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किसी भी 2D आकृति की परिधि को आकृति के चारों ओर की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है। आप आकृति की प्रत्येक भुजा की लंबाई जोड़कर किसी भी समतल आकृति (2D आकृति) का परिमाप ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि किसी भी आकृति का परिमाप एक रेखीय माप है, इसे इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे कि मिमी, सेमी, मी, फीट, यार्ड, इंच, आदि।
आइए जानें कि आयत की परिधि क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है।
त्रिभुज – एक 2डी समतल आकृति
त्रिभुज एक तीन भुजाओं वाला बहुभुज है जो तीन असंरेख बिंदुओं को जोड़कर बनता है जिन्हें शीर्ष कहा जाता है। तीन बिंदुओं (कोने) को मिलाने वाले रेखाखंडों को त्रिभुज की भुजाएँ (किनारे) कहा जाता है। किसी त्रिभुज की दो भुजाओं/किनारों के बीच बने क्षेत्र को त्रिभुज का कोण कहते हैं। एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं जिनका योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
त्रिभुजों को मोटे तौर पर दो वर्गीकरणों के अंतर्गत वर्गीकृत किया गया है
- भुजाओं के आधार पर वर्गीकरणः भुजाओं के आधार पर एक त्रिभुज हो सकता है
- विषमबाहु त्रिभुज: ऐसा त्रिभुज जिसकी कोई भी भुजा बराबर न हो
- समद्विबाहु त्रिभुज: कोई भी दो भुजाओं वाला त्रिभुज बराबर होता है
- समबाहु त्रिभुज: जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं
- कोणों के आधार पर वर्गीकरण
- न्यूनकोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जहाँ सभी तीन कोण तीव्र कोण $\left(\le 60^{\circ} \right)$
- अधिककोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जहाँ एक कोण एक अधिक कोण है $\left(\gt 90^{\circ} \right)$
- समकोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जहाँ एक कोण समकोण होता है $\left(= 90^{\circ} \right)$
त्रिभुज का परिमाप क्या है?
एक त्रिभुज की परिधि उस की तीनों भुजाओं की कुल लंबाई है। इस प्रकार त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई को जोड़कर त्रिभुज का परिमाप प्राप्त किया जाता है। चूँकि परिमाप एक रेखीय माप है, इसलिए आयत के परिमाप की इकाई मीटर, सेंटीमीटर, इंच, फुट आदि में होगी।
$\text {Perimeter of a triangle = $ a + b + c$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
विषमबाहु त्रिभुज की परिधि
चूंकि विषमबाहु त्रिभुज में तीन भुजाएँ भिन्न-भिन्न लंबाई की होती हैं, इसलिए विषमबाहु त्रिभुज की परिधि की गणना इन तीनों भुजाओं का योग ज्ञात करके की जाती है।
एक विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप परिधि = $a + b + c$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ एक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई हैं।
उदाहरण
Ex 1: उस त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ $4$ सेमी, $8$ सेमी, और $6$ सेमी हैं।
त्रिभुज की तीन भुजाएँ $a = 4$ सेमी $b = 8$ सेमी और $c = 6$ सेमी हैं
$ a + b + c = 4 + 8 + 6 = 18$.
$4$ सेमी, $8$ सेमी और $6$ सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप $18$ सेमी है।
Ex 2: एक त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप $36$ सेमी है और दोनों भुजाओं की माप $13$ सेमी और $14$ सेमी है।
प्रश्न में, $\text{P} = 36$ सेमी, और $a = 13$ सेमी, $b$ = 14 सेमी
परिमाप $\text{P} = a + b + c => 36 = 13 + 14 + c => 36 = 27 + c => c = 36 – 27 = 9$
परिमाप $36$ सेमी और दो भुजाओं की लंबाई $13$ सेमी और $14$ सेम$ वाले त्रिभुज की तीसरी भुजा का माप $9$ सेमी है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, किसी भी दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है और तीसरी भुजा की लंबाई अलग होती है। यदि दो समान भुजाओं की लंबाई $a$ है और तीसरी असमान भुजा की लंबाई $b$ है, तो एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप इन तीनों भुजाओं का योग लेकर प्राप्त किया जाता है।
परिधि = $a + a + b = 2a + b$.
इसलिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप होता है = $\text{Twice the equal sides} + \text{Unequal side}$
उदाहरण
Ex 1: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी दो समान भुजाओं की लंबाई $13 सेमी$ है और तीसरी भुजा की लंबाई $20$ है।
दो समान भुजाओं की लंबाई $a = 13$ सेमी
तीसरी असमान भुजा की लंबाई $b = 20$ सेमी
त्रिभुज का परिमाप = $2a + b = 2 \times 13 + 20 = 26 + 20 = 46$ सेमी
Ex 2: एक समद्विबाहु की तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप $64$ सेमी है और दो बराबर भुजाओं की लंबाई $24$ सेमी है।
परिमाप $\text{P} = 64$ सेमी
दो समान भुजाओं की लंबाई $a = 24$ सेमी
$\text{P} = 2a + b => 64 = 2\times 24 + b => 64 = 48 + b => b = 64 – 48 => b = 16$
तीसरी असमान भुजा का माप $16$ सेमी. है।
समबाहु त्रिभुज की परिधि
एक समबाहु त्रिभुज की स्थिति में, प्रत्येक भुजा की लंबाई बराबर होती है। यदि एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $a$ है, तो एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप इसके द्वारा दिया जाता है
परिधि = $a + a + a = 3\times a$.
उदाहरण
Ex 1: एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं का माप $7$ सेमी है।
समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई $a = 7$ सेमी
समबाहु त्रिभुज का परिमाप $\text{P} = 3a = 3 \times 7 = 21$ सेमी.
Ex 2: एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप $24$ सेमी है।
माना एक समबाहु त्रिभुज की तीन बराबर भुजाओं की लंबाई = $a$
इसलिए, $3a = 24 => a = \frac {24}{3} => a = 8$ सेमी।
एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई जिसका परिमाप $24$ सेमी है, $8$ सेमी है।
एक समकोण त्रिभुज की परिधि
एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण $\left( 90^{\circ}\right)$ है, समकोण त्रिभुज कहलाता है। यदि एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई $a$, $b$, और $c$ (कर्ण) है, तो त्रिभुज की परिधि की गणना इन तीनों भुजाओं का योग ज्ञात करके की जाती है। इसलिए,
परिधि = $a + b + c$.
साथ ही, एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं।
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$, जिसे $a^{2} = c^{2} – b^{2}$ या $b^{2} = c^{2} – a^{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। सरलीकरण पर यह देता है
$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$, $a = \sqrt{c^{2} – b^{2}}$, and $b = \sqrt{c^{2} – a^{2}}$
यदि इस त्रिभुज की कोई एक भुजा ज्ञात नहीं है, तो हम उस भुजा के स्थान पर उपरोक्त संबंधों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं और त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।
- जब केवल भुजाएँ $a$ और $b$ (समकोण त्रिभुज के पाद या समकोण त्रिभुज के आधार और ऊँचाई) ज्ञात हों, तो $\text{P} = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}} $।
- जब एक भुजा $a$ और कर्ण $c$ ज्ञात हों, तो $\text{P} = a + \sqrt{c^{2} – a^{2}} + c$।
- जब एक भुजा $b$ और कर्ण $c$ ज्ञात हों, तो $\text{P} = \sqrt{c^{2} – b^{2}} + b + c$।
उदाहरण
Ex 1: एक समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी दो लम्बवत भुजाओं की लंबाई क्रमशः $3$ सेमी और $4$ सेमी है।
दो लंब भुजाओं की लंबाई $a = 3$ सेमी और $b = 4$ सेमी है।
$\text{P{ = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 3 + 4 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 7 + \sqrt{9 + 16} = 7 + \sqrt{25} = 7 + 5 = 12$ सेमी
Ex 2: एक समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसका कर्ण $13$ सेमी है और लम्बवत भुजाओं में से एक की लंबाई $12$ सेमी है।
समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई $c = 13$ सेमी
लम्बवत भुजाओं में से एक की लंबाई $a = 12$ सेमी
