बहुपदों के साथ संक्रियाएँ (विधियों, नियमों और उदाहरणों के साथ)

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बहुपद $a_{n} x^{n} + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + …+ a_{1} x + a_{0}$ के रूप के विशेष प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक हैं। इनका उपयोग गणित के लगभग हर क्षेत्र में संख्याओं को व्यक्त करने के लिए किया जाता है और गणित की कुछ शाखाओं जैसे कैलकुलस में इन्हें बहुत महत्वपूर्ण माना जाता है। आप बहुपदों पर चार गणितीय संक्रियाएँ – योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन कर सकते हैं।

आइए बहुपदों के साथ संक्रियाओं की विधियों को उदाहरणों के साथ समझते हैं।

बहुपदों के साथ संक्रियाएँ

जैसे आप वास्तविक संख्याओं पर चार मूलभूत संक्रियाएँ करते हैं, जैसे योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन, उसी प्रकार आप इन संक्रियाओं को बहुपदों पर भी कर सकते हैं।

योग और व्यवकलन की संक्रियाएं बहुपदों में पदों के प्रकार के संदर्भ में गुणन और भाग की संक्रियाओं से भिन्न होती हैं।
आप दो बहुपदों के केवल समान पदों को जोड़ और/या घटा सकते हैं। परन्तु गुणन और विभाजन में, आप इन संक्रियाओं को समान पदों के साथ-साथ असमान पदों के साथ भी कर सकते हैं।

बहुपदों का योग

बहुपदों का योग सरल है। बहुपद का योग करते समय, आप केवल समान पद जोड़ते हैं। आप जटिल योग में एक साथ सामान पदों का मिलान करने के लिए कॉलम का उपयोग कर सकते हैं।

बहुपदों का योग करते समय इन दो नियमों को याद रखें।

नियम 1: योग करते समय हमेशा समान पदों को एक साथ लें।

नियम 2: सभी बहुपदों के चिह्न समान रहते हैं।

दो बहुपदों को जोड़ने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्टैप्स हैं

स्टैप 1: बहुपद को मानक रूप में व्यवस्थित करें, अर्थात, चर की घातों को अवरोही क्रम में

स्टैप 2: समान पदों को एकत्रित करें

स्टैप 3: समान पद जोड़ें

स्टैप 4: पदों के योग को चर की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें, अर्थात बहुपद का मानक रूप

उदाहरण

आइए बहुपदों के योग की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $5x^2 – 7x + 9$ और $3x^2 + 5x + 7$ जोड़ें

दो बहुपदों में समान पद हैं

$5x^2$ और $3x^2$

$ – 7x$ और $5x$

$9$ और $7$

समान पदों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

$5x^2 + 3x^2 = 8x^2$

$ – 7x + 5x = -2x$

$9 + 7 = 16$ 

अतः, $\left(5x^2 – 7x + 9 \right) + \left(3x^2 + 5x + 7 \right) = 8x^2 – 2x + 16$

वैकल्पिक रूप में

$\left(5x^2 – 7x + 9 \right) + \left(3x^2 + 5x + 7 \right)$

$=5x^2 – 7x + 9 + 3x^2 + 5x + 7$

$= \left(5x^2 + 3x^2 \right) + \left(- 7x + 5x \right) + \left(9 + 7 \right)$

$= 8x^2 – 2x + 16$

Ex 2: $5x^4 – 3x^3$, $4 + x^3$ और $2x^4 – 7x^3$ जोड़ें

दो बहुपदों में समान पद है

$5x^4$ और  $2x^4$

$-3x^3$, $x^3$ और  $- 7x^3$

$4$ एक अकेला पद है

समान पदों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

$5x^4 + 2x^4 = 7x^4$

$-3x^3 + x^3 – 7x^3 = – 9x^3$

अतः,  $\left(5x^4 – 3x^3 \right)+ \left(4 + x^3 \right) + \left(2x^4 – 7x^3 \right) = 7x^4 – 9x^3 + 4$ 

वैकल्पिक रूप में

$\left(5x^4 – 3x^3 \right) + \left(4 + x^3 \right) + \left(2x^4 – 7x^3 \right)$

$= 5x^4 – 3x^3 + 4 + x^3 + 2x^4 – 7x^3 $

$= 5x^4 + 2x^4 – 3x^3 + x^3 – 7x^3 + 4 $

$= 7x^4 – 9x^3 + 4 $

बहुपदों का व्यवकलन

बहुपदों का व्यवकलन उतना ही सरल है जितना कि बहुपदों का योग। बहुपदों को घटाते समय, आप केवल समान पदों को घटाते हैं। आप जटिल अंतर में एक साथ सामान पदों का मिलान करने के लिए कॉलम का उपयोग कर सकते हैं।

