द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति (विधियों और उदाहरणों के साथ)

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वास्तविक जीवन में, द्विघात समीकरण हमें अंतरिक्ष का क्षेत्रफल, किसी गतिमान वस्तु की गति, किसी उत्पाद पर प्राप्त लाभ का मूल्य, और बहुत कुछ निर्धारित करने में मदद करते हैं। यहां तक कि एक अंतरिक्ष रॉकेट के पथ को द्विघात समीकरण के रूप में वर्णित किया गया है। द्विघात समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियाँ हैं।

चूंकि द्विघात समीकरण घात-$2$ समीकरण हैं, उनके $2$ मूल या शुन्यंक या समाधान हैं, जो वास्तविक संख्या या अवास्तविक संख्या हो सकते हैं। आप वास्तव में उन्हें हल किए बिना द्विघात समीकरण की जड़ों की प्रकृति निर्धारित कर सकते हैं।

आइए समझते हैं कि बिना हल किए द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति कैसे ज्ञात करें।

द्विघात समीकरण के मूल

दिए गए द्विघात समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के मान उसके मूल कहलाते हैं। दूसरे शब्दों में, $x = x_{1}$ द्विघात समीकरण $f\left(x \right)$ का एक मूल है, यदि $f\left(x_{1} \right) = 0$।

समीकरण $f \left(x \right) = 0$ के वास्तविक मूल उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहां वक्र $f \left(x \right)$ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। इन बिंदुओं को $x$-अवरोधन के रूप में भी जाना जाता है।

गुणांकों पर आधारित द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति

द्विघात समीकरण के गुणांकों के आधार पर, मूल हो सकते हैं

• द्विघात समीकरण की मूलों में से एक शून्य है और दूसरा $-\frac{b}{a}$ है यदि $c = 0$
• यदि $b = c = 0$ है तो दोनों मूल शून्य हैं
• मूल एक दूसरे के लिए व्युत्क्रम हैं यदि $a = c$

जब $c = 0$

द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ है

जब $c = 0$, तो समीकरण $ax^{2} + bx = 0$ हो जाता है

$=>x \left(ax + b \right) = 0$

$=>x = 0$ or $ax + b = 0$

$=>x = 0$ or $x = -\frac{b}{a}$

जब $b = c = 0$

द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ है

जब $b = c = 0$, तो समीकरण $ax^{2} = 0$ हो जाता है

$=>x^{2} = 0$

$=>x = 0$

विविक्तकर के आधार पर द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति

द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए, मान $b^{2} – 4ac$ को द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहा जाता है और इसे $\text{D}$ या $\triangle$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

• विविक्तकर का मान शून्य $\left(0 \right)$, धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। विविक्तकर के मान के आधार पर हम वास्तव में हल किए बिना द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति का निर्णय कर सकते हैं।
• जब $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac = 0$, दो मूल वास्तविक और बराबर होते हैं
• जब $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac > 0$, दो मूल वास्तविक और असमान होते हैं
• जब $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac < 0$, दो मूल काल्पनिक होते हैं

उदाहरण

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति की जाँच करने की प्रक्रिया को समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: द्विघात समीकरण $2x^{2} + 8x + 7 = 0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c$ के मानक रूप के साथ $2x^{2} + 8x + 7$ की तुलना करने पर हमें समीकरण के गुणांक $a = 2$, $b = 8$ मिलते हैं , और $c = 7$।

समीकरण का विविक्तकर $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac = 8^{2} – 4 \times 2 \times 7 = 64 – 56 = 8$।

चूंकि, $8 \gt 0$, इसलिए द्विघात समीकरण $2x^{2} + 8x + 7 = 0$ के दो वास्तविक असमान मूल हैं।

आइए इसे हल करके सत्यापित करें।

$2x^{2} + 8x + 7 = 0$

द्विघात सूत्र से, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$

$=> x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^{2} – 4 \times 2 \times 7}}{2 \times 2}$

$=> x = \frac{-8 \pm \sqrt{8}}{4}$

$=> x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2}}{4}$

$=> x = \frac{-4 \pm \sqrt{2}}{2}$

$=> x = -2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ and $x = -2 – \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ex 2: द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + 9 = 0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

