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ज्यामिति में, बिंदु और रेखाएँ दो मूलभूत अवधारणाएँ हैं जिन्हें आपको विभिन्न आकृतियों और आकारों के बारे में सीखने से पहले सीखने की आवश्यकता है। रेखा एक आयामी आकृति होती है, जिसकी लंबाई तो होती है, लेकिन चौड़ाई नहीं होती। यह अनंत बिंदुओं के समूह से बनी होती है। एक रेखा को विपरीत दिशाओं में असीम रूप से बढ़ाया जा सकता है।
आइए समझते हैं कि रेखा क्या है और इसके गुण और विभिन्न प्रकार की रेखाएँ भी।
रेखा क्या है?
रेखा एक सीधी एक आयामी आकृति होती है जिसमें मोटाई नहीं होती है, और यह दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप तक जा सकती है।
उपरोक्त चित्र दो रेखाओं को दर्शाता है। दोनों रेखाओं का कोई समापन बिंदु नहीं है। प्रत्येक छोर पर दो तीर यह दर्शाते हैं कि रेखा अंतहीन रूप से फैली हुई है और दोनों दिशाओं में समाप्त नहीं हो रही है। एक रेखा की लंबाई नहीं मापी जा सकती।
रेखा को एक आयामी समतल में जुड़े संरेख बिंदुओं के समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।
नोट:
- तीन बिंदुओं को संरेख बिंदु कहा जाता है जब वे एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।
- दो बिन्दु सदैव संरेखी होते हैं।
उपरोक्त चित्र में,
- बिंदु $\text{A}$, $\text{B}$ और $\text{C}$ संरेख बिंदु हैं।
- बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$ और $\text{R}$ असंरेख बिंदु हैं। (बिंदु $\text{P}$, $\text{Q}$ और $\text{R}$ संरेख नहीं हैं)।
ज्यामिति में एक रेखा का प्रतिनिधित्व
रेखाओं को आमतौर पर बिंदुओं पर चाप द्वारा निरूपित किया जाता है। रेखा बिंदु $\text{A}$ और $\text{B}$ के बीच खींची गई है, इसे दोनों तरफ असीम रूप से विस्तारित किया गया है, और इसे $\overleftrightarrow{\text{AB}}$ द्वारा दर्शाया गया है।
रेखा की विशेषताएँ
रेखा की विशेषताएँ निम्नलिखित हैं।
- रेखा को उन बिंदुओं के सीधे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो विपरीत दिशाओं में विस्तारित होते हैं
- इसका दोनों दिशाओं में कोई अंत नहीं है (अनंत)
- एक रेखा की अनंत लंबाई होती है
- इसकी कोई मोटाई नहीं होती है
- रेखा एक आयामी ज्यामितीय आकृति है
- रेखा अनंत बिंदुओं से बनी होती है
- यदि तीन या अधिक बिन्दु एक ही रेखा पर स्थित हों तो वे संरेख बिन्दु कहलाते हैं
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ केवल एक बिंदु पर काटती हैं
- आलेख में उपयोग की जाने वाली रेखाओं का उपयोग बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए किया जाता है और इसमें कई और अनुप्रयोग होते हैं, $x$-अक्ष क्षैतिज रेखा है, और $y$-अक्ष लंबवत रेखा होती है
रेखा खंड क्या है?
रेखा के एक भाग को रेखाखंड कहते हैं। दूसरे शब्दों में, एक रेखा खंड दो अंत बिंदुओं वाली एक सीधी रेखा होती है। एक रेखा खंड की एक निश्चित लंबाई होती है और इसे मापक(रूलर) का उपयोग करके मापा जा सकता है।
उपरोक्त चित्र दो रेखा खंडों को दर्शाता है। दोनों रेखा खंडों की दोनों दिशाओं में अंत बिंदु हैं। रेखाखंड की लंबाई मापक(रूलर) से मापी जा सकती है।
ज्यामिति में एक रेखा खंड का प्रतिनिधित्व
रेखा खंडों को आम तौर पर बिंदुओं पर तीर के बिना चाप द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा बिंदु $\text{A}$ और $\text{B}$ के बीच खींची गई है और इसे $\overline{\text{AB}}$ द्वारा दर्शाया गया है।
ऊपर दिए गए चित्र में, $\overline{\text{AB}}$ दो समापन बिंदु, $\text{A}$ और $\text{B}$ के साथ एक रेखा खंड है। एक रेखा खंड को मापा जा सकता है, जबकि एक रेखा नहीं। रेखा खंड की लंबाई दो अंत बिंदु, $\text{A}$ और $\text{B}$ के बीच की दूरी है।
इसी प्रकार, $\overline{\text{CD}}$ भी एक रेखा खंड है।
किरण क्या है?