बहुपदों का व्यवकलन करते समय इन दो नियमों को याद रखें।

नियम 1: व्यवकलन समय हमेशा समान पदों को एक साथ लें।

नियम 2: घटाए जाने वाले बहुपद के सभी पदों के चिह्न बदल जाएंगे, $+$ $-$ में बदल जाएगा, और $-$ $+$ में बदल जाएगा।

दो बहुपदों के व्यवकलन के लिए उपयोग किए जाने वाले स्टैप्स हैं

स्टैप 1: बहुपद को मानक रूप में व्यवस्थित करें, अर्थात् चर की घातों को अवरोही क्रम में

स्टैप 2: समान पदों को एकत्रित करें

स्टैप 3: बहुपद के उस हिस्से को संलग्न करें जिसे एक नकारात्मक $(-)$ चिह्न के साथ लघुकोष्ठक में घटाया जाना है। फिर, बहुपद व्यंजक के प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक हटा दें।

स्टैप 4: यदि आवश्यक हो, तो चिह्नों को बदलकर समान पदों को घटाएँ

स्टैप 5: पदों के अंतर को चर की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें, अर्थात बहुपद का मानक रूप

उदाहरण

Ex 1: $7x^2 + 8x$ में से $5x^2 – 2x$ घटाएँ

दो बहुपदों में समान पद हैं

$5x^2$ और $7x^2$

$- 2x$ और $8x$

समान पदों को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

$7x^2 – 5x^2 = 2x^2$

$8x – (-2x) = 8x + 2x = 10x$

इसलिए, $\left( 7x^2 + 8x \right) – (5x^2 – 2x) = 2x^2 + 10x$।

वैकल्पिक रूप में

$\left(7x^2 + 8x \right) – \left(5x^2 – 2x \right)$

$7x^2 + 8x – 5x^2 + 2x$

अतः, $\left( 7x^2 + 8x \right) – (5x^2 – 2x) = 2x^2 + 10x$.

नोट: कोष्ठक खोलते समय चिह्न बदलें।

$\left(7x^2 – 5x^2 \right) + \left(8x + 2x \right) = 2x^2 + 10x$.

Ex 2: $9x^2 – 2x$ में से $3x^2 + 2x – 5$ घटाएँ

दो बहुपदों में समान पद हैं

$3x^2$ और $9x^2$

$2x$ और $-2x$

$- 5$ एक अकेला पद है

समान पदों को घटाने पर हमें प्राप्त होता है 

$9x^2 – 3x^2 = 6x^2$

$- 2x – 2x = -4x$

$0 – (-5) = 0 + 5 = 5$

अतः, $\left( 9x^2 – 2x \right) – \left(3x^2 + 2x – 5 \right) = 6x^2 – 4x + 5$.

वैकल्पिक रूप में

$\left(9x^2 – 2x \right) – \left( 3x^2 + 2x – 5 \right)$

$= 9x^2 – 2x – 3x^2 – 2x + 5$

$= \left(9x^2 – 3x^2 \right) + \left(- 2x – 2x \right) + 5$

$6x^2 – 4x + 5$

अतः, $\left( 9x^2 – 2x \right) – \left(3x^2 + 2x – 5 \right) = 6x^2 – 4x + 5$.

बहुपदों का गुणन

बहुपदों का गुणन दो या दो से अधिक बहुपदों को आपस में गुणा करने की एक विधि है। परिणामी बहुपद प्राप्त करने के लिए पहले बहुपद के पदों को दूसरे बहुपद से गुणा किया जाता है।

हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले बहुपदों के प्रकार के आधार पर, उन्हें गुणा करने के विभिन्न तरीके हैं। प्रत्येक प्रकार के बहुपद के लिए बहुपदों के गुणन के नियम अलग-अलग होते हैं।

बहुपदों को गुणा करने के लिए, गुणांक को एक गुणांक से गुणा किया जाता है, और चर को एक चर से गुणा किया जाता है।

किसी भी दो बहुपदों को गुणा करने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्टैप्स हैं

स्टैप 1: गुणांकों को गुणा करें

स्टैप 2: चरों को घातांक नियमों का उपयोग करके गुणा करें

उदाहरण

Ex 1: $3x^2$ को $2x^4$ से गुणा करें

$3x^2 \times 2x^4 = (3 \times 2) \left(x^2 \times x^4 \right) = 6 x^{2 + 4} = 6x^4$.