$x^{2} + 6x + 9$ की तुलना द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c$ के मानक रूप से करने पर, हमें समीकरण के गुणांक $a = 1$, $b = 6$ मिलते हैं , और $c = 9$।

समीकरण का विविक्तकर $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac = 6^{2} – 4 \times 1 \times 9 = 36 – 36 = 0$।

चूंकि, $0 = 0$, इसलिए द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + 9 = 0$ के दो वास्तविक समान मूल हैं।

Ex 3: द्विघात समीकरण $3x^{2} – 2x + 9 = 0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c$ के मानक रूप के साथ $3x^{2} – 2x + 9 = 0$ की तुलना करने पर हमें समीकरण के गुणांक $a = 3$, $b =-2$, और $c = 9$ के रूप में मिलते हैं।

समीकरण का विविक्तकर $\text{D} = \triangle = b^{2} – 4ac = \left(-2 \right)^{2} – 4 \times 3 \times 9 = 4 – 108 = -104 $।

चूंकि, $-104 \lt 0$, इसलिए द्विघात समीकरण $3x^{2} – 2x + 9 = 0$ का कोई वास्तविक समान मूल नहीं है।

नोट: जब किसी द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो इसका अर्थ है कि इसका मूल अवास्तविक संख्या है।

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति संक्षेप में इस प्रकार है।

• यदि विविक्तकर का मान $\left(\text{D} \right) = 0$ अर्थात $b^{2} – 4ac = 0$
• द्विघात समीकरण के मूल बराबर होंगे अर्थात $\alpha = \beta = -\frac{b}{2a}$
• यदि विविक्तकर का मान $\left(\text{D} \right) \lt 0$ अर्थात $b^{2} – 4ac \lt 0$
• द्विघात समीकरण में अवास्तविक मूल हैं अर्थात $\alpha = \left(p + iq \right)$ और $\beta = \left(p – iq \right)$, यहाँ $iq$ एक सम्मिश्र संख्या का अवास्तविक भाग का मान $\left(\text{D} \right) \gt 0$ यानी $b^{2} – 4ac \gt 0$ है  
• द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होंगे यदि विविक्तकर का मान $\left(\text{D} \right) \gt 0$ और $\text{ D }$ एक पूर्ण वर्ग है
• द्विघात समीकरण के परिमेय मूल होंगे यदि $\left(\text{D} \right) \gt 0$ और $\text{ D }$ का मान एक पूर्ण वर्ग नहीं है
• द्विघात समीकरण के अपरिमेय मूल होंगे अर्थात $\alpha = \left(p + \sqrt{q} \right)$ और $\beta = \left(p – \sqrt{q} \right)$ यदि $\left(\text{D} \right) \gt 0$, $\text{D}$ का मान एक पूर्ण वर्ग है, $a = 1$ और $b$ और $c$ पूर्णांक हैं
• द्विघात समीकरण में अभिन्न मूल होंगे यदि $\left(\text{D} \right) \gt 0$, $\text{D}$ का मान एक पूर्ण वर्ग है, $a = 1$ और $b$ और $c$ पूर्णांक हैं

द्विघात समीकरणों के सामान्य मूल या मूलों के लिए नियम

मान लीजिए दो द्विघात समीकरण हैं $a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{ 2} = 0$

अब हम इस नियम ज्ञात करने जा रहे हैं कि उपरोक्त द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल हो सकता है।

माना $\alpha$ समीकरणों का सामान्य मूल है $a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $a_{2}x^{2} + b_{ 2}x + c_{2} = 0$। तो,

$a_{1} \alpha^{2} + b_{1} \alpha + c_{1} = 0$

$a_{2} \alpha^{2} + b_{2} \alpha + c_{2} = 0$

अब समीकरण $a_{1} \alpha^{2} + b_{1} \alpha + c_{1} = 0$, $a_{2} \alpha^{2} + b_{2} \alpha + c_{2} = 0$ को वज्र-गुणन द्वारा हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\frac{\alpha^{2}}{b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}} = \frac{α}{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}}$

