माध्यक – परिभाषा, सूत्र, गुण और उदाहरण

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आँकड़ों में, आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्था किए जाने पर, माध्यक आंकड़ों की दी गई सूची का मध्य मान है। यह माध्य और बहुलक के साथ प्रतिनिधित्व आंकड़ों में से एक है। ये आंकड़े, यानी, माध्यक, माध्य और बहुलक को केंद्रीय प्रवृत्ति के मान भी कहा जाता है। जबकि माध्य सभी आँकड़ों के योग का कुल आँकड़ों की संख्या का अनुपात है, माध्यक आँकड़ों की सूची में सबसे मध्य का मान है।

आइए समझें कि आंकड़ों में माध्यक वर्ग कैसे ज्ञात किया जाता है, माध्यक क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है, इसके गुणों के साथ उदाहरणों का उपयोग करते हुए।

सांख्यिकी में माध्यक का क्या अर्थ है?

आँकड़ों के एक सेट का माध्यक सेट में सबसे बीच की संख्या या केंद्र मान है। माध्यक वह संख्या भी है जो आँकड़ों के सेट को दो बराबर भागों में बांटती है।

माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सबसे पहले न्यूनतम से अधिकतम या अधिकतम से न्यूनतम मूल्य के क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। माध्यक एक संख्या है जिसे आँकड़ों के ऊपरी आधे हिस्से, या निचले आधे हिस्से से प्रायिकता बंटन द्वारा अलग किया जाता है। विभिन्न प्रकार के बंटन के लिए माध्यक भिन्न होती है।

इसके अलावा, माध्यक की गणना आँकड़ों की संख्या पर निर्भर करती है। आँकड़ों की विषम संख्या के लिए, माध्यक सबसे बीच की संख्या है, और आँकड़ों की सम संख्या के लिए, माध्यक दो मध्य मानों का माध्य है।

अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यक

आँकड़ों के दिए गए सेट का माध्यक ज्ञात करने के लिए, पहला कदम आँकड़ों के उस सेट को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना है। उसके बाद, उस आँकड़ों के सेट के सभी आँकड़ों को गिनें।

• यदि आँकड़ों के सेट में विषम संख्या में संख्याएं हैं, तो उस आँकड़ों के सेट के मध्य मान की पहचान करें। वह मध्य मान या मध्य में उपस्थित आंकड़ा माध्यक होगा।
• यदि दिए गए आँकड़ों के सेट में सम संख्या में संख्याएं हैं, तो बीच में आँकड़ों की पहचान करें, उन दोनों को जोड़ें और उन्हें 2 से विभाजित करें। इस तरह हम इन दो आँकड़ों का माध्य ज्ञात करते हैं। यह माध्य माध्यक है।

विषम संख्याओं के आँकड़ों के लिए माध्यक

किसी आँकड़ों के सेट में विषम संख्या के आँकड़ों का माध्यक ज्ञात करने के लिए अपनाए जाने वाले चरण इस प्रकार हैं:

स्टैप 1: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

स्टैप 2: आँकड़ों की गिनती $n$ नोट करें।

स्टैप 3: $\frac{n + 1}{2}$ की गणना करें।

स्टैप 4: आँकड़ों के सेट में $\left(\frac{n + 1}{2} \right)^{th}$ मान को ज्ञात करें।

स्टैप 5: स्टैप 4 में स्थित मान माध्यिका है।

उदाहरण

Ex 1: $12$, $19$, $14$, $17$, $16$ आँकड़ों के सेट का माध्यक ज्ञात करें।

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद आँकड़ें: $12$, $14$, $16$, $17$, $19$

आँकड़ों के सेट में आँकड़ों की संख्या $5$ है ($5$ एक विषम संख्या है)।

$n = 5$

$\frac{n + 1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

माध्यक $3^{rd}$ आँकड़ा = $16$ है।

वैकल्पिक रूप से,

अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद आँकड़े: $19$, $17$, $16$, $14$, $12$

आँकड़ों के सेट में आँकड़ों की संख्या $5$ है ($5$ एक विषम संख्या है)।

$n = 5$

$\frac{n + 1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$।

माध्यक $3^{rd}$ आँकड़ा = $16$ है।

आँकड़ों की सम संख्या के लिए माध्यक

आँकड़ों के सेट में आँकड़ों की सम संख्या का माध्यक ज्ञात करने के लिए अपनाए जाने वाले चरण इस प्रकार हैं:

स्टैप 1: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

स्टैप 2: आँकड़ों की गिनती $n$ नोट करें।

स्टैप 3: $\frac{n}{2}$ और $\frac{n}{2} + 1$ की गणना करें।

स्टैप 4: $\left(\frac{n}{2} \right)^{th}$ और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)^{th}$ मानों को ज्ञात करें। माना $\left(\frac{n}{2} \right)^{th}$ का मान $m$ और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)^{th}$ का मान है $n$ है।

स्टैप 5: $\frac{m + n}{2}$ की गणना करें।

स्टैप 6: चरण 5 में परिकलित मान माध्यक है।

उदाहरण

Ex 1: $18$, $28$, $22$, $26$, $21$, $25$ आँकड़ों के सेट का माध्यक ज्ञात करें।

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद आँकड़े: $18$, $21$, $22$, $25$, $26$, $28$

आँकड़ों के सेट में संख्याओं की संख्या $6$ है ($6$ एक सम संख्या है)।

$n = 6$

$(\frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3$ और $\frac{n}{2} + 1 = \frac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

$m = 3^{rd}$ मूल्य => $m = 22$

$n = 4^{th}$ मूल्य => $n = 25$

$\frac{m + n}{2} = \frac{22 + 25}{2} = \frac{47}{2} = 23.5$

माध्यक = $23.5$।

वैकल्पिक रूप से,

अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद आँकड़े: $28$, $26$, $25$, $22$, $21$, $18$

आँकड़ों के सेट में संख्याओं की संख्या $6$ है ($6$ एक सम संख्या है)।

$n = 6$

$(\frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3$ और $\frac{n}{2} + 1 = \frac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

$m = 3^{rd}$ मूल्य => $m = 25$

$n = 4^{th}$ मूल्य => $n = 22$

$\frac{m + n}{2} = \frac{25 + 22}{2} = \frac{47}{2} = 23.5$

माध्यक = $23.5$।

वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यक

जब आँकड़े बारम्बारता बंटन के रूप में होते हैं, तो इसे वर्गीकृत आँकड़े कहा जाता है। आँकड़ों के माध्यक की गणना करने की प्रक्रिया में संचयी बारम्बारता और माध्यक वर्ग ज्ञात करना शामिल है। उसके बाद, माध्यक की गणना करने के सूत्र का उपयोग किया जाता है। वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यक की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र $\text{Median = } l + \left(\frac{\frac{n}{2} – c}{f} \right) \times h$ है।

जहां, $l$ माध्यक वर्ग की निम्न सीमा है

$n$ बारम्बारताओं का योग है

$c$ माध्यक वर्ग की संचयी बारंबारता है

$f$ माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता है

$h$ माध्यक वर्ग की वर्ग चौड़ाई है

सांख्यिकी में माध्यक वर्ग कैसे ज्ञात करें

पहला कदम यह जांचना है कि बारंबारता बंटन में एक अनन्य वर्ग अंतराल है या एक समावेशी वर्ग अंतराल है।

समावेशी वर्ग अंतराल

असतत आँकड़ों के लिए समावेशी वर्ग अंतराल का उपयोग किया जाता है। एक समावेशी वर्ग अंतराल में, किसी वर्ग की निम्न सीमा पूर्ववर्ती वर्ग की ऊपरी सीमा में दोहराई नहीं जाती है। अंतराल $\text{a} – \text{b}$ समावेशी वर्ग अंतराल में $a$ और $b$ के बीच सभी मान शामिल हैं जिसमें $a$ और $b$ दोनों शामिल हैं। इसे $a \le x \le b$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में $5$ और $10$ सहित $5$ से $10$ तक के सभी मान शामिल हैं, यानी समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में शामिल मानों में $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ और $10$ शामिल हैं।

