बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन (विधियों और उदाहरणों के साथ)

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गणित में, योग, व्यवकलन, गुणन और भाग चार बुनियादी संक्रियाएँ हैं। जैसे हम संख्याओं का गुणा करते हैं वैसे ही हम बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन भी कर सकते हैं। योग और व्यवकलन के सन्दर्भ में, हम केवल समान पदों को जोड़ या घटा सकते हैं। परन्तु बीजगणितीय व्यंजकों के गुणन के सन्दर्भ में, भाग लेने वाले पदों को समान पद होने की आवश्यकता नहीं है। हम दो या दो से अधिक समान पदों और असमान पदों का गुणा कर सकते हैं।

आइए चरणों और उदाहरणों के साथ बीजगणितीय व्यंजकों को गुणा करने की विधियों को समझते हैं।

बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन क्या है?

बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन दो दिए गए व्यंजकों को चरों और स्थिरांकों से मिलकर गुणा करने की एक विधि है। बीजगणितीय व्यंजकों के गुणन में शामिल सामान्य प्रक्रिया है

• पदों के गुणांक गुणा करें
• समान आधार वाले चरों की घातों को जोड़ें
• समान और असमान पदों का बीजगणितीय योग प्राप्त करें

उदाहरण के लिए, $2x^{3} \times 4x^{2} = \left(2 \times 4 \right) \left(x^{3} \times x^{2} \right) = 8x^{3 + 2} = 8x^{5}$

$3a^{2} \times 5b^{3} = \left(3 \times 5 \right) \left(a^{2} \times b^{3} \right) = 15a^{2}b^{3}$

गुणांकों को गुणा करते समय पूर्णांकों के गुणन के सामान्य नियमों का पालन किया जाता है।

• $\text{Positive} \times \text{Positive} = \text{Positive}$, i.e., $+ \times + = +$
• $\text{Positive} \times \text{Negative} = \text{Negative}$, i.e., $+ \times – = -$
• $\text{Negative} \times \text{Positive} = \text{Negative}$, i.e., $- \times + = -$
• $\text{Negative} \times \text{Negative} = \text{Positive}$, i.e., $- \times – = +$

और, चरों को गुणा करते समय, घातांकों के गुणन नियम का पालन किया जाता है

• $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

बीजगणितीय व्यंजकों का गुणा कैसे करें?

कई प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक हैं जैसे एकपदी, द्विपद, त्रिपद, और बहुपद। बीजगणितीय व्यंजकों के प्रकार के आधार पर ये बीजगणितीय व्यंजकों के गुणन के विभिन्न प्रकार हैं।

• एकपदी को एकपदी से गुणा करना
• एक एकपदी को द्विपद से गुणा करना
• एक द्विपद को एक द्विपद से गुणा करना
• एक एकपदी को बहुपद से गुणा करना
• बहुपद को बहुपद से गुणा करना

एकपदी को एकपदी से गुणा करना

एक बीजगणितीय व्यंजक को एकपदी माना जाता है जब इसमें केवल एक पद होता है, जैसे $8x^{3}$, $-2b^{4}$, आदि। एक एकपदी को दूसरे एकपदी से गुणा करते समय, दो एकपदी के गुणांक अलग से गुणा किये जाते हैं और चरों को अलग से गुणा किया जाता है।

आइए, एक एकपदी को एकपदी से गुणा करने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को देखें।

उदाहरण

Ex 1: $9y^{5} \times 4y^{3}$

$9y^{5} \times 4y^{3} = \left(9 \times 4 \right) \left(y^{5} \times y^{3} \right) $

$= 36y^{5 + 3} = 36y^{8}$

Ex 2: $-5a^{2} \times 3a^{5}$

$-5a^{2} \times 3a^{5} = \left(-5 \times 3)(a^{2} \times a^{5} \right)$

$= -15a^{2 + 5} = -15a^{7}$.

Ex 3: $12a^{2}b \times 7abc$

$12a^{2}b \times 7abc = \left(12 \times 7 \right) \left(a^{2} \times a \right) \left(b \times b \right) \left(c \right)$

$= \left(12 \times 7 \right) \left(a^{2} \times a^{1} \right) \left(b^{1} \times b^{1} \right) \left(c \right)$ 

$= 84 a^{2 + 1} b^{1 + 1}c = 84a^{3}b^{2}c$.