रेखा का एक भाग जिसमें केवल एक समापन बिंदु (शुरुआती बिंदु) होता है, परन्तु अंत बिंदु नहीं होता है, किरण कहलाती है। चूंकि एक किरण एक दिशा में अनंत रूप से फैलती है, इसलिए इसकी लंबाई अनंत होती है और इसे मापा नहीं जा सकता।
उपरोक्त चित्र में दो किरणें दिखाई गई हैं। दोनों किरणों का एक प्रारंभिक बिंदु होता है परन्तु कोई अंत बिंदु नहीं होता है। किरण की लम्बाई नहीं मापी जा सकती।
ज्यामिति में किरण का प्रतिनिधित्व
किरणों को आम तौर पर बिंदुओं पर एक ओर एक तीर से चाप द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा बिंदु $\text{A}$ और $\text{B}$ के बीच खींची गई है और इसे $\overrightarrow{\text{AB}}$ द्वारा दर्शाया गया है।
उपरोक्त चित्र में, $\overrightarrow{\text{AB}}$ एक समापन बिंदु वाली किरण है, $\text{A}$. एक रेखा के समान, एक किरण को मापा नहीं जा सकता है।
इसी प्रकार, $\overrightarrow{\text{CD}}$ भी एक किरण है।
रेखा, रेखाखंड, किरण – एक तुलना
नीचे रेखा, रेखा खंड और किरण के बीच तुलना की गई है।
| रेखा | रेखाखंड | किरण |
| रेखा एक आयामी चौड़ाई रहित (कोई चौड़ाई नहीं) आकृति है जो दोनों तरफ फैली हुई होती है | रेखाखंड एक निश्चित लंबाई वाली रेखा का एक भाग होता है | किरण रेखा का वह भाग है, जो एक बिन्दु से प्रारंभ होकर एक दिशा में विस्तृत होता है |
| रेखा में कोई अंत बिंदु नहीं होता है, और इसकी लंबाई अनंत होती है | रेखा खंड में दो अंत बिंदु होते हैं और उसकी एक निश्चित लंबाई होती है | किरण में केवल एक समापन बिंदु होता है और इसकी लंबाई अनंत होती है |
| दोनों ओर तीर के निशान लगाकर एक रेखा को दर्शाया जाता है उदाहरण के लिए, $\overleftrightarrow{\text{AB}}$ | अक्षरों के ऊपर बार लगाकर एक रेखा खंड को दर्शाया जाता है उदाहरण के लिए, $\overline{\text{PQ}}$ | तीर के निशान को एक ओर रखकर एक किरण को दर्शाया जाता है उदाहरण के लिए, $\overrightarrow{\text{CD}}$ |
| एक रेखा को दोनों दिशाओं में अपरिमित रूप से बढ़ाया जा सकता है | एक रेखा खंड को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है; यह दो बिंदुओं के बीच स्थित होता है | किरण एक ही दिशा में फैली होती है |
रेखाओं के प्रकार
धारण करने वाले गुण के आधार पर विभिन्न प्रकार की रेखाएँ होती हैं। विभिन्न प्रकार की रेखाएँ प्रतिच्छेदी और अप्रतिच्छेदी रेखाएँ, समानांतर रेखाएँ, लंब रेखाएँ आदि हैं।
क्षैतिज रेखाएँ: जब कोई रेखा सीधी दिशा में बाएँ से दाएँ जाती है, तो वह एक क्षैतिज रेखा होती है।
ऊर्ध्वाधर रेखाएँ: जब कोई रेखा ऊपर से नीचे की ओर एक सीधी दिशा में चलती है, तो वह एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
नोट:
- क्षैतिज रेखा और एक ऊर्ध्वाधर रेखा एक दूसरे के लंबवत हैं और $90^{\circ}$ का कोण बनाते हैं
- कार्तीय प्रणाली में, $x$-अक्ष एक क्षैतिज रेखा है और $y$-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा है
प्रतिच्छेदी रेखाएँ
प्रतिच्छेदी रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक बिंदु पर एक दूसरे को पार करने पर बनती हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जहाँ रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं।
