गणित में पैटर्न क्या है (परिभाषा, प्रकार और उदाहरण)

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गणित केवल संख्याओं के बारे में है। क्या पैटर्न गणित की किसी अवधारणा से संबंधित है? हां, पैटर्न बीजगणित में एक शुरुआती आधार ब्लॉक है – वह अध्ययन जो गणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में समस्याओं या स्थितियों का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है। “पैटर्न” शब्द का अर्थ एक श्रृंखला या अनुक्रम है जो आम तौर पर खुद को दोहराता है। आप अपने दैनिक जीवन में विभिन्न पैटर्न देखते हैं जैसे रंग, क्रिया, आकार, संख्या आदि।

आइए समझते हैं कि पैटर्न क्या है और इसके विभिन्न प्रकार क्या हैं।

गणित में पैटर्न क्या है?

गणित में, एक पैटर्न वस्तुओं, आकृतियों या संख्याओं को दोहराने का एक क्रम है। हम पैटर्न को किसी भी प्रकार की घटना या वस्तु से संबंधित कर सकते हैं। एक पैटर्न में एक नियम होता है जो हमें बताता है कि कौन सी वस्तुएं पैटर्न से संबंधित हैं और कौन सी वस्तुएं पैटर्न से संबंधित नहीं हैं।

आइए उनके अर्थ को समझने के लिए गणित में कुछ पैटर्न देखें।

पैटर्न के प्रकार

पैटर्न को तत्वों (या वस्तुओं) की संख्या या पैटर्न में मौजूद तत्वों (या वस्तुओं) के प्रकार के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

शामिल तत्वों की संख्या के आधार पर, एक पैटर्न को वर्गीकृत किया जा सकता है

• परिमित पैटर्न
• अनंत पैटर्न

शामिल तत्वों के प्रकार के आधार पर, एक पैटर्न को वर्गीकृत किया जा सकता है

• आकृति पैटर्न
• अक्षर पैटर्न
• संख्या पैटर्न

परिमित पैटर्न क्या है?

पैटर्न को परिमित पैटर्न कहा जाता है जब हम पैटर्न के पहले पद (या तत्व) और अंतिम पद (या तत्व) को जानते हैं। दूसरे शब्दों में, एक परिमित पैटर्न में तत्वों की एक परिमित (या गणनीय) संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, पैटर्न में $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, पहला शब्द $5$ है और अंतिम शब्द $30$ है। पैटर्न में $6$ तत्व हैं।

अनंत पैटर्न क्या है?

पैटर्न को अनंत पैटर्न कहा जाता है जब हम पहले शब्द (या तत्व) को जानते हैं लेकिन पैटर्न के अंतिम शब्द (या तत्व) को नहीं जानते हैं। दूसरे शब्दों में, एक अनंत पैटर्न में तत्वों की अनंत (या बेशुमार) संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, पैटर्न में $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$, …, पहला शब्द $5$ है लेकिन हम नहीं जानते हैं कि पैटर्न कहां रुकेगा . (किसी पैटर्न के अंत में तीन बिंदुओं (…) का अर्थ है कि यह एक अनंत पैटर्न है)।

आकृति पैटर्न क्या है?

किसी पैटर्न को एक आकार पैटर्न कहा जाता है जब आकृतियों का एक समूह दोहराया जाता है आकार के पैटर्न एक निश्चित अनुक्रम या आकृतियों के क्रम का पालन करते हैं। आकृतियाँ सरल आकृतियाँ हो सकती हैं जैसे वर्ग, आयत, त्रिकोण, वृत्त, आदि, या अन्य वस्तुएँ जैसे फूल, तीर, चाँद, तारे आदि।

नीचे आकृति पैटर्न के उदाहरण दिए गए हैं।

उपरोक्त पैटर्न में, तीर और चंद्र अर्धचंद्र को $90^{\circ}$ पर घुमाया जाता है और उनका रंग बदल जाता है। हम यह भी कह सकते हैं कि प्रत्येक रंगीन आकृति $2$ आकृतियों के बाद दोहराई जा रही है।

अक्षर पैटर्न क्या है?

एक अक्षर पैटर्न को वर्णमाला पैटर्न भी कहा जाता है। एक पैटर्न को एक अक्षर पैटर्न कहा जाता है जिसमें एक विशेष क्रम के बाद अंग्रेजी अक्षर होते हैं। या हम कह सकते हैं कि किन्हीं दो आसन्न अक्षरों (या अक्षर) के बीच एक सामान्य संबंध मौजूद है।

A, C, E, G, I, K, M… के उदाहरण पर विचार करें, इस पैटर्न में, प्रत्येक वर्ण के बाद एक अक्षर हटा दिया गया है, या अक्षर A से शुरू करके लिखे गए हैं और अगले अक्षर एक अक्षर को छोड़ कर लिखे गए हैं।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। A, E, I, M, Q,…। इस पैटर्न में प्रत्येक अक्षर के बाद तीन अक्षर को हटा दिया गया है, या अक्षर A से शुरू करते हुए और अगले अक्षर को एक अक्षर को छोड़ कर लिखा जाता है।

