दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (विधियों और उदाहरणों के साथ)

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रैखिक समीकरण गणित में समीकरणों का सबसे सरल रूप है। इन समीकरणों को रैखिक समीकरण कहते हैं क्योंकि आलेखन करने पर ये सीधी रेखाएँ देते हैं। धन, ज्यामिति, गति और दूरी आदि पर आधारित कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक समीकरण युग्म का उपयोग किया जाता है।

आइए समझते हैं कि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म क्या है और इसके विभिन्न प्रकार क्या हैं और उदाहरण के साथ इसके हल क्या हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

इस कथन पर विचार करें “$20$ पेन और $15$ पेंसिल की कीमत ₹$450$ है”। इस कथन के आधार पर हम $1$ पेन और $1$ पेंसिल की लागत ज्ञात करना चाहते हैं।

एक पेन और एक पेंसिल की कीमत ज्ञात करने के लिए, हम $1$ पेन और $1$ पेंसिल की लागत क्रमशः $x$ और $y$ (रुपये में) मानते हुए शुरू करते हैं।

गणितीय रूप में कथन $20x + 15y = 450 =>20x + 15y – 450 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

आप यह भी जानते हैं कि समीकरण जिसे $ax + by + c = 0$ के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ और $b$ नहीं हैं दोनों शून्य, दो चर वाले रैखिक समीकरण कहलाते हैं।

क्या हम उपरोक्त वस्तुओं में से प्रत्येक के $1$ की लागत का पता लगा सकते हैं?

ऐसा करने के लिए, हमें इस तरह के एक और कथन की आवश्यकता है, जैसे “$25$ पेन और $30$ पेंसिल की कीमत ₹$675$ है”

इसे $25x + 30y = 675 => 25x + 30y – 675 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उपरोक्त उदाहरण से यह देखा जा सकता है कि इस प्रकार की वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए हमें दो समीकरणों की आवश्यकता होती है।

दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों के ऐसे संयोजन को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है।

$x$ और $y$ में दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के लिए सामान्य रूप है

• $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$
• और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$

जहां $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$, $a_{2}$, $b_{2}$, और $c_{2}$ सभी वास्तविक संख्याएं हैं और $a_ {1}$, $b_{1}$ और $a_{2}$, $b_{2}$ एक साथ $0$(शून्य) नहीं हो सकते।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म तैयार करना

जैसा कि ऊपर देखा गया है, हम कई वास्तविक दुनिया की समस्याओं को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में बदल सकते हैं। आइए वास्तविक दुनिया की समस्याओं से दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म बनाने की प्रक्रिया को समझते हैं।

Ex 1: दो परीक्षा हॉल A और B में कुछ छात्र हैं। प्रत्येक हॉल में छात्रों की संख्या को बराबर करने के लिए, $10$ छात्रों को A से B में भेजा जाता है। लेकिन यदि $20$ छात्रों को B से A में भेजा जाता है, तो छात्रों की संख्या A में B में छात्रों की संख्या दोगुनी हो जाती है। दोनों हॉल में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माना हॉल A में छात्रों की संख्या = $x$

और माना हॉल B में छात्रों की संख्या = $y$

जब $10$ छात्रों को A से B में भेजा जाता है, तब

हॉल A में बचे छात्रों की संख्या = $x – 10$

और हॉल B में छात्रों की संख्या = $y + 10$

अब, दोनों हॉल में छात्रों की संख्या बराबर है, इसलिए, $x – 10 = y + 10 => x – y – 10 – 10 = 0 => x – y – 20 = 0$ —– (1)

जब $20$ छात्रों को B से A में भेजा जाता है, तब

हॉल बी में बचे छात्रों की संख्या = $x – 20$

और हॉल A में छात्रों की संख्या = $y + 20$

अब, A में छात्रों की संख्या B में छात्रों की संख्या से दोगुनी है, इसलिए,

$y + 20 = 2\left(x – 20 \right) => y + 20 = 2x – 40 => -2x + y + 20 + 40 = 0 => -2x + y + 60 = 0$ ——————– (2)

Ex 2: एक दुकानदार पढ़ने के लिए किराए पर किताबें देता है। वह पहले दो दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क लेती है, और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क लेती है। लतिका ने छह दिनों तक रखी एक किताब के लिए ₹$22$ का भुगतान किया, जबकि अरविंद ने चार दिनों तक रखी गई एक किताब के लिए ₹$16$ का भुगतान किया। निश्चित शुल्क और प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए शुल्क ज्ञात कीजिए।

माना दुकानदार द्वारा एक किताब के लिए निर्धारित राशि = ₹$x$

और दुकानदार द्वारा एक किताब के लिए प्रति दिन ली जाने वाली राशि = ₹$y$

लतिका ने किताब को $6$ दिनों तक रखा

इसलिए, प्रति दिन शुल्क $4 \left(6 – 2 \right)$ के लिए है (निश्चित शुल्क में पहले दो दिन शामिल हैं)।