अनन्य वर्ग अंतराल

असतत आँकड़ों के लिए अनन्य वर्ग अंतराल का उपयोग किया जाता है। एक अनन्य वर्ग अंतराल में, किसी वर्ग की निचली सीमा पूर्ववर्ती वर्ग की ऊपरी सीमा में दोहराई जाती है। अनन्य वर्ग अंतराल में अंतराल $\text{a} – \text{b}$ में $a$ और $b$ के बीच के सभी मान शामिल हैं जिनमें $a$ दोनों शामिल हैं लेकिन $b$ को छोड़कर। इसे $a \le x \lt b$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, अनन्य वर्ग अंतराल $5 – 10$ में $5$ सहित $10$ तक के सभी मान शामिल हैं, लेकिन $10$ को छोड़कर, यानी समावेशी वर्ग अंतराल $5 – 10$ में शामिल मानों में $5$, $5.4$ शामिल हैं। , $6$, $6.89$, $7$, $8$, $9$, $9.987$, $9.999$, और इसी तरह।

समावेशी वर्ग अंतराल को अनन्य वर्ग अंतराल में बदलना

एक समावेशी वर्ग अंतराल को एक अनन्य वर्ग अंतराल में बदलने के लिए अपनाए जाने वाले चरण हैं:

स्टैप 1: वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग अंतराल की निम्न सीमा के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

स्टैप 2: स्टैप 1 में प्राप्त अंतर को 2 से विभाजित करें।

स्टैप 3: स्टैप 2 में प्राप्त संख्या को प्रत्येक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा में जोड़ें।

स्टैप 4: स्टैप 2 में प्राप्त संख्या को प्रत्येक वर्ग अंतराल की निम्न सीमा से घटाएं।

स्टैप 5: प्राप्त वर्ग अंतराल अनन्य वर्ग अंतराल हैं।

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित बारम्बारता बंटन समावेशी वर्ग अंतराल रूप में है। इसे अनन्य वर्ग अंतराल रूप में बदलिए।

किसी भी वर्ग अंतराल का चयन करें (पहले या अंतिम के अलावा)।

चयनित वर्ग अंतराल $30 – 39$।

$30 – 39$ की ऊपरी सीमा $39$ है।

$30 – 39$ के बाद का वर्ग अंतराल $40 – 49$ है।

$40 – 49$ की निम्न सीमा $40$ है।

$39$ और $40$ का अंतर $40 – 39 = 1$ है।

$1$ को $2$ से भाग देने पर, हमें $\frac{1}{2} = 0.5$ मिलता है।

अब, सभी वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ें और सभी वर्ग अंतरालों की निचली सीमा से $0.5$ घटाएं।

$10 – 19$ बन जाता है $10 – 0.5 – 19 + 0.5 = 9.5 – 19.5$

$20 – 29$ बन जाता है $20 – 0.5 – 29 + 0.5 = 19.5 – 29.5$

$30 – 39$ बन जाता है $30 – 0.5 – 39 + 0.5 = 29.5 – 39.5$

$40 – 49$ बन जाता है $40 – 0.5 – 49 + 0.5 = 39.5 – 49.5$ 

$50 – 59$ बन जाता है $50 – 0.5 – 59 + 0.5 = 49.5 – 59.5$

बारंबारता बंटन को अनन्य वर्ग अंतराल रूप में स्थापित करने के बाद, प्रत्येक वर्ग अंतराल की संचयी बारंबारता ज्ञात कीजिए।

संचयी बारम्बारताएँ ज्ञात करना

संचयी बारम्बारताओं की गणना करने के लिए चरणों का पालन किया गया।

स्टैप 1: संचयी आवृत्ति के लिए बारम्बारता कॉलम के दाईं ओर एक और कॉलम जोड़ें।

स्टैप 2: पहले अंतराल की बारम्बारता को संचयी आवृत्ति कॉलम में कॉपी करें।

स्टैप 3: अगले वर्ग अंतराल पर जाएं।

स्टैप 4: वर्तमान वर्ग अंतराल की बारम्बारता को पूर्ववर्ती वर्ग अंतराल की संचयी बारम्बारता में जोड़ें।

स्टैप 5: स्टैप 4 में प्राप्त योग वर्तमान वर्ग अंतराल की संचयी बारम्बारता है।

स्टैप 6: स्टैप 3 से स्टैप 5 तक दोहराएँ, जब तक कि अंतिम वर्ग अंतराल न पहुँच जाए।

स्टैप 7: प्राप्त बंटन संचयी बारम्बारता बंटन है।

नोट: अंतिम वर्ग अंतराल की संचयी बारंबारता हमेशा सभी बारंबारताओं के योग के बराबर होती है। 