विभिन्न चरों वाले बहुपदों का गुणन

आप विभिन्न चरों वाले बहुपदों का गुणा भी कर सकते हैं। विभिन्न चरों वाले बहुपदों को गुणा करने के स्टैप्स हैं:

स्टैप 1: गुणांकों को गुणा करें

स्टैप 2: चरों को गुणा करें और जहाँ भी आवश्यक हो घातांक के नियमों का उपयोग करें।

उदाहरण

Ex 1: $2x^2$ को $4y$ से गुणा करें।

$2x^2 \times 4y = (2 \times 4) \left(x^2 \times y \right) = 8x^2y$.

Ex 2: $3a^2bc^3$ को $2abx$ से गुणा करें

$3a^2bc^3 \times 2abx = (3 \times 2) \left(a^2 \times a \right)(b \times b) c^3 x$

$= 6a^{2 + 1}b^{1 + 1} c^3 x = 6a^3b^2 c^3 x$

द्विपदों का गुणन

द्विपदों को गुणा करने के लिए, हम बंटन गुण का उपयोग करते हैं। आइए एक द्विपद $(a + b)$ को एक अन्य द्विपद $(c + d)$ से गुणा करें।

दो द्विपदों को गुणा करने के लिए अनुसरण किया जाने वाले स्टैप्स हैं 

स्टैप 1: दोनों द्विपदों को एक साथ लिखें अर्थात $(a + b)(c + d)$

स्टैप 2: दो कोष्ठकों में से एक कोष्ठक स्थिर रखें, मान लीजिए $(c + d)$

स्टैप 3: अब प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें अर्थात $(a + b)$ को $(c + d)$ से गुणा करें

उदाहरण

Ex 1: $2x^2 + 5x$ को $3x – 2$ से गुणा करें

$\left(2x^2 + 5x \right)(3x – 2)$

$= 2x^2 \left(3x – 2 \right) + 5x\left(3x – 2 \right)$

$= 2x^2 \times 3x + 2x^2 \times (-2) + 5x \times 3x + 5x \times (-2)$

$= 6x^3 – 4x^2 + 15x^2 – 10x = 6x^3 + 11x^2 – 10x$

बहुपदों का विभाजन

बहुपदों को विभाजित करना एक अंकगणितीय संक्रिया है जहाँ हम एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करते हैं, आम तौर पर भाज्य की तुलना में कम घात के साथ। दो बहुपदों के विभाजन का परिणाम बहुपद हो भी सकता है और नहीं भी।

गुणन के समान, विभाजन में भी एक बहुपद के गुणांक को दूसरे बहुपद के गुणांक से विभाजित किया जाता है, और एक बहुपद के चर को दूसरे बहुपद के चर से विभाजित किया जाता है।

किन्हीं दो बहुपदों को विभाजित करने के लिए प्रयुक्त स्टैप्स हैं

स्टैप 1: गुणांकों को विभाजित करें

स्टैप 2: घातांक नियमों का उपयोग करके चरों को विभाजित करें। चरों को विभाजित करते समय घातांकों के नियमों को ध्यान में रखा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: $12x^{3}$ को $2x$ से विभाजित करें

$12x^{3} \div 2x = \frac {12x^3}{2x} = \frac{12}{2} \times \frac{x^3}{x} = 6x^{3 – 1} = 6x^2$

Ex 2: $15x^3 + 5x^2 + 2x$ को $5x$ से विभाजित करें

$\left(15x^3 + 5x^2 + 2x + 7 \right) \div 5x = \frac{15x^3 + 5x^2 + 2x + 7}{5x} = \frac{15x^3}{5x} + \frac{5x^2}{5x} + \frac{2x}{5x} = 3x^2 + x + \frac{2}{5}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित बहुपदों को जोड़िये 

• $3x^3 + 2x^2 – 5x + 7$, $-x^2 + 9$
• $8x^2 – x  + 2$, $4x^3 + 8x – 9$, $2x + 5$

2. निम्नलिखित बहुपदों को घटाइए

• $7x^3 – 2x^2 + 8x + 7$ से $12x^3 – 5x^2 – 8x + 19$
• $8x^3 + 6x + 4$ से $12x^3 + 12x + 8$

3. निम्नलिखित बहुपदों का गुणा कीजिए

• $5abx^3$ और $12a^2bx^2$
• $-15x^2 + y^2$ और $2x^2 – 3y^2$

4. निम्नलिखित बहुपदों को विभाजित करें

• $12x^3 – 6x^2 + 3x$ को $3x$ से
• $-15x^4 + 12x^3 + 16x^2$ को $4x^2$ से

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

बहुपदों के साथ, आप चार बुनियादी गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं, जैसे, योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन। योग और व्यवकलन में, केवल समान पदों को जोड़ा या घटाया जाता है, जबकि, गुणन और विभाजन में, आप समान पदों के साथ-साथ असमान पदों को भी गुणा या विभाजित कर सकते हैं।

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