अप्रतिच्छेदी रेखाएँ
वे रेखाएँ जो एक-दूसरे को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करतीं, अप्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं। अप्रतिच्छेदी रेखाओं को समांतर रेखाएं कहा जाता है, और उनके बीच की दूरी स्थिर होती है।
समानांतर रेखाएँ
रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक दूसरे को नहीं काटती हैं और रेखा के किसी भी बिंदु से उनके बीच की दूरी समान है। इस प्रकार, समानांतर रेखाएँ अप्रतिच्छेदी रेखाएँ होती हैं जिनकी एक निश्चित दूरी होती है।
रेल की पटरियाँ समानांतर रेखाओं का सबसे अच्छा उदाहरण हैं।
लम्बवत रेखायें
रेखाएँ लंब कहलाती हैं यदि वे एक दूसरे को समकोण $\left( 90^{\circ} \right)$ के कोण पर काटती हैं। वर्ग और आयत की भुजाएँ लंबवत रेखाएँ हैं। लंब रेखाएँ 90 के कोण वाली प्रतिच्छेदी रेखाएँ होती हैं।
तिर्यक रेखा
वह रेखा जो दो या दो से अधिक समांतर रेखाओं को काटती है तिर्यक रेखा कहलाती है। नीचे दिए गए चित्र में, दो रेखाओं को काटने वाली रेखा को तिर्यक रेखा कहते हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- सही या गलत बताएं
- क्षैतिज रेखा बाएँ से दाएँ चलती है
- ऊर्ध्वाधर रेखा बाएं से दाएं चलती है
- क्षैतिज रेखा नीचे से ऊपर की ओर चलती है
- ऊर्ध्वाधर रेखा नीचे से ऊपर की ओर चलती है
- दो लंबवत रेखाओं के बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है
- दो लंबवत रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है
- निम्नलिखित को परिभाषित कीजिये
- रेखा
- रेखा खंड
- किरण
- संरेख बिंदु
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्या होती हैं?
- समानांतर रेखाएँ क्या होती हैं?
- तिर्यक रेखा क्या है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
गणित ज्यामिति में एक रेखा क्या है?
रेखा एक सीधी एक आयामी आकृति होती है जिसमें मोटाई नहीं होती है, और यह दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप से फैली होती है।
रेखाओं की 4 विशेषताएँ क्या हैं?
रेखाओं की प्रमुख चार विशेषताएँ निम्नलिखित हैं।
a) इसका दोनों दिशाओं में कोई अंत नहीं है (अनंत)
b) एक रेखा की अनंत लंबाई होती है
c) इसकी कोई मोटाई नहीं है
d) एक रेखा एक आयामी ज्यामितीय आकृति है
रेखा सबसे महत्वपूर्ण आकृति क्यों है?
ज्यामिति में रेखा सबसे महत्वपूर्ण आकृति है क्योंकि यह सभी कोणों और आकृतियों (बहुभुज) का आधार बनती है।
दो लम्बवत रेखाओं के बीच के कोण का माप होता है?
दो लंबवत रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
समांतर रेखाएं क्या होती हैं?
दो रेखाएँ समानांतर रेखाएँ कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में हों और कभी न मिलें।
निष्कर्ष
रेखा एक सीधी एक आयामी आकृति होती है जिसमें मोटाई नहीं होती है, और यह दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप से फैली होती है। रेखागणित में, रेखा मूलभूत अवधारणाओं में से एक है। यह सभी कोणों और आकृतियों (बहुभुज) का आधार बनता है।
