कोणों का युग्म – परिभाषा, आरेख, प्रकार और उदाहरण

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दो रेखाओं के मिलने या प्रतिच्छेद करने पर बनने वाली आकृति कोण कहलाती है। कोण ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। कोणों के युग्म और कुछ नहीं बल्कि दो कोण होते हैं। इसके अलावा, यदि दो कोणों के लिए एक सामान्य रेखा होती है, तो इसे ‘कोण युग्म’ के रूप में जाना जाता है।

आइए समझते हैं कि कोणों के युग्म का क्या अर्थ है और कोणों के विभिन्न प्रकार के युग्म उनके गुणों क्या हैं।

कोणों का युग्म क्या है?

‘कोणों का युग्म’ शब्द का प्रयोग दो कोणों को एक साथ लिए जाने के लिए किया जाता है। कोण जोड़े को इसलिए कहा जाता है क्योंकि वे हमेशा दो कोणों के रूप में दिखाई देते हैं जो एक साथ काम करते हुए कुछ असामान्य या दिलचस्प संपत्ति प्रदर्शित करते हैं। कोणों के युग्म आठ प्रकार के होते हैं।

• संपूरक कोण
• पूरक कोण
• कोणों का रैखिक युग्म
• शीर्षाभिमुख कोण
• एकांतर अंतः कोण
• एकांतर बाह्य कोण
• संगत कोण
• आसन्न कोण

संपूरक कोण

एक कोण युग्म जो $90^{\circ}$ तक जोड़ती है, संपूरक कोणों का युग्म कहलाता है। इन युग्मों को संपूरक होने के लिए स्पर्श करने की आवश्यकता नहीं है। कोई भी दो कोण जिनका योग $90^{\circ}$ होता है, संपूरक कोण जोड़े होते हैं।

उपरोक्त आकृति में, $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{DEF}$ दो अलग-अलग कोण हैं जिनमें कोई भुजा (या भुजा) उभयनिष्ठ नहीं है। इन दो कोणों का योग $36 + 54 = 90^{\circ}$ है, इसलिए $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{DEF}$ संपूरक कोणों का एक युग्म बनाते हैं।

$\angle \text{LMO}$ और $\angle \text{OMN}$ के मामले में, ये दो कोण एक सामान भुजा $\text{MO}$ साझा करते हैं और ये संपूरक का एक युग्म भी बनाते हैं $60 + 30 = 90^{\circ}$ के रूप में।

पूरक कोण

एक कोण युग्म जो $180^{\circ}$ का योग बनाती है उसे पूरक कोणों का युग्म कहा जाता है। पूरक होने के लिए इन जोड़ियों को स्पर्श करने की आवश्यकता नहीं है। कोई भी दो कोण जिनका योग $180^{\circ}$ होता है, पूरक कोण युग्म होते हैं।

नोट: जब पूरक कोणों का एक युग्म एक उभयनिष्ठ भुजा (या भुजा) साझा करता है, तो इसे रैखिक युग्म कहा जाता है।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{DEF}$ दो अलग-अलग कोण हैं जिनमें कोई भुजा (या भुजा) उभयनिष्ठ नहीं है। इन दो कोणों का योग $70 + 110 = 180^{\circ}$ है, इसलिए $\angle \text{ABC}$ और $\angle \text{DEF}$ पूरक कोणों का एक युग्म  बनाते हैं।

$\angle \text{MOL}$ और $\angle \text{LON}$ के मामले में, ये दो कोण एक समान भुजा $\text{LO}$ साझा करते हैं और ये पूरक का युग्म भी बनाते हैं $65 + 115 = 180^{\circ}$ के रूप में।

कोणों का रैखिक युग्म

दो कोणों को कोणों का एक रैखिक युग्म कहा जाता है यदि दोनों कोण एक अतिरिक्त शर्त के साथ आसन्न कोण हैं कि उनका असमान भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाते हैं ($180^{\circ}$ का कोण)।

उपरोक्त चित्र में, कोण $\angle \text{ABD}$ और $\angle \text{DBC}$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं क्योंकि इन दोनों कोणों का योग $125 + 55 = 180^{\circ}$ है और वे एक समान भुजा $\text{DB}$ साझा करते हैं और असमान भुजाएँ  $\text{AB}$ और $\text{BC}$ एक सीधी रेखा $\text{AC}$ बनाते हैं।

दूसरी आकृति में भी कोणों के रैखिक युग्म हैं

• $\angle \text{XOQ}$ and $\angle \text{QOY}$
• $\angle \text{QOY}$ and $\angle \text{POY}$
• $\angle \text{POY}$ and $\angle \text{XOP}$
• $\angle \text{XOP}$ and $\angle \text{XOQ}$

शीर्षाभिमुख कोण

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने कोणों के दो युग्मों को शीर्षाभिमुख कोण कहते हैं। कोणों के ये युग्म ऐसे प्रतिच्छेदन में विपरीत कोण होते हैं।

उपरोक्त चित्र में, दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ $\text{AB}$ और $\text{XY}$, $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, कोणों के दो युग्म (या चार कोण) बनाती हैं – $\angle \text{AOX}$, $\angle \text{XOB}$, $\angle \text{BOY}$, और $\angle \text{AOY}$।

इस सन्दर्भ में, $\angle \text{AOX}$ और $\angle \text{BOY}$ शीर्षाभिमुख कोण हैं और इसी प्रकार, $\angle \text{AOY}$ और $\angle \text{XOB}$ भी शीर्षाभिमुख कोण हैं।

इसलिए, $\angle \text{AOX} = \angle \text{BOY}$ और $\angle \text{AOY} = \angle \text{XOB}$।