लतिका द्वारा भुगतान की गई राशि = $x + 4y$

इसलिए, $x + 4y = 22$ —————————————- (1)

अरविन्द ने पुस्तक को $4$ दिनों तक रखा

इसलिए, प्रति दिन शुल्क $2 \left(4 – 2 \right)$ के लिए है

अरविंद द्वारा भुगतान की गई राशि = $x + 2y$

इसलिए, $x + 2y = 16$ —————————————- (2)

Ex 3: एक स्विमिंग पूल को दो पाइपों से भरने में $12$ घंटे लगते हैं। यदि एक बड़े व्यास के पाइप का उपयोग $4$ घंटे के लिए किया जाता है और एक छोटे व्यास के पाइप का उपयोग $9$ घंटे के लिए किया जाता है, तो पूल का केवल आधा ही भरा जा सकता है। पूल को अलग-अलग भरने में प्रत्येक पाइप को कितना समय लगेगा?

मान लिया कि एक बड़े व्यास के पाइप द्वारा पूल को भरने में लगने वाला समय = $x$ घंटे।

और एक छोटे व्यास के पाइप द्वारा पूल को भरने में लगने वाला समय = $y$ घंटे।

इसलिए, $1$ घंटे में बड़े व्यास के पाइप द्वारा भरे गए पूल का हिस्सा = $\frac{1}{x}$।

और $1$ घंटे में एक छोटे व्यास के पाइप द्वारा भरे गए पूल का हिस्सा = $\frac{1}{y}$।

जब दोनों पाइपों को $12$ घंटे के लिए खोला जाता है, तो पूल का भरा हुआ भाग = $12 \times \frac{1}{x} + 12 \times \frac{1}{y} = \frac{12}{x} + \frac{12}{y}$

चूंकि, $12$ घंटे में टैंक पूरी तरह से भर जाता है, इसलिए $\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 1$ —————– (1)

साथ ही, बड़े व्यास के पाइप द्वारा $4$ घंटे में भरे गए पूल का हिस्सा = $4 \times \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

इसी तरह, छोटे व्यास के पाइप द्वारा $9$ घंटे में भरा गया पूल का हिस्सा = $9 \times \frac{1}{y} = \frac{9}{x}$

इसलिए, बड़े व्यास वाले पाइप द्वारा $4$ घंटे में और छोटे व्यास वाले पाइप को $9$ घंटे में भरने वाले पूल का हिस्सा = $\frac {4}{x} + \frac{9}{y}$।

इसलिए, $\frac {4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$ ———————————– ———– (2)

Ex 4: विजय के पास कुछ केले थे, और उसने उन्हें दो खेप A और B में विभाजित किया। उसने पहला खेप ₹$2$ की दर से $3$ केले में बेचा और दूसरा खेप ₹$1$ प्रति केले की दर से बेचा और उसे कुल मिला ₹$400$। यदि उसने पहली खेप को ₹$1$ प्रति केले की दर से और दूसरी खेप को ₹$4$ की दर से $5$ केलों की दर से बेचा होता, तो उसका कुल संग्रह ₹$460$ होता। उसके पास कुल केलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माना खेप A में केलों की संख्या = x$

और खेप B में केले की संख्या = $y$

केस एक:

खेप A केले की बिक्री दर = ₹$2$ $3$ के लिए केला => $1$ केला ₹$\frac{2}{3}$ में

खेप B केले की बिक्री दर = ₹$1$ $1$ के लिए केला => $1$ केला ₹$1$ में

सभी केलों का विक्रय मूल्य = ₹$\frac{2}{3}x + y$

इसलिए, $\frac{2}{3}x + y = 400 => 2x + 3y = 1200$ ——————- (1)

केस 2:

खेप A केले की बिक्री दर = ₹$1$ $1$ के लिए केला => $1$ केला ₹$1$ में

लॉट B केले की बिक्री दर = ₹$4$ $5$ के लिए केला => $1$ केला ₹$\frac{4}{5}$ में

सभी केलों का विक्रय मूल्य = ₹$x + \frac{4}{5}y$

इसलिए, $x + \frac{4}{5}y = 460 => 5x + 4y = 2300$ ——————- (2)

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विधियाँ

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की चार विधियाँ हैं। उन विधियों का उपयोग दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए किया जाता है:

• ग्राफीय विधि
• प्रतिस्थापन विधि
• वज्र गुणन विधि
• विलोपन विधि

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की ग्राफीय विधि

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय रूप से हल करने के स्टैप्स नीचे दिए गए हैं:

स्टैप 1: प्रत्येक समीकरण का आलेख(ग्राफ) बनाएं

स्टैप 2: मैन्युअल रूप से एक समीकरण को ग्राफ़ करने के लिए, पहले $y$ के लिए समीकरण को हल करके इसे $y = mx + b$ के रूप में परिवर्तित करें

स्टैप 3: $x$ और $y$ के मानों की एक तालिका बनाएँ (मानों के दो युग्म एक रेखा को प्लॉट करने के लिए पर्याप्त हैं)

स्टैप 4: वह बिंदु पहचानें जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हों 

स्टैप 5: प्रतिच्छेदन बिंदु दी गई दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल है

उदाहरण

Ex 1: समीकरणों की निम्न प्रणाली को ग्राफीय रूप से हल करें: $x + y = 4$ और $x – y = 2$

पहले समीकरण से $x + y = 4 => y = 4 – x$

दूसरे समीकरण से $x – y = 2 => y = x – 2$ 

समीकरण $x + y = 4$ प्लॉट करें

दूसरा समीकरण $x – y = 2$ प्लॉट करें

प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(3, 1\right)$ है

इसलिए, समीकरण युग्म का हल $x = 3$ और $y = 1$ है।

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले समीकरण युग्म को हल करने के स्टैप्स नीचे दिए गए हैं:

स्टैप 1: एक चर के लिए समीकरणों में से एक को हल करें।

स्टैप 2: एक चर के संदर्भ में समीकरण प्राप्त करने के लिए इसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

स्टैप 3: इसे चर के लिए हल करें।

स्टैप 4: दूसरे चर का मान प्राप्त करने के लिए इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण

Ex 1: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दिए गए रैखिक समीकरण युग्म को हल करें: $x + 2y – 7 = 0$ और $3x – 5y + 12 = 0$

माना $x + 2y – 7 = 0$ ————————————– (1)

और $3x – 5y + 12 = 0$ ————————————– (2)

1 से: $x = -2y + 7$ ———————————————- (3)

(3) से $x = -2y + 7$ (2) में 

$3\left(-2y + 7 \right) – 5y + 12 = 0 => -6y + 21 – 5y + 12 = 0$

$ => -6y – 5y + 21 + 12 = 0 => -11y + 33 = 0 = > -11y = -33$

$ => y = \frac{-33}{-11} => y = 3$

स्थानापन्न $y = 3$ (3) में 

$x = -2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1$

इसलिए, हल $x = 1$ और $y = 3$ है।

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र गुणन विधि

इस रैखिक समीकरण युग्म पर विचार करें: $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$।

वज्र गुणन विधि का उपयोग करके इसे हल करने के लिए, हम पहले $x$ और $y$ में से प्रत्येक के गुणांक और स्थिरांक इस प्रकार लिखते हैं:

तीर इंगित करते हैं कि उन गुणांकों को गुणा करना होगा। अब हम गुणनफलों को वज्र-गुणा और घटाकर निम्नलिखित समीकरण लिखते हैं।

$\frac{x}{b_{1}c{2} – b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a{2} – c_{2}a_{1}} =  \frac{1}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}}$

इससे हमें दो समीकरण मिलते हैं:

$\frac{x}{b_{1}c{2} – b_{2}c_{1}} = \frac{1}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}}$

और $\frac{y}{c_{1}a{2} – c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}}$

इन दोनों को हल करने पर हमें प्राप्त होता है

$x = \frac{b_{1}c{2} – b_{2}c_{1}}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}}$

$y = \frac{c_{1}a{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}}$

उदाहरण

माना $x + 2y – 7 = 0$ ————————————– (1)

Ex 1: वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दिए गए रैखिक समीकरण युग्म को हल करें: $x + 2y – 7 = 0$ और $3x – 5y + 12 = 0$

और $3x – 5y + 12 = 0$ ————————————– (2)

उपरोक्त दो समीकरणों के गुणांक हैं

$a_{1} = 1$, $b_{1} = 2$, $c_{1} = -7$

और $a_{2} = 3$, $b_{2} = -5$, $c_{2} = 12$

अब, $x$ और $y$ खोजने के लिए व्यंजकों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$x = \frac{b_{1}c{2} – b_{2}c_{1}}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}} = \frac{2 \times 12 – \left(-5 \right) \times \left(-7 \right)}{1 \times \left(-5 \right) – 3 \times 2} = \frac{24 – 35}{-5 – 6} = \frac{-11}{-11} = 1$

$y = \frac{c_{1}a{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b{2} – a_{2}b_{1}} = \frac{-7 \times 3 – 12 \times 1}{1 \times \left(-5 \right) – 3 \times 2} = \frac{-21 – 12}{-5 – 6} = \frac{-33}{-11} = 3$

