन हैं।

आइए उदाहरण के साथ समझें कि पोइसन बंटन और  उपयोग किए जाने वाले सूत्र क्या हैं?

प्रायिकता में पोइसन बंटन क्या है?

फ्रांसीसी गणितज्ञ डेनिस पोइसन के नाम पर रखा गया पोइसन बंटन एक सैद्धांतिक असतत प्रायिकता है। इसे पोइसन बंटन प्रायिकता द्रव्यमान फलन के रूप में भी जाना जाता है। पोइसन बंटन का उपयोग स्थिर माध्य दर के साथ समय के एक निश्चित अंतराल में घटित होने वाली एक स्वतंत्र घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, पोइसन बंटन का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जाता है कि किसी निश्चित समयावधि में कितनी बार घटना होने की संभावना है। $\lambda$ पोइसन दर पैरामीटर है जो निश्चित समय अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या के अपेक्षित मूल्य को इंगित करता है। पोइसन बंटन का व्यवसाय के साथ-साथ जीव विज्ञान के क्षेत्र में व्यापक उपयोग है।

पोइसन बंटन द्विपद बंटन के एक सीमित मामले के रूप में प्रयोग किया जाता है जब परीक्षण अनिश्चित काल के लिए बड़े होते हैं। यदि एक पोइसन बंटन समान द्विपद परिघटना को प्रतिरूपित करता है, $\lambda$ को $np$ से बदल दिया जाता है।

पोइसन बंटन के उदाहरण

सामान्य तौर पर, पोइसन बंटन अक्सर गणना के आंकड़ों के लिए उपयुक्त होते हैं। गणना के आंकड़े उन मानों से बना होता है जो घनात्मक पूर्णांक होते हैं (अर्थात, संख्याएँ जो गिनती के लिए उपयोग की जाती हैं, जैसे $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, इत्यादि)।

प्रायिकता में पोइसन बंटन क्या है
  • पोइसन बंटन के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं।
  • प्रति घंटा टेक्स्ट मेसेजस 
  • प्रति हेक्टेयर मवेशियों की संख्या  
  • प्रति वर्ष मशीन में आई त्रुटियां  
  • प्रति माह वेबसाइट आगंतुक
  • प्रति वर्ष इन्फ्लुएंजा के मामले

पोइसन बंटन की विशेषताएं

पोइसन बंटन उन घटनाओं में लागू होता है जिनमें बड़ी संख्या में दुर्लभ और स्वतंत्र संभावित घटनाएं होती हैं। पोइसन बंटन के गुण निम्नलिखित हैं।

  • घटनाएं स्वतंत्र होती हैं।
  • केवल दी गई अवधि में सफलताओं की औसत संख्या हो सकती है। कोई भी दो घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं।
  • परीक्षण n की संख्या अनिश्चित रूप से बड़ी होने पर पोइसन बंटन सीमित होता है।
  • माध्य = विचरण = $ \lambda$
  • $np = \lambda$ परिमित है, जहाँ $\lambda$ स्थिर होता है।
  • मानक विचलन हमेशा माध्य $\mu$ के वर्गमूल के बराबर होता है।
  • यदि माध्य बड़ा है, तो पोइसन बंटन लगभग एक नॉर्मल बंटन होता है।

हमें पोइसन बंटन का उपयोग कब करना चाहिए?

आप समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल के भीतर होने वाली घटनाओं की संख्या का अनुमान लगाने या व्याख्या करने के लिए पोइसन  बंटन का उपयोग कर सकते हैं। “घटनाक्रम” बीमारी के मामलों से लेकर ग्राहक की खरीदारी से लेकर उल्कापिंड के हमलों तक कुछ भी हो सकता है। अंतराल कोई भी विशिष्ट समय या स्थान हो सकता है, जैसे $10$ दिन या $5$ वर्ग इंच।

आप पोइसन बंटन का उपयोग कर सकते हैं यदि:

  • व्यक्तिगत घटनाएं यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से होती हैं। अर्थात्, एक घटना की प्रायिकता दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करती है।
  • आप किसी दिए गए समय या स्थान के भीतर होने वाली घटनाओं की औसत संख्या जानते हैं। इस संख्या को $\lambda$ कहा जाता है, और इसे स्थिर माना जाता है।

जब घटनाएँ पोइसन बंटन का अनुसरण करती हैं, तो $\lambda$ केवल एक चीज है जिसे आपको एक निश्चित संख्या में होने वाली घटना की संभावना की गणना करने के लिए जानने की आवश्यकता होती है।

पोइसन बंटन सूत्र क्या है?