$=> \alpha = \frac{b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}}{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}$, (पहले दो से)

Or, $\alpha = \frac{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}}$, (From $2^{nd}$ and $3^{rd}$)

$=>\frac{b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}}{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}} = \frac{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}}$

$=> \left(c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1} \right)^{2} = \left(b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1} \right) \left(a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1} \right)$, जो दो द्विघात समीकरणों में एक मूल के उभयनिष्ठ होने के लिए आवश्यक नियम है।

उदाहरण

Ex 1: $k$ के किस मान के लिए, दोनों द्विघात समीकरण $6x^{2} – 17x + 12 = 0$ और $3x^{2} – 2x + k = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल होगा।

यदि द्विघात समीकरणों के मूलों में से एक समान $a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$ होगा तब, $\left(a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1} \right) \left(b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1} \right) = \left(a_{2}c_{1} – a_{1}c_{2} \right)^{2}$ ———– -(1)

दिए गए द्विघात समीकरणों से, $a_{1} = 6$, $b_{1} = -17$, $c_{1} = 12$, $a_{2} = 3$, $b_{2} = – 2$ और $c_{2} = k$।

इन मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करेंगे:

$\left( \left(6 \times \left(-2 \right) \right) – \left(3\times \left(-17 \right) \right) \right) \times \left(-17k – \left(-2 \times 12 \right) \right) = \left( 3 \times 12 – 6k \right)^{2}$

$=>-663k + 936 = 1296 + 36k^{2} – 432k$

$=>36k^{2} + 231k + 360 = 0$

$=>12k^{2} + 125k + 120 = 0$

$=> \left(4k + 15 \right) \left(3k + 8 \right) = 0$

इसलिए, $k$ के मान $-\frac{15}{4}$, $-\frac{8}{3}$ है।

Ex 2: $k$ का मान ज्ञात कीजिए कि द्विघात समीकरण $x^{2} – 11x + k = 0$ और $x^{2} – 14x + 2k = 0$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

माना $\left(x – \alpha \right)$ द्विघात समीकरणों $x^{2} – 11x + k = 0$ और $x^{2} – 14x + 2k = 0$ के समान गुणनखंड है  फिर $x = \alpha$ दिए गए द्विघात समीकरणों को संतुष्ट करेगा। 

अतः, $\alpha^{2} – 11 \alpha + k = 0$ ———————- (1)

और, $\alpha^{2} – 14 \alpha + 2k = 0$  ——————— (2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) को हल करने पर हम पाते हैं:

$\frac{\alpha^{2}}{-22k + 14k} = -\frac{\alpha}{2k – k} = \frac{1}{-14 + 11}$

अतः, $α^{2} = \frac{-22k + 14k}{-3} = \frac{8k}{3}$ ——————— (3)

और, $\alpha = \frac{2k – k}{-14 + 11} = \frac{k}{3}$ ———————– (4)

समीकरण (3) और समीकरण (4) को समान बनाने पर

$\frac{8k}{3} = \left(\frac{k}{3} \right)^{2}$

इसलिए, $k = 24$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए
   • $2x^{2} + 5x – 3$
   • $x^{2} – 7x – 2$
   • $4x^{2} + x + 6$
   • $2x^{2} – 2x + 1$
2. $k$ के किस मूल्य(ओं) के लिए, निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के वास्तविक मूल समान हैं
   • $kx^{2} + x – 2$
   • $2x^{2} + 4x + 8$
3. $k$ के किस मूल्य(ओं) के लिए, निम्नलिखित द्विघात समीकरणों का कोई वास्तविक मूल नहीं है
   • $x^{2} + kx – 5$
   • $kx^{2} + 2x + 8$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

चूंकि द्विघात समीकरण घात-$2$ समीकरण हैं, उनके $2$ मूल या शुन्यंक या हल होते हैं, जो वास्तविक संख्या या अवास्तविक संख्या हो सकते हैं। विविक्तकर के मान का उपयोग करके कोई द्विघात समीकरण के शुन्यंक या मूलों को वास्तविक रूप से हल किए बिना सत्यापित कर सकते हैं!

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