अतः, हल $x = 1$ और $y = 3$ है।

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विलोपन विधि

विलोपन विधि का उपयोग करके दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के स्टैप्स नीचे दिए गए हैं:

स्टैप 1: मानक रूप में समीकरणों को व्यवस्थित करें: $ax + by + c = 0$ or $ax + by = c$

स्टैप 2: जाँच करें कि क्या समीकरणों को जोड़ने या घटाने से चर रद्द हो जाएगा।

स्टैप 3: यदि नहीं, तो एक या दोनों समीकरणों को या तो $x$ या $y$ के गुणांक से गुणा करें ताकि उनके जोड़ या घटाव के परिणामस्वरूप किसी एक चर को रद्द कर दिया जाए।

स्टैप 4: परिणामी एकल चर समीकरण को हल करें।

स्टैप 5: अन्य चर का मान प्राप्त करने के लिए इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण

Ex 1: विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिये: $2x + 3y – 11 = 0$ और $3x + 2y – 9 = 0$

इन दो समीकरणों को जोड़ने या घटाने से कोई चर रद्द नहीं होगा। आइए हम $x$ को रद्द करने का लक्ष्य रखें।

दोनों समीकरणों में $x$ के गुणांक $2$ और $3$ हैं। उनका LCM $6$ है। हम दोनों समीकरणों $6$ और $-6$ में $x$ के गुणांक बनाएंगे ताकि समीकरण जोड़ने पर $x$ वाला पद रद्द हो जाए।

$3 \times \left(2x + 3y – 11 = 0 \right)$

$=>6x + 9y – 33 = 0$

$-2 \times \left(3x + 2y – 9 = 0 \right)$

$=> -6x – 4y + 18 = 0$

अब हम इन दो समीकरणों को जोड़ेंगे:

$6x + 9y – 33 = 0$

$-6x -4y + 18 = 0$

उपरोक्त दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं,

$0 + 5y – 15 = 0$

$ => 5y – 15 = 0$

$ => 5y = 15$

$ => y = \frac{15}{5}$

$ => y = 3$

इसे दिए गए दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करें और परिणामी चर को $x$ के लिए हल करें।

$2x + 3y – 11 = 0$

$=> 2x +3 \times 3 – 11 = 0$

$=> 2x + 9 – 11 = 0$

$=> 2x = 2$

$=> x = \frac{2}{2}$

$=> x = 1$

इसलिए, दिए गए समीकरण युग्म का हल $x = 1$ और $y = 3$ है।

रैखिक समीकरण युग्म के हल के प्रकार

दो रैखिक समीकरणों का आलेख हमेशा प्रतिच्छेद नहीं कर सकता है। कभी-कभी वे समानांतर हो सकते हैं। उस स्थिति में, दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं होता है। कुछ अन्य मामलों में, दोनों रेखाएँ एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं। उस स्थिति में, उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु दिए गए सिस्टम का हल है और इसलिए दिए गए सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

• रैखिक समीकरणों की संगत और असंगत प्रणाली:
  • यदि रैखिक समीकरणों का कोई हल है, तो उसे संगत कहा जाता है;
  • यदि रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं है, तो इसे असंगत कहा जाता है।
• रैखिक समीकरणों की स्वतंत्र और आश्रित प्रणाली:
  • यदि सिस्टम का एक अद्वितीय हल है, तो यह स्वतंत्र है।
  • यदि इसके अनंत हल हैं, तो यह निर्भर है। इसका अर्थ है कि एक चर दूसरे पर निर्भर करता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए

• $2y = 4x – 6$ and $2x = y + 3$
• $x + 3y = 6$ and  $2x – 3y = 12$

2. विलोपन विधि का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों को हल कीजिए

• $141x + 93y = 189$ and $93x + 141y = 45$
• $3x = y + 5$ and $5x – y = 11$
• $27x + 31y = 85$ and $31x + 27y = 89$

3. प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों को हल कीजिए

• $3x – y – 7 = 0$ and $2x + 5y + 1 = 0$
• उन दो संख्याओं को ज्ञात करें जिनका योग $75$ और अंतर $15$ है

4. वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों को हल करें

• $x + 2y – 2 = 0$ and $x – 3y – 7 = 0$
• दो अंकों की संख्या के अंकों का योग $8$ है और अंकों को उलटने से बनी संख्या और संख्या के बीच का अंतर $18$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म वे समीकरण होते हैं जिनमें प्रत्येक दो चर $1$ के उच्चतम घातांक क्रम के होते हैं और एक, एक भी नहीं, या अनंत हल होते हैं। इन समीकरणों को हल करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली चार विधियाँ हैं – ग्राफीय विधि, प्रतिस्थापन विधि, वज्र गुणन विधि और विलोपन विधि।

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