पोइसन बंटन सूत्र का उपयोग उस घटना की प्रायिकता का ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो एक निश्चित समय अवधि में स्वतंत्र रूप से घटित होती है, जब घटित होने की औसत दर समय के साथ स्थिर रहती है। पोइसन बंटन सूत्र तब लागू होता है जब बड़ी संख्या में संभावित परिणाम होते हैं।

एक यादृच्छिक असतत चर के लिए, $\text{X}$ जो पोइसन बंटन का अनुसरण करता है, और $\lambda$ मूल्य की औसत दर है, फिर $x$ की प्रायिकता $f(x) = \text{P}(\text{X}=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^ x }{x!}$  द्वारा दी जाती है। 

जहां,

$x = 0, 1, 2, 3…$

$e$ यूलर की संख्या है ($e = 2.718$)

$\lambda$ अपेक्षित मूल्य की औसत दर है और साथ ही $\lambda$ विचरण भी,  $\lambda > 0$

पोइसन बंटन सूत्र के उदाहरण

Example 1: एक कैफे में, ग्राहक $2$ प्रति मिनट की औसत दर से आता है। $1$ मिनट में $5$ ग्राहकों के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ग्राहक का आगमन पोइसन बंटन का अनुसरण करता है।

माध्य $\lambda = 2$,

और $x = 5$

पोइसन बंटन सूत्र का उपयोग करके $\text{P}(\text{X}=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^ x }{x!}$

$\text{P}(\text{X} = 5) = \frac{e^{-2} 2^5}{5!}$

$=> \text{P}(\text{X} = 6) = 0.036$

अतः, प्रति मिनट $5$ ग्राहकों के आने की संभावना $3.6\%$ है।

Example 2: यदि किसी कंपनी द्वारा निर्मित $3\%$ इलेक्ट्रॉनिक इकाइयां दोषपूर्ण हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $200$ इकाइयों के एक नमूने में, $2$ से कम बल्ब खराब हैं।

दोषपूर्ण इकाइयों की प्रायिकता $p = \frac{3}{100} = 0.03$

$n = $ 200

हम देखते हैं कि यहाँ $p$ छोटा है और $n$ बड़ा है। इस प्रकार यह एक पोइसन बंटन है।

माध्य $\lambda = np = 200 \times 0.03 = 6$

$\text{P}(\text{X}= x)$ पोइसन बंटन सूत्र द्वारा $\frac{e^{- \lambda} \lambda ^x }{x!}$ के रूप में दिया गया है। 

$\text{P}(\text{X} < 2) = \text{P}(\text{X} = 0) + \text{P}(\text{X}= 1)$

$=\frac{e^{-6} 6^0 }{0!} + \frac{e^{-6} 6^1}{1!}$

$= e^{-6} + e^{-6} \times 6$

$= 0.00247 + 0.0148$

$\text{P}(\text{X} < 2) = 0.01727$

अतः, $2$ से कम बल्ब खराब होने की प्रायिकता $0.01727$ है।

Example 3:  किसी दिए गए दिन में पृथ्वी से टकराने वाले उल्कापिंडों की संख्या एक पॉइसन बंटन का अनुसरण कराती है, जहां $ \lambda = 4$। क्या संभावना है कि एक दिन में $5$ उल्कापिंड पृथ्वी से टकराएंगे?

माध्य $\lambda = 4$,

और $x = 5$

पोइसन बंटन सूत्र का प्रयोग $\text{P}(\text{X}=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^ x }{x!}$

$\text{P}(\text{X} = 5) = \frac{e^{-4} 4^5}{5!}$

$= \frac{0.01831563888 \times 1024}{120} = 0.156$

अतः, एक दिन में 5 उल्कापिंडों की पृथ्वी से टकराने की प्रायिकता $0.156$ है। 

पोइसन बंटन माध्य और प्रसरण

पोइसन बंटन के लिए, जिसकी औसत दर $\lambda$ है, एक निश्चित समय अंतराल के लिए, फिर पोइसन बंटन का माध्य और प्रसरण का मान समान होगा। तो $\text{X}$ पोइसन बंटन का अनुसरण करते हुए, हम कह सकते हैं कि $\lambda$ माध्य और साथ ही बंटन का विचरण है।

इसलिए, $\text{E}(\text{X}) = \text{V}(\text{X}) = \lambda$

जहां, 

$\text{E}(\text{X})$ अपेक्षित माध्य है

$\text{V}(\text{X})$ प्रसरण है

$ \lambda > 0$

पोइसन बंटन के अनुप्रयोग

पोइसन बंटन का व्यापक क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। पोइसन बंटन का अनुसरण करने वाले यादृच्छिक चर इस प्रकार हैं:

  • तैयार उत्पाद में दोषों की संख्या की गणना करने के लिए
  • किसी देश में किसी बीमारी या प्राकृतिक आपदा से होने वाली मौतों की संख्या गिनने के लिए
  • खेत में संक्रमित पौधों की संख्या की गणना करना
  • जीवों में बैक्टीरिया की संख्या या परमाणुओं में रेडियोधर्मी क्षय की गणना करने के लिए
  • घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय की गणना करने के लिए