परिमाप $\text{P} = a + \sqrt{c^{2} – a^{2}} + c = 12 + \sqrt{13^{2} – 12^{2}} + 13 = 12 + \sqrt{169 – 144} + 13 = 12 + \sqrt{25} + 13 = 12 + 5 + 13 = 30$ सेमी।
एक समकोण त्रिभुज का परिमाप जिसका कर्ण $13$ सेमी है और एक लम्बवत भुजा $12$ सेमी है, $30$ सेमी है।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की परिधि
एक त्रिभुज को एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कहा जाता है जब वह एक समद्विबाहु त्रिभुज होने के साथ-साथ एक समकोण त्रिभुज भी हो। अगर $a$ दो बराबर भुजाओं की लंबाई है और $b$ कर्ण की लंबाई है, तो एक त्रिकोण का परिमाप इस प्रकार दिया जाता है
$\text{P} = a + a + b = 2a + b$
साथ ही, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $b^{2} = a^{2} + a^{2} => b^{2} = 2a^{2}$ or $a^{2} = \frac {b ^{2}}{2}$, जो देता है
$a = \frac {b}{\sqrt{2}}$ और $b = a\sqrt{2}$।
इसलिए, समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप
- जब केवल समान भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो $\text{P} = 2a + a\sqrt{2} = a\left( 2 + \sqrt{2}\right )$
- जब केवल कर्ण की लंबाई ज्ञात हो तो $\text{P} = 2a + b = \frac {b}{\sqrt{2}} + b = b\left( \frac {1}{\sqrt{2}} + 1\right) = b\left ( \frac {1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)$
उदाहरण
Ex 1: एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी समान भुजाओं की लंबाई $4$ सेमी है।
समान भुजाओं की लंबाई $a = 4$ सेमी.
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप = $a\left( 2 + \sqrt{2}\right ) = 4\left( 2 + \sqrt{2}\right ) = 4\left( 2 + 1.4142\right ) = 4\times 3.4142 = 13.6568 = 13.66$ सेमी। (दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित)।
Ex 2: एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसका कर्ण लंबाई $10 सेमी$ है।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई b = 10 सेमी
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = $b\left( \frac {1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 10\left( \frac {1 + \sqrt{2}}{\ sqrt{2}}\right) = 10 \left( \frac {1 + 1.4142}{1.4142}\right) = 10 \times \frac {2.4142}{1.4142} = 10 \times 1.7071 = 17.07$ सेमी
अभ्यास के लिए प्रश्न
- उस त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ हैं
- $4$ सेमी, $7$ सेमी और $8$ सेमी
- $2$ सेमी, $6$ सेमी और $5$ सेमी
- एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसका
- समान भुजाएँ $6$ सेमी हैं और तीसरी भुजा $8$ सेमी है
- समान भुजाएँ $7$ सेमी हैं और तीसरी भुजा $12$ सेमी है
- उस समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ हैं
- $6$ सेमी और $8$ सेमी
- $10$ सेमी और $26$ सेमी
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
गणित में त्रिभुज की परिधि क्या है?
किसी त्रिभुज की परिधि को उसकी सीमा की कुल लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग होता है।
त्रिभुज की परिधि का सूत्र क्या है?
$a$, $b$ और $c$ के रूप में तीन भुजाओं के माप के साथ एक त्रिभुज की परिधि $\text{P} = a + b + c$ द्वारा दी गई है।
आप तीन समान भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करते हैं?
यदि एक त्रिभुज की तीन समान भुजाएँ $a$ हैं, तो परिधि $\text{P} = 3a$ द्वारा दी गई है, क्योंकि $a + a + a = 3a$ है।
आप दो समान भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करते हैं?
एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं की माप $a$ और समान भुजा की माप $b$ के लिए, परिमाप $\text{P} = 2a + b$ द्वारा दिया जाता है।
निष्कर्ष
एक त्रिभुज की परिधि एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं द्वारा बनाई गई सीमा की लंबाई है। एक त्रिभुज की परिधि की गणना त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग ज्ञात करके की जाती है।
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