एकपदी को द्विपद से गुणा करना

एक बीजगणितीय व्यंजक को एक द्विपद माना जाता है जब इसमें दो पद होते हैं, जैसे $m^{2} – 3$, $2a^{2} + b^{3} $, $5x – 2y$, आदि। एकपदी को द्विपद से गुणा करते समय एकपदी को द्विपद के दोनों पदों से अलग-अलग गुणा किया जाता है, और गुणनफल के पदों को सरल करके लिखा जाता है।

नोट: एक द्विपद के दो अलग-अलग पद अलग-अलग लिए गए एकपदी होते हैं और हम द्विपद के पदों को एकपदी से गुणा करते समय दो एकपदी को गुणा करने की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं।

आइए कुछ उदाहरणों द्वारा एकपदी को द्विपद से गुणा करने की प्रक्रिया को समझते हैं।

उदाहरण

Ex 1: $6y^{2} \times \left(x^{3} + 2y^{2} \right)$

$6y^{2} \times \left(x^{3} + 2y^{2} \right) = 6y^{2} \times x^{3} + 6y^{2} \times 2y^{2} = 6x^{3}y^{2} + 12y^{4}$.

Ex 2: $\left(a^{3} – b^{3} \right) \times – 2a^{2}$

$\left(a^{3} – b^{3} \right) \times – 2a^{2} = a^{3} \times (- 2a^{2}) – b^{3} \times (- 2a^{2}) = -2a^{5} + 2a^{2}b^{3}$

द्विपद को द्विपद से गुणा करना

एक द्विपद को दूसरे द्विपद से गुणा करते समय, पहले द्विपद के दो पदों में से प्रत्येक को दूसरे द्विपद के दो पदों में से प्रत्येक के साथ गुणा किया जाता है। प्राप्त चार एकपदी पदों में से प्रत्येक को सरल करने के बाद अंतिम उत्तर प्राप्त होता है।

दो द्विपदों को गुणा करने की इस प्रक्रिया को गुणन की (फॉयल) FOIL विधि कहा जाता है।

नोट: FOIL विधि का उपयोग द्विपदों को गुणा करने के लिए किया जाता है।

FOIL एक संक्षिप्त शब्द है। इन अक्षरों का अर्थ होता है – (FIRST) पहले, (OUTER)बाहरी, (INNER)आंतरिक और (LAST)अंतिम।

• $\text{F}$irst: पहले द्विपद के पहले पद को दूसरे द्विपद के पहले पद से गुणा करें
• $\text{O}$uter: पहले द्विपद के बाहरी पद को दूसरे द्विपद के बाहरी पद से गुणा करें
• $\text{I}$nner: पहले द्विपद के आंतरिक पद को दूसरे द्विपद के भीतरी पद से गुणा करें
• $\text{L}$ast: पहले द्विपद के अंतिम पद को दूसरे द्विपद के अंतिम पद से गुणा करें

आप पहले पदों को गुणा करते हैं, फिर बाहरी पदों को, फिर अंतः पदों को, अंतिम पदों को, और फिर अपने उत्तर के लिए समान पदों को जोड़ते हैं।

एक द्विपद को दूसरे द्विपद से गुणा करने की प्रक्रिया को समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों को देखते हैं।

उदाहरण

Ex 1: $\left(2x + 3y \right) \times \left(3x – 2y \right)$

$= 2x \times 3x + 2x \times \left(- 2y \right) + 3y \times 3x + 3y \times \left(-2y \right)$

$= 6x^{2} – 4xy + 9xy – 6y^{2} = 6x^{2} + 5xy – 6y^{2}$

Ex 2: $\left(l^{2} – 2l \right) \times \left(2l^{2} + 4 \right)$

$= l^{2} \times 2l^{2} + l^{2} \times 4 – 2l \times 2l^{2} – 2l \times 4$

$= 2l^{4} + 4l^{2} – 4l^{3} – 8l = 2l^{4} – 4l^{3} + 4l^{2} – 8l$

एकपदी को बहुपद से गुणा करना

किसी बीजगणितीय व्यंजक को बहुपद माना जाता है जब इसमें एक या अधिक पद होते हैं, जैसे $2x^{4} – 3x^{3} + 5x^{2} + 7x + 9$, $3x^{2} + 2y^ {2} + z^{2} + 2xy – 5yz + 6zx$, $a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}$, आदि। एकपदी को किसी बहुपद द्वारा गुणा करते समय प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा किया जाता है और गुणनफल को पदों को सरल करके लिखा जाता है।

आइए, निम्न उदाहरणों द्वारा एकपदी को बहुपद से गुणा करने की प्रक्रिया को समझते हैं।