या, इस पैटर्न में, Z, Y, X, W, V, U, …, अक्षरों को Z से शुरू करते हुए विपरीत क्रम में लिखा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: दिए गए अक्षर पैटर्न के अगले दो पद खोजें $\text{A}$, $\text{CC}$, $\text{EEE}$, …

इस पैटर्न में हमें दो चीजें नजर आती हैं

पहले $A$ से शुरू होने वाले अक्षर और अगला अक्षर एक अक्षर को छोड़ कर लिखा जाता है।

दूसरा, प्रत्येक पद में अक्षरों की संख्या $1$ बढ़ जाती है।

इसलिए, अगले दो पद $\text{GGGG}$ और $\text{IIIIII}$ हैं।  

Ex 2: दिए गए अक्षर पैटर्न $\text{M}$, $\text{K}$, $\text{I}$, $\text{G}$, … के अगले दो पद ज्ञात कीजिए।

इस पैटर्न में हमें दो चीजें नजर आती हैं

सबसे पहले अक्षरों को विपरीत क्रम में लिखा जाता है।

दूसरा, प्रत्येक पद में अक्षरों की संख्या को $1$ से छोड़ दिया जाता है।

इसलिए, अगले दो पद $\text{E}$, $\text{C}$ हैं।

संख्या पैटर्न क्या है?

किसी पैटर्न को संख्या पैटर्न कहा जाता है जिसमें एक विशेष अनुक्रम के बाद संख्याएँ होती हैं। या हम कह सकते हैं कि किन्हीं भी दो सन्निकट संख्याओं के बीच एक उभयनिष्ठ संबंध होता है। गणित में संख्या पैटर्न सबसे आम पैटर्न हैं।

गणित में पैटर्न का सबसे सामान्य प्रकार संख्या पैटर्न है, जहां संख्याओं की सूची एक नियम के आधार पर एक निश्चित क्रम का अनुसरण करती है।

विभिन्न प्रकार के संख्या पैटर्न हैं

अंकगणितीय पैटर्न

अंकगणितीय पैटर्न को बीजगणितीय पैटर्न के रूप में भी जाना जाता है। इस प्रकार के पैटर्न में, हम एक संख्या के साथ एक पैटर्न शुरू करते हैं और पिछले पद (या संख्या) में (या से) एक निश्चित संख्या को जोड़कर या घटाकर अगली संख्या प्राप्त करते हैं।

जिस संख्या से हम शुरू करते हैं उसे $a$ द्वारा दर्शाया गया पहला पद कहा जाता है और एक निश्चित संख्या को $d$ द्वारा प्रदर्शित सामान्य अंतर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, … एक अंकगणितीय पैटर्न है। यहाँ पहला पद a = 1 और सार्व अंतर d = 2 है।

ध्यान दें कि $3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = … = 2$।

इसी तरह, $22$, $18$, $14$, $10$, $6$, $2$, … भी एक अंकगणितीय पैटर्न है। यहाँ पहला पद $a = 22$ और सार्व अंतर $d = -4$ है। यहाँ भी $18 – 22 = 14 – 18 = 10 – 14 = 6 – 10 = 2 – 6 = … -4=$ जोड़ने पर अगला पद प्राप्त होता है।

ध्यान दें कि यहां हम अगला पद प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद से $-4$ जोड़ रहे हैं (या $4$ घटा रहे हैं)।

उदाहरण

Ex 1: दी गई संख्या पैटर्न $2$, $\frac{5}{2}$, $3$, $\frac{7}{2}$, … के अगले दो पद ज्ञात कीजिए।

संख्या पैटर्न का पहला पद $2$ है।

पैटर्न में अगली संख्या $\frac{1}{2}$ को पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त की जाती है।

$\frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

$3 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}$

अतः अगली दो संख्याएँ हैं

$4 = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{9}{2} = 4 + \frac{1}{2}$ 

Ex 2: दी गयी संख्या पैटर्न के अगले दो पद ज्ञात कीजिए  $46$, $39$, $32$, $25$, …

संख्या पैटर्न का पहला पद $46$ है।

पैटर्न में अगली संख्या पिछली संख्या से $7$ घटाकर प्राप्त की जाती है।

$39 = 46 – 7$

$32 = 39 – 7$

$25 = 32 – 7$

अतः अगली दो संख्याएँ हैं

$18 = 25 – 7$

$11 = 18 – 7$

ज्यामितीय पैटर्न

ज्यामितीय पैटर्न में, हम एक संख्या के साथ एक पैटर्न शुरू करते हैं और पिछली संख्या (या संख्या) द्वारा एक निश्चित संख्या को गुणा या विभाजित करके अगली संख्या प्राप्त करते हैं।