अब, अगला चरण माध्यक वर्ग ज्ञात करना है।

माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए निम्न चरणों का पालन करता है।

स्टैप 1: आँकड़ों की कुल संख्या ($n$), अर्थात सभी बारंबारताओं का योग ज्ञात करें।

स्टैप 2: संचयी बारम्बारता कॉलम में उस वर्ग अंतराल की पहचान करें जिसमें $\frac{n}{2}$ पड़ता है।

स्टैप 3: स्टैप 2 में पहचाना गया वर्ग अंतराल माध्यक वर्ग है।

माध्यक कैसे ज्ञात करें?

माध्यक वर्ग ज्ञात करने के बाद, वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: माध्यक वर्ग की निम्न सीमा $\left(l \right)$ और बारम्बारता $\left(f \right)$ ज्ञात करें।

स्टैप 2: माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता \left(c \right) ज्ञात करें।

स्टैप 3: सूत्र $h = \text{Upper Limit} – \text{Lower Limit}$ का उपयोग करके माध्यक वर्ग की चौड़ाई $h$ ज्ञात करें

स्टैप 4: वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यक के लिए सूत्र लागू करें: $\text{Median} = l + \left(\frac{\frac{n}{2} – c}{f} \right)\times h$।

माध्यक के गुण

आँकड़ों के सेट के माध्यक के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• माध्यक आँकड़ों का केंद्रीय मूल्य है (स्थितीय माध्य)।
• मध्य मान या माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को आरोही/अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना होता है।
• माध्यक की गणना करते समय प्रत्येक मान पर विचार नहीं किया जाता है।
• माध्यक चरम बिंदुओं से प्रभावित नहीं होती है।

सांख्यिकी में माध्यक का क्या उपयोग है?

माध्यक माध्य की तुलना में स्कू और आउटलेयर के प्रति कम संवेदनशील होता है। अत्यधिक मूल्य माध्य को वितरण के केंद्र से दूर खींचते हैं, जिससे यह संभावित रूप से भ्रामक हो जाता है। यह बंटन में सबसे सामान्य मूल्यों के पास नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, माध्य वार्षिक आय को सारांशित करने के लिए एक अच्छा आँकड़ा नहीं है क्योंकि यह एक स्कू बंटन है। कुछ अत्यधिक संपन्न लोग नाटकीय रूप से माध्य वृद्धि कर सकते हैं, वार्षिक आय का एक भ्रामक दृश्य दे सकते हैं। इस प्रकार के आँकड़ों के लिए माध्यिका अधिक सटीक होती है।

प्रमुख बिंदु

अभ्यास के लिए प्रश्न

आँकड़ों के निम्नलिखित सेट का माध्यक ज्ञात करें: $12$, $11$, $13$, $11$, $16$।

आँकड़ों के निम्नलिखित सेट का माध्यक ज्ञात करें: $12$, $18$, $24$, $18$, $11$, $20$, $29$, $41$, $20$।

बच्चों के एक समूह द्वारा एक पहेली को पूरा करने में लगने वाला समय, मिनटों में रिकॉर्ड किया जाता है।

पहेली को पूरा करने के लिए बच्चों के समूह द्वारा लिया गया माध्यक समय ज्ञात कीजिए।

प्रथम $50$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्यक क्या है?

प्रथम $10$ अभाज्य संख्याओं का माध्यक क्या है?

संख्या $3$, $7$, $13$, $14$, $16$, $19$, $20$ और $x$ आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं। यदि संख्याओं का माध्य माध्यक के बराबर है, तो x का मान ज्ञात कीजिए

आठ संख्याओं के एक सेट का माध्यक $4.5$ है। यह देखते हुए कि सात संख्याएँ $7$, $2$, $13$, $4$, $8$, $2$, और $1$ हैं, आठवीं संख्या ज्ञात करें।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

आँकड़ों के एक सेट का माध्यक सेट में सबसे बीच की संख्या या केंद्र मान है। इस लेख में, हमने सीखा कि आँकड़ों में माध्यक वर्ग कैसे ज्ञात किया जाता है और इसका उपयोग वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात करने के लिए कैसे किया जाता है।

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