उदाहरण

Ex 1: $2x^{2} \times \left(5x^{3} – 2x^{2} + 3x + 9 \right)$

$= 2x^{2} \times \left(5x^{3} – 2x^{2} + 3x + 9 \right) = 2x^{2} \times 5x^{3} + 2x^{2} \times (- 2x^{2}) + 2x^{2} \times 3x + 2x^{2} \times 9$

$= 10x^{5} – 4x^{4} + 6x^{3} + 18x^{2}$

Ex 2: $(5x^3 – 12x + 9) \times 7x^{3} = 5x^3 \times 7x^{3} – 12x \times 7x^{3} + 9 \times 7x^{3} = 35x^6 – 84x^{4} + 63x^{3}$

बहुपद को बहुपद से गुणा करना

किसी बहुपद को दूसरे बहुपद से गुणा करते समय, पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है, गुणनफल को पदों को सरल करके लिखा जाता है।

बहुपद को बहुपद से गुणा करने की प्रक्रिया को समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों को देखें।

उदाहरण

Ex 1: $\left(2x^{2} + 3x + 5 \right) \times \left(3x^{3} – 4x^{2} + 5x – 9 \right)$

$ = 2x^{2} \times \left(3x^{3} – 4x^{2} + 5x – 9 \right) + 3x \times \left(3x^{3} – 4x^{2} + 5x – 9 \right) + 5 \times \left(3x^{3} – 4x^{2} + 5x – 9 \right)$

$ = 2x^{2} \times 3x^{3} + 2x^{2} \times \left(- 4x^{2} \right) + 2x^{2} \times 5x + 2x^{2} \times \left(- 9 \right) + 3x \times 3x^{3} +$

$ 3x \times \left(- 4x^{2} \right) + 3x \times 5x + 3x \times \left(- 9 \right) +  5 \times 3x^{3}+ 5 \times  \left(-4x^{2} \right) + 5 \times  5x + 5 \times  \left(-9 \right)$

$ = 6x^{5} – 8x^{4} + 10x^{3} – 18x^{2} + 9x^{4} – 12x^{3} + 15x^{2} – 27x + 15x^{3} – 20x^{2} + 25x – 45$

$ = 6x^{5} – 8x^{4} + 9x^{4} + 10x^{3} – 12x^{3} + 15x^{3} – 18x^{2} + 15x^{2} – 20x^{2} – 27x + 25x – 45$

$ = 6x^{5} + x^{4} + 13x^{3} – 23x^{2} – 2x – 45$

बीजगणितीय व्यंजकों के गुणन के लिए युक्तियाँ

• हम किसी भी बीजगणितीय पद को किसी अन्य बीजगणितीय पद से गुणा कर सकते हैं। यह दो समान पदों का गुणनफल या समान और असमान पदों का गुणनफल हो सकता है।
• हम एक बीजगणितीय व्यंजक में समान पदों में चरों के क्रम की अवहेलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $3a + 2b$, और, $9b + a$ दोनों समान शब्द हैं।
• हम किसी भी पद के संख्यात्मक गुणांक के रूप में $1$ लिखने की उपेक्षा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $xy$ $1xy$ के समान है।
• हम समान चर के साथ एक लापता पद को $0$ से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, लापता पद के चर के आधार पर लापता पद को $0x$, $0y$, या $0xy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित का गुणा कीजिए

• $2x^{3} \times 6x^{2}$
• $-3x^{2} \times 5y^{2}$
• $2x^{3} \times \left(3a^{2} + 2b^{2} \right)$
• $\left(5l + 6m \right) \times \left(7m – 2l \right)$
• $\left(3y^{3} – 27 \right) \times \left(2y^{2} + 4 \right)$
• $8a^{2} \times \left(5x^{2} – 2xy + 3y^{2} \right)$
• $\left(a – 2b + 3c \right) \times \left(3x – 2y + z \right)$
• $\left(3x^{3} – 2x^{2} + x – 7  \right) \times \left(9x^{3} + 4x^{2} + 3 \right)$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन दो दिए गए व्यंजकों को चरों और स्थिरांकों से मिलकर गुणा करने की एक विधि है। बीजगणितीय व्यंजकों के गुणन में शामिल सामान्य प्रक्रिया पदों के गुणांकों को गुणा करना, समान आधार वाले चरों की घातों को जोड़ना, और समान और असमान पदों का बीजगणितीय योग प्राप्त करना है।

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