त्रिभुज की माध्यिका (परिभाषा और गुण)

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त्रिभुज ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण 2D आकृतियों में से एक है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। ऐसा ही एक गुण त्रिभुज की माध्यिका है।

आइए समझते हैं कि त्रिभुज की माध्यिका क्या है और इसके क्या विशेषताएँ हैं।

त्रिभुज की माध्यिका क्या होती है?

किसी शीर्ष को उस शीर्ष की विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड त्रिभुज की माध्यिका कहलाती है। एक त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ हो सकती हैं, जो प्रत्येक शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाती हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ में, $\text{D}$ भुजा $\text{BC}$ का मध्यबिंदु है। $\text{AD}$ शीर्ष $\text{A}$ को $\text{D}$ से जोड़ने वाला एक रेखा खंड है और इस प्रकार $\triangle \text{ABC}$ की वह एक माध्यिका है।

त्रिभुज की माध्यिका के गुण

• त्रिभुज की माध्यिका के निम्नलिखित गुण हैं जो आपको इसे पहचानने में मदद करते हैं।
• त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को उसकी विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड है।
• यह विपरीत भुजा को दो समान भागों में विभाजित करते हुए समद्विभाजित कराती है।
• त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• त्रिभुज का आकार चाहे जो भी हो, इसकी तीनों माध्यिकाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं।
• प्रत्येक त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ होती हैं, प्रत्येक शीर्ष से एक। तीन माध्यिकाओं का संगामी बिंदु त्रिभुज का केन्द्रक बनाता है।
• त्रिभुज की प्रत्येक माध्यिका त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनके क्षेत्रफल समान होते हैं। तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।

किसी त्रिभुज की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?

त्रिभुज की माध्यिका की गणना एक मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है जो तीनों माध्यिकाओं पर लागू होता है। आइए हम उस सूत्र को सीखें जिसका उपयोग प्रत्येक माध्यिका की लंबाई की गणना के लिए किया जाता है।

त्रिभुज की पहली माध्यिका का सूत्र इस प्रकार है, जहाँ त्रिभुज की माध्यिका $m_a$ है, त्रिभुज की भुजाएँ $a$, $b$, $c$ हैं, और भुजा $a$ पर माध्यिका की लम्बाई $m_{a} = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 – a^2}}{4}$।

त्रिभुज की दूसरी माध्यिका का सूत्र इस प्रकार है, जहाँ त्रिभुज की माध्यिका $m_b$ है, त्रिभुज की भुजाएँ $a$, $b$, $c$ हैं, और भुजा $b$ पर माध्यिका की लम्बाई $m_{b} = \frac{\sqrt{2a^2 + 2c^2 – b^2}}{4}$।

त्रिभुज की तीसरी माध्यिका का सूत्र इस प्रकार है, जहाँ त्रिभुज की माध्यिका $m_c$ है, त्रिभुज की भुजाएँ $a$, $b$, $c$ हैं, और भुजा $c$ पर माध्यिका की लम्बाई $m_{c} = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 – c^2}}{4}$।

दिए गए निर्देशांक वाले त्रिभुज की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?

जब किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हों, तो त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, उस रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिस पर माध्यिका बनी है। यह मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है। मध्यबिंदु के लिए सूत्र है, $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$, जहां $\left(x_1, y_1 \right)$ और $ \left(x_2, y_2 \right)$ रेखा खंड के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक हैं।

स्टैप 2: मध्यबिंदु के निर्देशांक प्राप्त होने के बाद, दूरी सूत्र का उपयोग करके माध्यिका की लंबाई ज्ञात करें, जहां एक समापन बिंदु वह शीर्ष है जहां से माध्यिका प्रारंभ होती है और दूसरा उस रेखाखंड का मध्य-बिंदु है जिस पर माध्यिका बनाई गई है।

स्टैप 3: माध्यिका की लंबाई की गणना दूरी सूत्र के साथ की जा सकती है, $D = \sqrt{\left(x_2 – x_1 \right)^2 + \left(y_2 – y_1 \right)^2}$ जहां $\left(x_1, y_1 \right)$ और $\left(x_2, y_2 \right)$ माध्यिका के निर्देशांक हैं।

त्रिभुज की माध्यिका और शीर्ष लंब के बीच अंतर

त्रिभुज की माध्यिका और शीर्ष लंब के बीच अंतर निम्नलिखित हैं।

त्रिभुज की माध्यिका	त्रिभुज का शीर्ष लंब
एक त्रिभुज की माध्यिका शीर्ष से विपरीत दिशा में खींचा गया रेखा खंड होता है।	एक त्रिभुज का शीर्षलअम्ब आधार से विपरीत शीर्ष तक लंबवत दूरी होती है।
यह सदैव त्रिभुज के भीतर स्थित होती है।	यह त्रिभुज के प्रकार के आधार पर त्रिभुज के बाहर या भीतर दोनों हो सकता है।
यह एक त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।	यह त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित नहीं करता है।
यह त्रिभुज के आधार को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।	यह त्रिभुज के आधार को समद्विभाजित नहीं करता है।
त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, उसे त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं।	वह बिंदु जहां त्रिभुज के तीनों शीर्षबिंदु मिलते हैं, वह त्रिभुज का परिकेन्द्र कहलाता है।

मुख्य बिंदु

• प्रत्येक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• केंद्रक (वह बिंदु जहां माध्यिकाएँ मिलती हैं) त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र होता है।
• एक त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों माध्यिकाओं के योग से बड़ा होता है।
• यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो सर्वांगसम त्रिभुजों की माध्यिकाएँ बराबर होती हैं क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग सर्वांगसम होते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. त्रिभुज की माध्यिका क्या होती है?
2. एक त्रिभुज की कितनी माध्यिकाएँ हो सकती हैं?
3. त्रिभुज में सभी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को _________ कहा जाता है।
4. माध्यिका $\text{AD}$ की लंबाई ज्ञात करें यदि $\triangle \text{ABC}$ के निर्देशांक $\text{A} (4, 10)$, $\text{B} (8, 2)$, $\text{C} (-8, 4)$ के रूप में दिए गए हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को उसकी विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड है। त्रिभुज की माध्यिका विपरीत भुजा को दो समान भागों में विभाजित करते हुए समद्विभाजित करती है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ होती हैं, प्रत्येक शीर्ष से एक। तीन माध्यिकाओं के संगामी बिंदु को त्रिभुज का केन्द्रक कहा जाता है।

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