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. एक छोटे से वॉक-इन क्लिनिक में, खुलने के घंटों के दौरान प्रति घंटे औसतन पांच मरीज क्लिनिक में आते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि ठीक तीन रोगी अगले घंटे में आएंगे? मान लें कि प्रति घंटे आने वाले रोगियों की संख्या पोइसन बंटन का अनुसरण कराती हैं। 
  2. यदि आप अपने सांख्यिकी प्रोफेसर से प्रति सप्ताह औसतन दो ईमेल प्राप्त करते हैं, तो इसकी क्या संभावना है कि आपको सोमवार को अपने सांख्यिकी प्रोफेसर से ठीक एक ईमेल प्राप्त होगा? मान लें कि प्रति दिन ईमेल की संख्या पोइसन बंटन का अनुसरण करती है।
  3. पिछले $300$ वर्षों में, एक क्षेत्र में $87$ बाढ़ आई थी। यह मानते हुए कि प्रति वर्ष बाढ़ की संख्या पोइसन बंटन का अनुसरण कराती है, इसकी क्या प्रायिकता है कि अगले वर्ष उस क्षेत्र में बाढ़ नहीं आएगी?
  4. मान लीजिए कि किसी क्षेत्र में प्रमुख तूफानों की औसत संख्या $4$ प्रति वर्ष है। क्या संभावना है कि वास्तव में $7$ तूफान अगले $2$ वर्षों में क्षेत्र में आ जाएगा?
  5. यदि किसी अस्पताल में जन्म प्रति घंटे $1.8$ की औसत दर से यादृच्छिक रूप से होता है, तो अस्पताल में किसी दिए गए घंटे में $4$ जन्म देखने की संभावना क्या है?
  6. यादृच्छिक चर $x$ दस मिनट के अंतराल पर एक घटना की घटनाओं की संख्या है। यह माना जा सकता है कि किसी घटना की संभावना समान अवधि के किसी भी दो समय की अवधि में समान है। यह ज्ञात है कि दस मिनट में घटनाओं की औसत संख्या $5.3$ है। यादृच्छिक चर $x$ का अपेक्षित मूल्य क्या है? 

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

पोइसन बंटन क्या है?

पोइसन बंटन की परिभाषा कहती है कि यह एक घटना की असतत प्रायिकता है जहां समय के एक निश्चित अंतराल में स्वतंत्र घटनाएं घटित हो रही हैं और एक ज्ञात निरंतर औसत दर है। दूसरे शब्दों में, समय के एक निश्चित अंतराल के लिए, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता को मापने के लिए प्वासों बंटन का उपयोग किया जा सकता है। पोइसन बंटन का व्यवसाय के साथ-साथ जीव विज्ञान के क्षेत्र में व्यापक उपयोग है।

पोइसन बंटन में लैम्ब्डा($\lambda$) क्या है?

पोइसन बंटन में, लैम्ब्डा ($\lambda$) एक फलन के लिए मूल्य की औसत दर है। इसे पोइसन बंटन के माध्य के रूप में भी जाना जाता है। पोइसन बंटन के लिए, प्रसरण भी फलन के माध्य के समान ही है इसलिए लैम्ब्डा ($\lambda$) भी उस फलन का प्रसरण है जो पोइसन बंटन का अनुसरण करता है।

पोइसन बंटन की विशेषताएं क्या हैं?

पोइसन बंटन की मूल विशेषता यह है कि यह किसी घटना की असतत संभाव्यता है। पोइसन बंटन में घटनाएँ स्वतंत्र हैं। घटनाओं की घटना समय की एक निश्चित अंतराल के लिए परिभाषित किया गया है। पोइसन बंटन के लिए $\lambda$ का मान हमेशा $0$ से अधिक होता है।

पोइसन बंटन की गणना कैसे करते हैं?

पोइसन बंटन की गणना पोइसन बंटन सूत्र का उपयोग करके की जाती है। पोइसन बंटन के बाद फलन की प्रायिकता का सूत्र है $f(x) = \text{P}(\text{X}=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^ x }{x !}$
$x = 0, 1, 2, 3…$
$e$ यूलर की संख्या है($e = 2.718$)
$\lambda$ अपेक्षित मूल्य की औसत दर है और $\lambda$ = विचरण, साथ ही $\lambda > 0$

हम पोइसन बंटन का उपयोग कहाँ करते हैं?

कई क्षेत्रों में पोइसन बंटन का उपयोग किया जाता है। व्यवसाय के क्षेत्र में इसका व्यापक उपयोग है। व्यवसायी इसका उपयोग व्यवसाय के भविष्य, व्यवसाय के विकास और गिरावट का पूर्वानुमान लगाने के लिए करते हैं। जीव विज्ञान में पोइसन बंटन का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से समय की एक निश्चित अवधि के बाद उत्परिवर्तन में संतानों की संख्या का अनुमान लगाने में।

निष्कर्ष

पोइसन बंटन का उपयोग स्थिर माध्य दर के साथ समय के एक निश्चित अंतराल में घटित होने वाली एक स्वतंत्र घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक असतत चर के लिए, $\text{X}$ जो पोइसन बंटन का अनुसरण करता है, और $\lambda$ मूल्य की औसत दर है, फिर $x$ की संभावना $f(x) = \text{P}(\text{X}=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^ x }{x!}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $x = 0, 1, 2, 3…$, $e$ यूलर की संख्या है ($e = 2.718$) और $\lambda$ अपेक्षित मूल्य की औसत दर है।

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