समीकरण का क्या अर्थ है – परिभाषा, प्रकार और उदाहरण

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समीकरणों का उपयोग इंजीनियरों, वास्तुकारों, वीडियो गेम डिजाइनरों आदि जैसे कई पेशेवरों द्वारा किया जाता है। उदाहरण के लिए, हवाई यातायात नियंत्रक विमानों के उड़ान भरने के लिए न्यूनतम सुरक्षित स्तर की गणना करने के लिए अक्सर समीकरणों का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए वे समीकरण (न्यूनतम सुरक्षित स्तर (पैरों में मापा गया)) = 30 $\times$ (1013 – pa) का उपयोग करते हैं, जहां pa वायुमंडलीय दबाव है ।

शब्द समीकरण को कई तरह से परिभाषित किया जा सकता है। अपने सरलतम रूप में, हम कह सकते हैं कि एक समीकरण एक गणितीय कथन है जो दर्शाता है कि दो बीजगणितीय व्यंजक बराबर हैं।

आइए समझते हैं कि समीकरण का अर्थ क्या है और इसके विभिन्न प्रकार क्या हैं।

समीकरण का क्या अर्थ है?

आप जानते हैं कि एक बीजगणितीय व्यंजक एक गणितीय कथन है जिसमें स्थिरांक, चर और गणितीय संक्रियाएँ शामिल होते हैं। समीकरण गणितीय कथन होते हैं जिनमें ‘बराबर ($=$)’ चिह्न के दोनों ओर दो बीजगणितीय व्यंजक होते हैं।

समीकरण बायीं ओर लिखे व्यंजक का दायीं ओर लिखे व्यंजक से समानता के संबंध को दर्शाता है। गणितीय रूप से, हम कहते हैं कि किसी भी समीकरण के लिए L.H.S = R.H.S (बाईं ओर = दाईं ओर)।

समीकरणों का उद्देश्य अज्ञात मात्राओं या चरों के मान ज्ञात करना है। समीकरण में अज्ञात के मान ज्ञात करने की प्रक्रिया को समीकरण को हल करना कहा जाता है।

समीकरण लिखना

समीकरण एक कथन है जिसमें दो बीजगणितीय व्यंजक एक समान चिन्ह (“=”) से जुड़े होते हैं। बराबर चिह्न के दोनों तरफ इन दो व्यंजकों को समीकरण के “बाएं हाथ की ओर” और “दाहिनी हाथ की ओर” कहा जाता है।

अधिकाँश मामलों में, समीकरण का दाहिना हाथ शून्य (0) होता है। यह व्यापकता को कम नहीं करता क्योंकि हम दोनों पक्षों के व्यंजकों से दाहिनी ओर के व्यंजक को घटाकर इसे संतुलित कर सकते हैं।

समीकरण के भाग

किसी भी समीकरण के विभिन्न भाग होते हैं जिनमें गुणांक, चर, संक्रियाएँ, स्थिरांक, पद, व्यंजक और एक समान चिह्न शामिल होते हैं। जब हम एक समीकरण लिखते हैं, तो ‘बराबर ($=$)’ चिन्ह और दोनों पक्षों में शब्दों का होना अनिवार्य है। दोनों पक्ष एक दूसरे के बराबर होने चाहिए।

एक समीकरण के लिए यह आवश्यक नहीं है कि दोनों में से किसी भी पक्ष में अनेक पद हों, जिसमें चर और संकारक हों। इनके बिना भी एक समीकरण बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, $2 + 3 = 5$। यह एक अंकगणितीय समीकरण है जिसमें कोई चर नहीं है। इसके विपरीत, चरों वाला एक समीकरण एक बीजगणितीय समीकरण होता है।

निम्नलिखित एक समीकरण के विभिन्न भाग हैं।

समीकरण की घात क्या है?

समीकरण में चर की उच्चतम घात को समीकरण की घात कहा जाता है।

उदाहरण के लिए समीकरण $2x + 5 = 3$ में, केवल एक चर है और इसकी घात $1$ ($x = x^{1}$) है, इसलिए, $2x + 5 = 3$ की घात $1$ है .

समीकरण $x – 3y = 7$ के लिए, घात $1$ है, क्योंकि दोनों चरों की घात $1$ है।

इसी प्रकार, समीकरण $5x^{2} – 2x + 7 = 0$ के लिए, घात $2$ है।

समीकरण के लिए, $x – xy + y = 1$, समीकरण की घात $2$ है, क्योंकि, $xy$ में, $x$ और $y$ दोनों की घात $1$ है, इसलिए, $xy$ की घात $2\left(1 + 1 \right)$ है।

समीकरण के प्रकार

घात के आधार पर, समीकरणों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार के समीकरण हैं:

• रैखिक समीकरण
• द्विघात समीकरण
• त्रिघात समीकरण
• उच्च घात के समीकरण

रैखिक समीकरण

$1$ घात वाले समीकरणों को गणित में रैखिक समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों में, पदों का उच्चतम घातांक $1$ होता है। इन्हें आगे एक चर वाले रैखिक समीकरणों, दो चरों वाले रैखिक समीकरणों, तीन चरों वाले रैखिक समीकरणों आदि में वर्गीकृत किया जा सकता है।

एक चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + b = c$ होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण $2x + 3 = 7$, $a = 2$, $b = 3$ और $c = 7$।

दो चरों में  रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by = c$ है।

उदाहरण के लिए, $5x – 2y = 8$, $a = 5$, $b = -2$ और $c = 8$ समीकरण में। इसी प्रकार, समीकरण $7x + 3y – 9 = 0$, $a = 7$, $b = 3$ और $c = 9$ के लिए, क्योंकि समीकरण को $7x + 3y = 9$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

द्विघात समीकरण

घात $2$ वाले समीकरण द्विघात समीकरण कहलाते हैं। चर $x$ वाले द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ है, जहाँ $a \ne 0$ है।

उदाहरण के लिए, $2x^{2} + 3x – 5 = 0$ एक द्विघात समीकरण या घात $2$ का एक समीकरण है और यहाँ, $a = 2$, $b = 3$, और $c = -5$ है।

त्रिघात समीकरण

घात $3$ वाले समीकरण त्रिघात समीकरण कहलाते हैं। यहाँ, $3$ कम से कम एक पद का उच्चतम घातांक है। चर $x$ वाले त्रिघात समीकरण का मानक रूप $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$ है, जहाँ $a \ne 0$..

त्रिघात समीकरण का उदाहरण $8x^{3} – 2x^{2} + 6x – 12 = 0$ है।

उच्च घात के समीकरण

$3$ से अधिक घात वाले समीकरणों को उच्च-घात समीकरण के रूप में जाना जाता है। ऐसे सभी समीकरणों में, कम से कम एक पद का उच्चतम घातांक $3$ से अधिक है।

उच्च-घात समीकरणों के उदाहरण हैं

$x^{4} – 3x^{3} + x^{2} – 5x + 2$ ($4$-घात समीकरण)

$2x^{5} + 7x^{4} + x^{3} – 8x^{2} + 6x – 10$ ($5$-घात समीकरण)

समीकरण का आलेख

कार्तीय तल (कार्टिसिअन प्लेन) में समीकरण से प्राप्त बिंदुओं $\left(x, y \right)$ को प्लॉट करके समीकरण का आलेख प्राप्त किया जा सकता है। रैखिक समीकरण का आलेख (घात $1$ का समीकरण) एक सीधी रेखा होती है, जबकि द्विघात, त्रिघात और उच्च-घात के समीकरणों का आलेख वक्र के रूप में होता है।

बीजगणितीय समीकरण और बीजगणितीय सर्वसमिका के बीच अंतर

बीजगणितीय समीकरण और बीजगणितीय सर्वसमिका के बीच निम्नलिखित अंतर हैं।

समीकरण	सर्वसमिका
चरों के सभी मानों के लिए LHS और RHS समान नहीं होता है	चरों के सभी मानों के लिए LHS, RHS के बराबर होता है
जिन चरों के मान जिनके लिए LHS और RHS बराबर हैं, समीकरण के हल कहलाते हैं	हल की कोई अवधारणा नहीं है
सभी समीकरण सर्वसमिका नहीं होते	सभी सर्वसमिका समीकरण होते हैं
अज्ञात राशियों का मान ज्ञात करने के लिए समीकरणों का उपयोग किया जाता है	अभिकलन को आसान और तेज़ बनाने के लिए सूत्र या नियम के रूप में सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है
समीकरण का उदाहरण 3x + 2y = 7 है	सर्वसमिका का उदाहरण $\left(a – b \righ)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ है

अभ्यास के लिए प्रश्न

सही या गलत बताएं

• समीकरण के LHS और RHS हमेशा सत्य नहीं होते हैं।
• प्रत्येक समीकरण के लिए, चरों को दिए गए सभी मान LHS को RHS के बराबर बनाते हैं।
• एक बीजगणितीय समीकरण का कोई चर नहीं हो सकता है।
• समीकरण में एक असमानता चिह्न हो सकता है जैसे $\lt$, $\gt$, $\le$, या $\ge$।
• घात $4$ वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं।
• किसी समीकरण की घात उसमें चरों की अधिकतम संख्या होती है।
• सभी बीजगणितीय समीकरण बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं।
• सभी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ बीजगणितीय समीकरण हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

समीकरण बायीं ओर लिखे व्यंजक का दायीं ओर लिखे व्यंजक से समानता के संबंध को दर्शाता है। इस लेख में हमने जाना कि समीकरण का अर्थ और उसके भाग क्या होते हैं और यह भी कि विभिन्न प्रकार के समीकरण क्या हैं।

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