नोट: शीर्षाभिमुख कोणों के एक युग्म में कोण सदैव एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एकांतर अंतः कोण

जब एक तिर्यक रेखा समानांतर रेखाओं के युग्म को काटती है तो एकांतर अंतः कोण बनते हैं। एकांतर अंतः कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। एकांतर अंतः कोण दो समानांतर रेखाओं के अंदर बनते हैं जो एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{3}$ और $\angle \text{5}$ एकांतर आंतरिक कोणों का एक युग्म बनाते हैं। इसी प्रकार, $\angle \text{4}$ और $\angle \text{6}$ भी एकांतर आंतरिक कोणों का एक युग्म बनाते हैं।

नोट:

• जब एक तिर्यक रेखा समानांतर रेखाओं के एक युग्म को काटती है तो एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।
• जब एक तिर्यक रेखा असमानांतर रेखाओं के एक युग्म को काटती है तो एकांतर अंतः कोण बराबर नहीं होते हैं।

एकांतर बाह्य कोण

तिर्यक रेखा के दोनों ओर एकांतर बाह्य कोण बनते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{1}$ और $\angle \text{7}$ एकांतर बाह्य कोणों का एक युग्म बनाते हैं। इसी प्रकार, $\angle \text{2}$ और $\angle \text{8}$ भी एकांतर बाह्य कोणों का एक युग्म बनाते हैं।

नोट:

• जब एक तिर्यक रेखा समानांतर रेखाओं के एक युग्म को काटती है तो एकांतर बाह्य कोण पूरक होते हैं।
• जब एक तिर्यक रेखा असमानांतर रेखाओं के एक युग्म को काटती है तो एकांतर बाह्य कोण पूरक नहीं होते हैं।

संगत कोण

जब रेखाओं के एक युग्म को एक तिर्यक रेखा काटती है तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने कोण संगत कोण कहलाते हैं। संगत कोणों को खोजने का एक तरीका यह है कि आरेख पर एक अक्षर $\text{F}$ बनाया जाए। $\text{F}$ का मुख पीछे की ओर भी हो सकता है।

उपरोक्त चित्र में, संगत कोण हैं

• $\angle \text{1}$ and $\angle \text{5}$
• $\angle \text{2}$ and $\angle \text{6}$
• $\angle \text{3}$ and $\angle \text{7}$
• $\angle \text{4}$ and $\angle \text{8}$

आसन्न कोण

जब दो कोण एक दूसरे के बगल में होते हैं, तो वे आसन्न कोण कहलाते हैं। आसन्न कोण एक उभयनिष्ठ भुजा और एक उभयनिष्ठ शीर्ष साझा करते हैं। आसन्न कोणों को अक्सर कोण जोड़े माना जाता है, भले ही उनके पास केवल एक ही पहचान के लिए एक ही गुण होता है: वे एक सामान्य शीर्ष और पक्ष साझा करते हैं। उन्हें किसी भी तरह से पूरक, संपूरक या विशेष होने की आवश्यकता नहीं है।

उपरोक्त चित्र में, $\angle \text{AOB}$ और $\angle \text{BOC}$ आसन्न कोण हैं क्योंकि ये कोण एक भुजा (या भुजा) $\text{OB}$ साझा करते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. कोणों के युग्म का क्या अर्थ है?
2. निम्नलिखित कोणों को परिभाषित कीजिए
   • संपूरक कोण
   • पूरक कोण
   • कोणों का रैखिक युग्म
   • शीर्षाभिमुख कोण
   • एकांतर अंतः कोण
   • एकांतर बाह्य कोण
   • संगत कोण
   • आसन्न कोण
3. सही या गलत बताएं
   • पूरक कोणों के युग्म में कोण बराबर होते हैं।
   • पूरक कोणों के युग्म में कोणों का योग $90^{\circ}$ है।
   • पूरक कोणों के युग्म में कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
   • संपूरक कोणों के युग्म में कोण बराबर होते हैं।
   • संपूरक कोणों के युग्म में कोणों का योग $90^{\circ}$ है।
   • संपूरक कोणों के युग्म में कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
   • रैखिक युग्म में कोण बराबर होते हैं।
   • एक रैखिक युग्म में कोणों का योग $90^{\circ}$ है।
   • एक रैखिक जोड़ी में कोणों का योग $180^{\circ}$ है।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

कोणों के कितने युग्म होते हैं?

नीचे सूचीबद्ध कोणों के आठ युग्म हैं:
a) संपूरक कोण
b) पूरक कोण
c) कोणों का रैखिक युग्म
d) शीर्षाभिमुख कोण
e) एकांतर अंतः कोण
f) एकांतर बाह्य कोण
g) संगत कोण
h) आसन्न कोण

सम्पूरक कोण क्या होते हैं?

एक कोण युग्म जो $90^{\circ}$ का योग बनाता है उसे सम्पूरक कोणों का युग्म कहा जाता है।

पूरक कोण क्या होते हैं?

एक कोण युग्म जो $180^{\circ}$ का योग बनाती है उसे पूरक कोणों का युग्म कहा जाता है।

कोणों के रैखिक युग्म क्या होते हैं?

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो आसन्न कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्म का योग $180^{\circ}$ है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी रैखिक जोड़े पूरक होते हैं क्योंकि पूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।

निष्कर्ष

‘कोणों का युग्म’ शब्द का प्रयोग दो कोणों को एक साथ लिए जाने के लिए किया जाता है। कोण युग्म इसलिए कहा जाता है क्योंकि वे हमेशा दो कोणों के रूप में दिखाई देते हैं जो एक साथ काम करते हुए कुछ असामान्य या दिलचस्प गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो ज्यामिति में समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

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