जिस संख्या से हम शुरू करते हैं उसे $a$ द्वारा दर्शाया गया पहला पद कहा जाता है और एक निश्चित संख्या को $r$ द्वारा प्रदर्शित सामान्य अनुपात कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, … एक ज्यामितीय पैटर्न है। यहाँ पहला पद a = 1 और सार्व अनुपात r = 2 है।

ध्यान दें कि $2 \div 1 = 4 \div 2 = 8 \div 2 = 16 \div 8 = … 2$।

ज्यामितीय पैटर्न में, हम एक संख्या के साथ एक पैटर्न शुरू करते हैं और पिछली संख्या (या संख्या) द्वारा एक निश्चित संख्या को गुणा या विभाजित करके अगली संख्या प्राप्त करते हैं।

जिस संख्या से हम शुरू करते हैं उसे $a$ द्वारा दर्शाया गया पहला पद कहा जाता है और एक निश्चित संख्या को $r$ द्वारा प्रदर्शित सामान्य अनुपात कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, … एक ज्यामितीय पैटर्न है। यहाँ पहला पद a = 1 और सार्व अनुपात r = 2 है।

ध्यान दें कि $2 \div 1 = 4 \div 2 = 8 \div 2 = 16 \div 8 = … 2$।

उदाहरण

Ex 1: दी गयी संख्या पैटर्न के अगले दो पद ज्ञात कीजिये $1$, $3$, $9$, $27$, …

संख्या पैटर्न का पहला पद $1$ है।

पैटर्न में अगली संख्या $3$ को पिछली संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है।

$3 = 1 \times 3$

$9 = 3 \times 3$

$27 = 9 \times 3$

अतः अगली दो संख्याएँ हैं

$81 = 27 \times 3$

$243 = 81 \times 3$ 

Ex 2: दी गयी संख्या पैटर्न के अगले दो पद ज्ञात कीजिये $62500$, $12500$, $2500$, …

नंबर पैटर्न का पहला पद $62500$ है।

पैटर्न में अगली संख्या $5$ को पिछली संख्या से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

अतः अगली दो संख्याएँ हैं

$500 = 2500 \div 5$

$100 = 500 \div 5$

हार्मोनिक पैटर्न

हार्मोनिक पैटर्न(या हार्मोनिक अनुक्रम) एक अंकगणितीय प्रगति के व्युत्क्रमों को लेकर एक प्रगति है। दूसरे शब्दों में, एक पैटर्न को एक हार्मोनिक पैटर्न कहा जाता है जब पदों का व्युत्क्रम एक अंकगणितीय पैटर्न बनाता है।

उदाहरण के लिए, $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, … एक हार्मोनिक पैटर्न है।

ध्यान दें कि पदों का व्युत्क्रम $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, … हैं जो एक अंकगणितीय पैटर्न है जहां पिछले पद में $1$ जोड़कर अगला पद प्राप्त किया जाता है।

इसी प्रकार, $1$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{13}$, $\frac{1}{17}$, $ \frac{1}{21}$, … एक हार्मोनिक पैटर्न है। पदों के व्युत्क्रम द्वारा गठित पैटर्न $1$, $5$, $9$, $13$, $17$, $21$, … समान अंतर $4$ के साथ है।

उदाहरण

Ex 1: दी गयी संख्या पैटर्न के अगले दो पद ज्ञात कीजिये $1$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{11}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{ 1}{21}$, …

पैटर्न के पदों का व्युत्क्रम लेने पर हमें $1$, $6$, $11$, $16$, $21$ मिलते हैं, … जो एक अंकगणितीय पैटर्न है जहां संख्या $1$ है और सामान्य अंतर $5$ है। इसलिए, अगले दो पद $21 + 5 = 26$ और $26 + 5 = 31$ होंगे।

इस प्रकार, पैटर्न के अगले दो पद $\frac {1}{26}$ और $\frac {1}{26}$ हैं। 

Ex 2: दी गई संख्या पैटर्न $\frac {1}{7}$, $\frac {1}{10}$, $\frac {1}{13}$, $\frac {1}{20}$, … के अगले दो पद ज्ञात कीजिए। 

पैटर्न के पदों का व्युत्क्रम लेने पर हमें $7$, $10$, $13$, $16$, … मिलता है जो एक अंकगणितीय पैटर्न है जहां संख्या $7$ है और सामान्य अंतर $3$ है। इसलिए, अगले दो पद $16 + 3 = 19$ और $19 + 3 = 22$ होंगे।

अतः पैटर्न के अगले दो पद $\frac {1}{19}$ और $\frac {1}{22}$ हैं।

फाइबोनैचि पैटर्न

फाइबोनैचि पैटर्न संख्याओं का एक क्रम है जिसमें अनुक्रम में प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं को एक साथ जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह क्रम $0$ और $1$ से शुरू होता है। हम क्रम में तीसरी संख्या पाने के लिए पहली दो संख्याओं को जोड़ते हैं।

अनुक्रम $0$, $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, … फाइबोनैचि पैटर्न है।

ध्यान दें कि यहाँ जो पैटर्न अपनाया गया है वह है $0 + 1 = 1$, $1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ , $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$, $5 + 8 = 13$ , ….

