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सांख्यिकी में, “केंद्रीय प्रवृत्ति” उन सांख्यिकीय उपायों के लिए उपयोग किया जाने वाला शब्द है जो संपूर्ण वितरण के प्रतिनिधि के रूप में एकल मान की पहचान करते हैं। इसका उद्देश्य संपूर्ण डेटा का सटीक विवरण प्रदान करना है। यह एकल मान है जो एकत्रित डेटा का सबसे विशिष्ट/प्रतिनिधि है।
केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मुख्य उपाय हैं: माध्य, माध्यिका और बहुलक। इनमें से प्रत्येक उपाय वितरण में विशिष्ट या केंद्रीय मूल्य के एक अलग संकेत का वर्णन करता है।
आइये माध्य माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध को समझते हैं और यह भी जानने का प्रयास करते हैं कि इनका क्या उपयोग हैं।
सांख्यिकी में माध्य माध्यिका बहुलक
माध्य, माध्यिका और बहुलक, केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं, जिनका उपयोग डेटा के दिए गए सेट की विभिन्न विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप डेटा सेट में एकल मान के रूप में केंद्रीय स्थिति की पहचान करके डेटा के एक सेट का वर्णन करता है। हम इसे एक मध्यम मूल्य के आसपास डेटा की प्रवृत्ति के रूप में सोच सकते हैं। आँकड़ों में, केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन सबसे सामान्य उपाय माध्य, माध्यिका और बहुलक हैं। केंद्रीय प्रवृत्ति का सर्वोत्तम माप चुनना हमारे पास मौजूद डेटा के प्रकार पर निर्भर करता है।
हम माध्य माध्य बहुलक का उपयोग कब करते हैं?
जैसा कि आपने ऊपर सीखा है कि प्रवृत्तियों के तीन उपायों के बीच अंतर हैं, इनमें से प्रत्येक उपाय एक निश्चित प्रकार के अनुप्रयोगों और परिदृश्यों के लिए उपयुक्त है।
हम माध्य का उपयोग कब करते हैं?
माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब निम्नलिखित दोनों शर्तें पूरी होती हैं:
- डेटा को स्केल किया जाता है: समान अंतराल वाले डेटा जैसे गति, वजन, ऊंचाई, तापमान आदि।
- वितरण सामान्य है: माध्य आउटलेयर के प्रति संवेदनशील है जो विषम वितरण में पाए जाते हैं, आपको माध्य का उपयोग केवल तभी करना चाहिए जब वितरण कम या ज्यादा सामान्य हो।
हम माध्यिका का उपयोग कब करते हैं?
माध्यिका का उपयोग तब किया जाता है जब दो में से कोई एक शर्त पूरी होती है।
- डेटा सामान्य है: सामाजिक आर्थिक स्थिति के साथ डेटा (“कम आय”, “मध्यम आय”, “उच्च आय”), शिक्षा स्तर (“हाई स्कूल”, “बी.एससी”, “एमएससी”, “पीएचडी। D”), आय स्तर (“50K से कम”, “50K-100K”, “100K से अधिक”), संतुष्टि रेटिंग (“बेहद नापसंद”, “नापसंद”, “तटस्थ”, “पसंद”, “बेहद पसंद” )
- वितरण तिरछा या गैर-सामान्य है: माध्य माध्य की तुलना में बाहरी और विषम डेटा से कम प्रभावित होता है, और आमतौर पर केंद्रीय प्रवृत्ति का पसंदीदा उपाय होता है जब वितरण सममित नहीं होता है।
हम बहुलक का उपयोग कब करते हैं?
बहुलक का उपयोग तब किया जाता है जब आप किसी वितरण में सबसे लगातार प्रतिक्रिया, संख्या या अवलोकन जानना चाहते हैं।
माध्य माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध (माध्य माध्य बहुलक का अनुभवजन्य सूत्र)
आँकड़ों में, मध्यम विषम वितरण के लिए, माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच एक संबंध होता है। इस माध्य माध्यिका और बहुलक संबंध को “अनुभवजन्य संबंध” के रूप में जाना जाता है, जिसे मोड के रूप में परिभाषित किया गया है जो माध्यिका के $3$ गुना और माध्य के $2$ गुना के अंतर के बराबर है।
गणितीय रूप से, इसे के रूप में लिखा जाता है $\text{Mean } – \text{ Mode } = 3 \left( \text{Mean } – \text{ Median} \right)$.