उदाहरण

Ex 1: फाइबोनैचि श्रृंखला के $7^{th}$ और $10^{th}$ पदों को ज्ञात करें।

एक फाइबोनैचि पैटर्न या श्रृंखला संख्या $0$ और $1$ से शुरू करके और पिछली दो संख्याओं को जोड़कर प्राप्त की जाती है।

पहले दो पद $0$ और $1$ हैं।

$3^{rd}$ पद = $0 + 1 = 1$

$4^{th}$ पद = $1 + 1 = 2$

$5^{th}$ पद = $1 + 2 = 3$

$6^{th}$ पद = $2 + 3 = 5$

$7^{th}$ पद = $3 + 5 = 8$

$8^{th}$ पद = $5 + 8 = 13$

$9^{th}$ पद = $8 + 13 = 21$

$10^{th}$ पद = $13 + 21 = 34$

त्रिकोणीय संख्या पैटर्न

श्रृंखला या अनुक्रम में व्यवस्थित समबाहु त्रिभुज के रूप में संख्याओं के निरूपण को त्रिकोणीय संख्या पैटर्न के रूप में जाना जाता है। त्रिकोणीय पैटर्न में संख्या $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, $36$, $45$ और इसी तरह के क्रम में हैं।

त्रिकोणीय पैटर्न में संख्याएँ बिंदुओं द्वारा दर्शाई जाती हैं।

उदाहरण

Ex 1: त्रिकोणीय श्रृंखला का $7^{th}$ पद ज्ञात कीजिए।

त्रिकोणीय श्रृंखला है $1$, $3$, $6$, $10$, …

$1^{st}$ पद = $1$

$2^{nd}$ पद = $1 + 2 = 3$

$3^{rd}$ पद = $1 + 2 + 3 = 6$

$4^{th}$ पद = $1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$5^{th}$ पद = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

$6^{th}$ पद = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

$7^{th}$ पद = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$

पैटर्न के नियम

जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में देखा गया है, एक पूर्ण पैटर्न बनाने के लिए, नियमों के एक निश्चित सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। इन नियमों को लागू करने के लिए हमें पहले अनुक्रम की प्रकृति और पैटर्न में दी गई दो क्रमागत संख्याओं के बीच के अंतर को समझना चाहिए।

पैटर्न में प्रयुक्त नियम के आधार पर इसे निम्नलिखित तीन नियमों में से किसी एक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

• रिपीटिंग पैटर्न: पैटर्न का वह प्रकार जिसमें नियम बार-बार दोहराता रहता है, रिपीटिंग पैटर्न कहलाता है। यह आमतौर पर अक्षर और आकार पैटर्न में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए,
• बढ़ते पैटर्न: पैटर्न का वह प्रकार जिसमें संख्याओं को बढ़ते हुए रूप में रखा जाता है या प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से अधिक होती है, तो पैटर्न को बढ़ते पैटर्न के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए $12$, $17$, $22$, $27$, …
• श्रिंकिंग पैटर्न: पैटर्न का वह प्रकार जिसमें संख्याओं को घटते हुए रूप में रखा जाता है या प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से छोटी होती है। उदाहरण: $82$, $79$, $76$, $73$, $70$, …

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित संख्या पैटर्न के अगले तीन पद लिखिए

• $6$, $15$, $24$, $33$, $42$, …
• $33$, $38$, $43$, $48$, $53$, …
• $76$, $72$, $68$, $64$, $60$, …
• $3$, $12$, $48$, $192$, …
• $5$, $15$, $45$, $135$, …

2. निम्नलिखित अक्षर पैटर्न के अगले दो पद लिखिए

• $B$, $E$, $H$, $K$, …
• $A$, $E$, $I$, $M$, …
• $Z$, $X$, $V$, $T$, …

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

“पैटर्न” शब्द का अर्थ एक श्रृंखला या अनुक्रम है जो आम तौर पर खुद को दोहराता है। इस लेख में, आपने सीखा कि पैटर्न क्या है और कैसे कुछ नियमों का उपयोग करके आकृतियों, अक्षरों या संख्याओं के साथ पैटर्न बनाए जाते हैं, जो या तो बढ़ते, सिकुड़ते या दोहराते पैटर्न उत्पन्न करते हैं।

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