शेष दो ज्ञात होने पर केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी भी माप को खोजने के लिए उपरोक्त सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है।
माध्यिका और बहुलक ज्ञात होने पर माध्य ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Mean } = \frac{3 \text{ Median } – \text{ Mode}}{2}$
माध्य और बहुलक ज्ञात होने पर माध्यिका ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Median } = \frac{2 \text{ Mean } + \text{ Mode}}{3}$
माध्य और माध्यिका ज्ञात होने पर बहुलक ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Mode } = 3 \text{ Median } – 2 \text{ Mean}$
उदाहरण
Ex 1: एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का मोड खोजें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $41$ और माध्य = $34$।
अनुभवजन्य सूत्र के अनुसार, $\text{Mode } = 3 \text{ Median } – 2 \text{ Mean}$
$=>\text{Mode } = 3 \times 41 – 2 \times 34 = 123 – 68 = 55$.
Ex 2: एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का माध्यिका ज्ञात करें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $20$ और मोड = $22$।
अनुभवजन्य सूत्र के अनुसार, $\text{Median } = \frac{2 \text{ Mean } + \text{ Mode}}{3}$
$=>\text{Median } = \frac{2 \times 20 + 22}{3} = \frac{40 + 22}{3} = \frac{62}{3} = 20.67$.
Ex 3: एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का माध्य ज्ञात करें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $55$ और बहुलक = $60$।
अनुभवजन्य सूत्र के अनुसार, $\text{Mean } = \frac{3 \text{ Median } – \text{ Mode}}{2}$
$=>\text{Mean } = \frac{3 \times 55 – 60}{2} = \frac{165 – 60}{2} = \frac{105}{2} = 52.5$
क्या माध्य माध्यिका और बहुलक समान हो सकते हैं?
जब एक बारंबारता बंटन पूर्णतः सममित होता है, तब माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं। इस तरह के सममित वितरण को आमतौर पर सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है।
जब $\text{Mean} = \text{ Median} = \text{ Mode}$, वितरण को सामान्य वितरण कहा जाता है।
जब $\text{Mode } \lt \text{ Median } \lt \text{ Mean}$, वितरण को घनात्मक तिरछा कहा जाता है जहां वितरण के दाईं ओर एक लंबी या मोटी पूंछ होती है।
जब $\text{Mean } \lt \text{ Median } \lt \text{ Mode}$, वितरण को ऋणात्मक तिरछा कहा जाता है जहां वितरण के बाईं ओर एक लंबी या मोटी पूंछ होती है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध को परिभाषित करने वाला अनुभवजन्य सूत्र क्या है?
- एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का माध्य ज्ञात करें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $28$ और बहुलक = $30$।
- एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का माध्यिका ज्ञात करें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $42$ और बहुलक = $38$।
- एक अनुभवजन्य सूत्र का उपयोग करके डेटा का तरीका खोजें, जब यह दिया गया हो कि माध्य = $ 10 $ और माध्य = $ 11 $ है।
- जांचें कि क्या वितरण सामान्य है, बाएं-तिरछा है, या दाएं-तिरछा है।
- माध्य = $12$, माध्यिका = $12$, बहुलक = $12$
- माध्य = $14$, माध्यिका = $13$, बहुलक = $12$
- माध्य = $12$, माध्यिका = $13$, बहुलक = $14$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
माध्य बहुलक और माध्यिका क्या है?
डेटा सेट का माध्य (औसत) डेटा सेट में सभी संख्याओं को जोड़कर और फिर सेट में मानों की संख्या से विभाजित करके पाया जाता है। माध्य मध्य मान होता है जब किसी डेटा सेट को कम से कम से सबसे बड़ा करने का आदेश दिया जाता है। बहुलक वह संख्या है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार होती है।
माध्य माध्यिका और बहुलक का अनुभवजन्य सूत्र क्या है?
थोड़ा विषम वितरण के मामले में माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध को दर्शाने वाला अनुभवजन्य सूत्र है $\text{Mean } – \text{ Mode } = 3 \left( \text{Mean } – \text{ Median} \right)$।
निष्कर्ष
माध्य, माध्यिका और बहुलक, केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं, जिनका उपयोग डेटा के दिए गए सेट की विभिन्न विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। थोड़े विषम वितरण के मामले में माध्य माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध होता है जिसे अनुभवजन्य सूत्र कहा जाता है।
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